5.2勾股定理其逆定理（1）课件 2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

5.2勾股定理其逆定理（1） 直角三角形 第5章 学习目标 1. 了解勾股定理的文化背景，体会勾股定理的探索过程； 2. 了解利用拼图法验证勾股定理的方法； 3. 能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题. 新知导入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等，我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么它们一定会识别这种语言的，这个事实可以说明勾股定理的重大意义。我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话是说一个直角三角形较短直角边得长是3，长得直角边得长是4，那么斜边得长是5. 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 新知探究 【观察】 如图，在方格纸上（设小方格的边长为1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？ 可以发现，两直角边分别为3，4的直角三角形，其斜边为5. 新知探究 我国古代数学名著《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五”. 这本著作还指出： 勾与股的平方和等于弦的平方. 对于这一结论，古人称为勾股算法. 实际上，这一结论揭示的是直角三角形三边长的平方关系. 新知探究 由于正方形的面积等于其边长的平方，于是可以借助正方形探究这一结论. 【探究】 画一个边长为a+b的正方形，将其分割成四个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为 c，如图所示. 由此，你能探索出a2+ b2 =c2这一结论吗？ 新知探究 由于四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去4 个小直角三角形的面积。 因而S=(a+b)2-ab×4=a2+2ab+b2-2ab=a2+b2 在△ABE与△BCF中， 所以△ABE≌△BCF（边角边）， 因此∠1=∠3. 又∠1+∠2=90°， 所以∠3+∠2=90°， 因此∠CBA=180°-(∠3+∠2)=90°. 同理可证∠DCB=∠ADC=∠BAD=90°. 又BC=CD=DA=AB=c， 因此四边形ABCD是正方形， 所以S=c2. 综上可知，S=a2+b2=c2 由此可得: 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 这一结论称为勾股定理。 请通过图中两个边长为a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理. 新知探究 新知探究 例1  在△ABC中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c. （1）若a=1，b=2，求c. （2）若a=15，c=17，求b. 解（1）根据勾股定理得，c2=a2+b2=12+22=5.因为c>0，所以c=  （2）根据勾股定理得，b2=c2-a2=172-152=64. 因为b>0，所以b=8. 例2  如图，已知在等腰三角形ABC中，AB= AC=13，BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长 解根据等腰三角形的性质定理得，AD也是底边BC上 的中线，因此BD=BC=5. 在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2， 因此AD= =12 故AD的长为12. 新知探究 课堂练习 1.当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5 都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） （A）5，12，13 （B）6，8，10 （C）7，24，25 （D）8，15，16 解选D 因为52+122=132；62+82=102；72+242=252，但82+152≠162 课堂练习 2.求下图中各直角三角形未知的边长. 解因为a2=52-42，所以a=3； 因为a2+42=41，所以a=5； 因为c2=102+()2，所以c=15. 课堂练习 3.已知Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长6cm，求 AC的长. 解∵△ABC是Rt△ABC ∴AC2=(AC-2)2+62 ∴AC=10 课堂总结 1.把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五” 2.勾股算法：勾与股的平方和等于弦的平方 3.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 作业布置 1.必做题：教科书P172习题--学而时习之1-2 2.选做题：教科书P172习题--温故而知新5 $