【勾股定理的应用】【11大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

勾股定理的应用 题型归纳 【题型1. 勾股定理的应用——梯子滑落问题】…………………………………… 1 【题型2. 勾股定理的应用——小鸟飞行问题】…………………………………… 6 【题型3. 勾股定理的应用——大树折断问题】…………………………………… 11 【题型4. 勾股定理的应用——旗杆高度问题】…………………………………… 14 【题型5. 勾股定理的应用——水杯中的筷子问题】……………………………… 20 【题型6. 勾股定理的应用——航海问题】………………………………………… 23 【题型7. 勾股定理的应用——河宽问题】………………………………………… 29 【题型8. 勾股定理的应用——台阶地毯问题】…………………………………… 33 【题型9. 勾股定理的应用——汽车超速问题】…………………………………… 36 【题型10. 勾股定理的应用——受台风影响问题】………………………………… 42 【题型11. 勾股定理的应用——选址问题】………………………………………… 50 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 55 题型专练 题型1. 勾股定理的应用——梯子滑落问题 【例1】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知：，，，，先利用勾股定理求出，进而得出，再利用勾股定理得出，最后根据求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A 【例2】（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 【例3】（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：； 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； （2）解：，， ， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ， ． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得，，在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·贵州安顺·期末）如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中， ，，， ， 在中，，，， ， ． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 【变式3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米． 题型2. 勾股定理的应用——小鸟飞行问题 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，如图所示，为树，且，为两树距离12米，过C作于E，则，，在直角三角形中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图所示，为树，且，为两树距离12米， 过C作于E，则，， 在直角三角形中， ． 故选：A． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 【变式1】（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，利用勾股定理求出两棵树树顶之间的距离即可求解，掌握勾股定理是应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞， 故选：．    【变式2】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， ， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 【变式3】（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 题型3. 勾股定理的应用——大树折断问题 【例1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河南开封·期末）一竖直的木杆在离地面的C处折断，木杆顶端B落在离木杆底端的A处．求木杆折断之前高度． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理先求解，再进一步求解即可. 【详解】解：由已知得，，， ， ∴， ， ， 即木杆折断之前高度为. 【变式1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的斜边的长度，进而可得出结论． 【详解】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形， ∴原来树的高度为， ∴这棵树原来的高度． 即：这棵大树在折断前的高度为18m. 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键． 先利用勾股定理计算出的长，然后再计算出即可得到大树折断前的高度． 【详解】解：∵米，米， 根据勾股定理可得（米）， ∴（米）． 答：大树折断前高16米． 【变式3】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， 米，米， （米）， （米）， （米）， 甲树原来的高度为（米）， 答：甲树原来的高度为米. 题型4. 勾股定理的应用——旗杆高度问题 【例1】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．设旗杆长为x米，则绳长为米，根据勾股定理即可列方程求解． 【详解】解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得： ， 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法．从点C观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为． (1)直接写出与的数量关系； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【分析】本题考查了三角形的内角和，等角对等边，含角的直角三角形的性质，勾股定理． （1）由题意可得，根据等角对等边即可得出答案； （2）由（1）知，米，，在中，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意及图，得 ∴，， ∴ ∴， ∴． （2）由（1）知，米， ∴， 在中， （米） 答：旗杆的高度为米． 【例3】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，作适当辅助线得到直角三角形是解题的关键；过点作于点．设秋千绳索的长度为尺，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设秋千绳索的长度为尺． 由题可知，尺，（尺），尺， ∴尺． 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（   ） A．米 B． 米 C．米 D．米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由，则，设米，则米，然后由勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·天津·期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：  “平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良正高士素好奇，算出索长有几．”（注：1步尺） 译文：  “有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．” 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 【详解】解：延长到地面于，过作地面于，如图所示： 设绳索有x尺长， 根据题意及所作辅助线，根据三个角都是直角，故四边形是矩形， 则， 依题意，，， 则， 在中，， ∴， 解得：， 即绳索长14.5尺， 【变式3】（24-25八年级下·山东济宁·期中）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如表． 项目 背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图 项目 方案 测量过程步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出点与点之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． (1)直接写出线段与之间的数量关系； (2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性即可． （1）根据即可求解； （2）设，则，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由图可知： 设，则， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴； 即：学校旗杆的高为米； 题型5. 勾股定理的应用——水杯中的筷子问题 【例1】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，再得出h的范围即可． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， 在中， ， ∴， ∴h的取值范围为：， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中：由勾股定理计算出的长度即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 在中：由勾股定理得， ∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是， ∴这支铅笔的长度是． 【变式1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺， 由题意得，， 解得， ∴水深为8尺， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    【分析】设杯子的高度是，则筷子的高度为，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设杯子的高度是，则筷子的高度为，    ∵杯子的直径为， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得， ∴筷子． 答：筷子的长度为． 【变式3】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水深厘米，则，，，利用勾股定理计算即可． 【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长． 设水深h厘米，由题意得：中，，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得． 答：水深是 题型6. 勾股定理的应用——航海问题 【例1】（24-25八年级下·全国·期中）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设两个小时后两船的位置分别为、，由方向角得出；再由时间与速度之间的关系得出，然后运用勾股定理求的长，即可完成解答． 【详解】解：如图所示，设后两船的位置分别为、， 则， ， 即后，两船相距． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点C作于点D，首先利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． 在中，， ∴． 答：小岛A与港口C的距离为150海里； （2）解：过点C作于点D， 当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（小时）． 答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A． 【例3】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态） (1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） (2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出（米），结合速度和时间，得出米，运用（米），故米，即可作答． （2）结合题意得米，结合勾股定理得，，整理得，解得，最后运用勾股定理列式计算（米），即可作答． 【详解】（1）解：在中，（米）． ∵此人以每秒1米的速度收绳，4秒后船移动到点的位置， ∴（米）， 在中，（米）， ∴米， 答：船向岸边移动了米； （2）解：∵此人以每秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， ∴（米）. 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即， 解得（米）， ∴（米）， ∴的值是8． 【变式1】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，，海里，海里， ， 在中，根据勾股定理得， （海里）， 故此时与灯塔的距离为海里． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，两艘轮船、同时离开港口，各自沿一固定方向航行，轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，它们离开港口两小时后相距50海里．已知轮船沿东北方向航行．（东北方向即北偏东方向） (1)请判断轮船沿哪个方向航行，并说明理由； (2)若两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距多少海里？ 【分析】本题主要考查方位角，勾股定理及其逆定理的运用，理解方位角的含义，掌握勾股定理及其逆定理的运用是关键． （1）根据题意，，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，则，由此即可求解； （2）根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，，由勾股定理，，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：轮船沿西北方向航行，理由： 已知轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里， ∴，， ∵它们离开港口两小时后相距50海里，即， ∵，即， ∴为直角三角形，即， ∵由轮船沿东北方向航行，可知， ∴， ∴轮船沿西北方向航行． （2）解：根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，， 由（1）得为直角三角形，即， 根据勾股定理，， ， 答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距100海里． 【变式3】（24-25八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键． （1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解； （2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， （海里），（海里）， （海里）， ， 是直角三角形， ， ， 甲的航向为北偏东； （2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）． 题型7. 勾股定理的应用——河宽问题 【例1】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意，得，，， 在中，， ∴， 解得， 即河的宽度是15米， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据垂直定义可得，然后在中，利用30度角的性质得，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得米（负值舍去）， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离？ 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：在中，. 根据勾股定理得：． 答：A,B两点间的距离为． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米． 题型8. 勾股定理的应用——台阶地毯问题 【例1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 【例2】（2025·山东济宁·一模）在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价元，铺完整个楼梯总造价需要 元． 【分析】本题主要考查了勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 利用勾股定理求得所有台阶横面长度，横面长度加上竖面长度即为总长度，总长度乘单价即为总造价． 【详解】解：根据题意得，整个楼梯图形为直角三角形，根据勾股定理得： 所有台阶横面长为：（m） ∴所有楼梯表面的长度为：（m） ∴总造价为：元． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解∶如图， 由题意，得，，， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 【变式3】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 题型9. 勾股定理的应用——汽车超速问题 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪（点A）的正前方处（点C），过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．问这辆小汽车超速了吗？ 【分析】本题考查勾股定理的应用，先根据勾股定理求出，然后求出汽车的速度即可作出判断． 【详解】这辆小汽车超速了． 在中，． 由勾股定理得， ， 小汽车在城市道路上行驶速度不得超过， ∴这辆小汽车超速了． 【例2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 【例3】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）根据勾股定理即可解答； （2）求出汽车的速度即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这里汽车超速了． 【变式1】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 【变式2】（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：在中， ，， ， ． （2）解：在中， ，， ． 在中， ，， ， ， ， 该车的速度为， 该车超过了的限制速度． 【变式3】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 题型10. 勾股定理的应用——受台风影响问题 【例1】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险， 正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算即可； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】（1）解：，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 则台风中心经过从移动到点； （2）解：如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在内撤离才可脱离危险． 【例2】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点C作于D，等积法求出的长，进行判断即可。 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作于D，则： ， ， ∵吊车周围以内为受噪声影响区域，， ∴学校C会受噪声影响． 【例3】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键． （1）如图，过作于，由勾股定理得到，由此即可求解； （2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，由勾股定理得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下： 如图，过作于， ， ， ， 的面积， ， ， ， 农场会受到台风的影响； （2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，， ， ， ， 由勾股定理得， ， 台风中心的移动速度为， 台风影响该农场持续时间是（小时）． 【变式1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【分析】（1）过点作于点，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，A，C之间相距，A，B之间相距． ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响． （2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴台风影响南通市持续时间为． 答：台风影响南通市持续时间为． 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 【变式3】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 【详解】（1）解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型11. 勾股定理的应用——选址问题 【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 【例2】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）两根电线杆、，，，它们的底部相距，现在要在两根电线杆底端之间线段上选一点，由分别向两根电线杆顶端拉钢索、，若使钢索与相等，那么点应该选在距点多少米处？    【分析】首先设，则，根据勾股定理构建方程，从而得出的值． 【详解】解；由题意可得：， 设，则， ∵， ∴ 解得： 答：E点应该选在距B点的地方． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【变式1】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得（千米），设千米，则千米，然后通过勾股定理求出千米，最后代入求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴（千米）， 设千米，则千米， ∵， ∴， 解得：， ∴千米， ∴新路比原路少（千米），比原路少（千米）， 答：新路比原路少千米，比原路少千米． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． (1)请判断供水管道与是否符合铺设要求； (2)求的长及的长． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据勾股定理的逆定理判定与是否垂直即可； （2）根据等面积法求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：符号要求，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形，， ，符合要求； （2）， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：． 【变式3】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 【分析】（）连接，则，由勾股定理可得，解之即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∵，， ∴， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴， 解得， ∴千米， 故答案为：； （2）解：由（）得，千米， ∴煤栈应建在距点千米处． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合的思想的应用．设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴，即． 故选：C． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中于点尺，尺．则的长度为（　　） 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中里，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 A．3.5尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.5尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的长度为尺． 故选：B． 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）将一根的筷子，置于底面直径为，高的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键． 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ； 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 所以的取值范围是：． 故选：． 5．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键． 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，由M是的中点，所以中，． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵M是的中点， ∵， M是的中点， ∴中，． 故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先找出当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短，再利用勾股定理求出的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键． 过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点D， ∴， ∵海里， ∴在中，海里， （海里）， ∵，， ∴， ∵， ∴海里， ∴海里， 则该船行驶的速度为：（海里/小时）． 故选：B 8．（2025·广东云浮·一模）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（    ）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）       A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设尺，则：尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， 由题意，得：尺， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， 即水深为12尺，芦苇长13尺； 故选D． 9．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E．解直角，求出．解直角，求出，那么．再解直角，得出． 【详解】解：如图， 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E． ，． 在直角中， ，， . . ，， ． 在直角中， ，， ． ． 在直角中， ，， ． 故选：A． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ） A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，根据平行线的性质得到米，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于， 由题意得， 米， 同理可得：， 在中，（米， 在中，（米， （米， 答：梯子底端离地高度长为0.9米， 故选：B． 二、解答题 11．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）： ①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离； ②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线； ③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度． (1)求风筝距离地面的高度的长； (2)嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？ 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理求出，再根据，即可求解； （2）根据勾股定理求出，由即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∴风筝距离地面的高度的长为 （2）如图，由题意可知： 在中，由勾股定理得，（m） ∴ ∴嘉嘉需往后退 12．（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 13．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 【分析】本题考查了30度的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作于点H．结合，得，即，运用勾股定理列式得，再证明是等腰直角三角形，然后算出的长度，以及小车平均速度，再进行比较，即可作答． 【详解】解：没有超速，理由如下： 过点C作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴小车平均速度， ∵ ∴ ∴， ∴此车没有超速． 14．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回A港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度； （）由勾股定理的逆定理推知，由方向角的定义作答； 【详解】（1）解：由题意， 在中，， 得， ∴． ∴． ∴． 则（小时）， 答：从岛返回港所需的时间为小时； （2）解：∵，， ∴． ∴， ∵一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛， ∴ ∴岛在港的北偏西． 15．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． （1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在中，由勾股定理求解即可得到答案； （2）根据题意，先求出，在中和中由勾股定理求出线段长，再由即可得到答案 【详解】（1）解：如图所示： 则，， 若工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，则绳子缩短了， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 答：此时游轮距离岸边还有米； （2）解：若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，则， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 工作人员手中的绳子被收上来米． 16．（23-24八年级下·广西河池·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 【分析】本题主要考查勾股定理，理解题意，掌握勾股定理的计算方法是关键． （1）过点作于，根据含角的直角三角形的性质得到，由此即可求解； （2）设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点，由勾股定理得到千米，则千米，由行程问题的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，由题意得千米，， ∴（千米）, ∵， ∴市会受到沙尘暴的严重影响； （2）解：设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点， 在中，千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴市受影响的时间为（小时）， 故市受影响的时间为小时． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据路程速度时间，分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得（海里），（海里），（海里）， ， 即， ． 由“远航号”沿东北方向航行可知，，则， 即“海天”号沿西北方向航行． 18．（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 【分析】（1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． （2）解：在中，      即     解得：     答：旗杆的值为17米． 19．（24-25八年级下·广东广州·期末）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在中，利用 求解，最后算出绳子长度即可； （2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可． 【详解】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 绳子长度（）． 答：绳子总长度为18分米． （2）如图2，由题意可知，， 若物体C升高，则此时（）， 在中，由勾股定理得，（）， （）． 答：滑块B向左滑动的距离为． 20．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等角对等边，30度角的性质，勾股定理的应用． （1）作于H，可知，根据平行线的性质得到，，即可求出的度数； （2）根据等角对等边得到海里，根据30度角的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：作于H， 则， ∴，， ∴； （2）∵一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处， ∴海里， ∵， ∴海里， ∵，， ∴海里， ∴， ∴轮船继续向正东方向航行是安全的． 21．（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 22．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行判断即可； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，三线合一结合勾股定理求出的长，再除以速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 23．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点 C 处，点C到旗杆底部点B的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小强在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，点E到地面的距离为2米，求小强后退的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则为米，在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）如图，过作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质求出相关边长，在中，根据勾股定理求得得（米），再由即可求解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则为米， 在中，， ， 米， ， 解得：， 答：旗杆的高度为12米； （2）解：如图，过作于点， ， ， 四边形是矩形， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，， 根据勾股定理，得（米）， 米， 米， 答：小强后退的距离约为2.2米． 24．（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港． (1)求，两港之间的距离； (2)确定港在港的什么方向． 【分析】（1）根据题意结合方位角的描述可得，据此利用勾股定理求出即可； （2）根据由（1）知，为等腰直角三角形，则，据此可得，即可确定港所在的方向． 【详解】（1）解：由题意，得，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，两港之间的距离为； （2）由（1）知，为等腰直角三角形， ∴， ∴港相对港的方位角角度为：， 故港在港北偏东的方向上． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，与方向角有关的计算，等腰直角三角形的性质与判定．掌握勾股定理是解题的关键． 25．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： (1)两船分别航行了多少海里？ (2)“小蛮腰号”的航行方向． 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出是直角三角形是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里）， ∵两船相距26海里， ∴（海里）， ∵，， 故， 是直角三角形， ， ∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 26．（2025·湖南岳阳·二模）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中的长度 1 图②中的长度 5 ．．．．．． ．．． (1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． (2)如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直， 此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距 离的长度． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、矩形的判定和性质等知识，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）设旗杆的高度为x米，根据题意可得：（米），则在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可； （2）作于点G，如图，则由题意可得四边形是矩形，米，在直角三角形中，根据勾股定理求出，即的长度即可解决问题． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：， 则在直角三角形中（图②），根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 所以旗杆的高度为12米. （2）解：作于点G，如图， 又∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴； 该同学前进的距离的长约为米． 27．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 28．（2025·重庆渝北·一模）如图，甲、乙两艘渔船同时从A港出发，前往位于港正北方向的捕鱼点捕鱼，甲渔船沿点的北偏西方向航行到观测点B，再沿B点的北偏东方向航行千米到达捕鱼点，乙渔船沿东北方向航行到观测点，再沿点的北偏西方向到达捕鱼点． (1)求A港到捕鱼点的距离；（结果保留根号） (2)若甲、乙两艘渔船的速度相同（在观测点B，观测的时间相同），哪艘渔船先到达捕鱼点？请通过计算说明．（参考数据：，， 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点B作，垂足为E，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的与的和进行计算，即可解答； （2）由（1）可求出的长，从而可得；过点C作于点F， 中，利用锐角三角函数的定义求出、的长及，通过，的度数，则可得，利用锐角三角函数的定义求出、的长，即可求出，最后进行计算比较即可解答． 【详解】（1）解：过点B作，垂足为E，则： ，，千米， ∴千米， ∴千米， ∴千米． （2）解：过点作于点，如图， ∴ 由题意可知，，千米， ∴千米，， 在中，千米， 千米， ∴千米， ∵， ∴， ∴， 在中，千米， ∴千米，千米， ∴千米， ∵ ∴， 由甲、乙两艘渔船的速度相同，可得甲渔船先到达捕鱼点． 29．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【深入探究】 （1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度； 【问题解决】 （2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被困人员？ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键. （1）根据勾股定理即可求出，再求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； （2）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 【详解】解：（1）在中， ， ， ， 在中， ， 答：的长度为 ； （2）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：， ， ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 30．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明： 线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中的长度 2 图②中的长度 8 … … (1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． (2)如图③，某同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点F处， 再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离，得到的长 度为2米，则该同学所站位置F与旗杆底端B的距离为_______米． （结果保留根号） 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设学校旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）点作，交的延长线于点，则米，得米，由（1）可知，米，然后在中，由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：设学校旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 答：学校旗杆的高度为15米； （2）解：如图（3），过点作，交的延长线于点， 则米， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 即该同学所站位置与旗杆底端的距离为米， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 勾股定理的应用 题型归纳 【题型1. 勾股定理的应用——梯子滑落问题】…………………………………… 1 【题型2. 勾股定理的应用——小鸟飞行问题】…………………………………… 4 【题型3. 勾股定理的应用——大树折断问题】…………………………………… 6 【题型4. 勾股定理的应用——旗杆高度问题】…………………………………… 8 【题型5. 勾股定理的应用——水杯中的筷子问题】……………………………… 12 【题型6. 勾股定理的应用——航海问题】………………………………………… 14 【题型7. 勾股定理的应用——河宽问题】………………………………………… 16 【题型8. 勾股定理的应用——台阶地毯问题】…………………………………… 19 【题型9. 勾股定理的应用——汽车超速问题】…………………………………… 20 【题型10. 勾股定理的应用——受台风影响问题】………………………………… 23 【题型11. 勾股定理的应用——选址问题】………………………………………… 26 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 29 题型专练 题型1. 勾股定理的应用——梯子滑落问题 【例1】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【例3】（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·贵州安顺·期末）如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【变式3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 题型2. 勾股定理的应用——小鸟飞行问题 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【变式1】（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【变式3】（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 题型3. 勾股定理的应用——大树折断问题 【例1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南开封·期末）一竖直的木杆在离地面的C处折断，木杆顶端B落在离木杆底端的A处．求木杆折断之前高度． 【变式1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 【变式3】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 题型4. 勾股定理的应用——旗杆高度问题 【例1】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 【例2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法．从点C观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为． (1)直接写出与的数量关系； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【例3】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（   ） A．米 B． 米 C．米 D．米 【变式2】（24-25八年级下·天津·期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：  “平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良正高士素好奇，算出索长有几．”（注：1步尺） 译文：  “有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．” 【变式3】（24-25八年级下·山东济宁·期中）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如表． 项目 背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图 项目 方案 测量过程步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出点与点之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． (1)直接写出线段与之间的数量关系； (2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 题型5. 勾股定理的应用——水杯中的筷子问题 【例1】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 【变式1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    【变式3】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 题型6. 勾股定理的应用——航海问题 【例1】（24-25八年级下·全国·期中）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 【例3】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态） (1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） (2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式2】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，两艘轮船、同时离开港口，各自沿一固定方向航行，轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，它们离开港口两小时后相距50海里．已知轮船沿东北方向航行．（东北方向即北偏东方向） (1)请判断轮船沿哪个方向航行，并说明理由； (2)若两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距多少海里？ 【变式3】（24-25八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 题型7. 勾股定理的应用——河宽问题 【例1】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【例2】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 【变式2】（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离？ 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 题型8. 勾股定理的应用——台阶地毯问题 【例1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【例2】（2025·山东济宁·一模）在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价元，铺完整个楼梯总造价需要 元． 【变式1】（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【变式3】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 题型9. 勾股定理的应用——汽车超速问题 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪（点A）的正前方处（点C），过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．问这辆小汽车超速了吗？ 【例2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【例3】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【变式2】（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【变式3】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 题型10. 勾股定理的应用——受台风影响问题 【例1】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险， 正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【例2】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【例3】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【变式1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【变式3】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 题型11. 勾股定理的应用——选址问题 【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【例2】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）两根电线杆、，，，它们的底部相距，现在要在两根电线杆底端之间线段上选一点，由分别向两根电线杆顶端拉钢索、，若使钢索与相等，那么点应该选在距点多少米处？    【变式1】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． (1)请判断供水管道与是否符合铺设要求； (2)求的长及的长． 【变式3】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 2．（24-25八年级下·四川泸州·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中于点尺，尺．则的长度为（　　） 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中里，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 A．3.5尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.5尺 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）将一根的筷子，置于底面直径为，高的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 6．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 8．（2025·广东云浮·一模）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（    ）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）       A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13 9．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ） A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 二、解答题 11．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）： ①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离； ②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线； ③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度． (1)求风筝距离地面的高度的长； (2)嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？ 12．（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 13．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 14．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回A港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 15．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 16．（23-24八年级下·广西河池·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 18．（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 19．（24-25八年级下·广东广州·期末）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 20．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 21．（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 22．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 23．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点 C 处，点C到旗杆底部点B的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小强在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，点E到地面的距离为2米，求小强后退的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，） 24．（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港． (1)求，两港之间的距离； (2)确定港在港的什么方向． 25．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： (1)两船分别航行了多少海里？ (2)“小蛮腰号”的航行方向． 26．（2025·湖南岳阳·二模）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中的长度 1 图②中的长度 5 ．．．．．． ．．． (1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． (2)如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直， 此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距 离的长度． 27．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 28．（2025·重庆渝北·一模）如图，甲、乙两艘渔船同时从A港出发，前往位于港正北方向的捕鱼点捕鱼，甲渔船沿点的北偏西方向航行到观测点B，再沿B点的北偏东方向航行千米到达捕鱼点，乙渔船沿东北方向航行到观测点，再沿点的北偏西方向到达捕鱼点． (1)求A港到捕鱼点的距离；（结果保留根号） (2)若甲、乙两艘渔船的速度相同（在观测点B，观测的时间相同），哪艘渔船先到达捕鱼点？请通过计算说明．（参考数据：，， 29．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【深入探究】 （1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度； 【问题解决】 （2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被困人员？ 30．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明： 线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中的长度 2 图②中的长度 8 … … (1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． (2)如图③，某同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点F处， 再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离，得到的长 度为2米，则该同学所站位置F与旗杆底端B的距离为_______米． （结果保留根号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$