精品解析：山西省晋中市山西现代双语学校南校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

山西现代双语学校南校2025-2026学年高三年级开学考试 数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 2. 已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【详解】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B 3. 一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由两点分布求出随机变量的均值，然后求出方差即可. 【详解】由题意，所以. 故选：D 4. 已知与的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，则的值是（ ） 2 3 4 5 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算样本中心，将样本中心 代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为，所以样本中心为，将其代入回归方程，得，解得. 故选：C. 5. 用数字0，2，3，4，5组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】个位从和中选择一个，百位不能选0，根据含不含0的情况分类讨论即可求解. 【详解】根据题意：个位从和中选择一个，百位不能选0， 若不含0，则有，若含0，则有， 根据分类加法计数原理有：. 故选：C. 6. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出该二项式展开式的通项，令，代入系数求解即可. 【详解】展开式的通项为：， 令得含项的系数为. 故选：D 7. 两个不透明的口袋中各自装有若干个除颜色外完全相同的小球，A口袋中有2个白球，3个黑球，B口袋中有1个白球，4个黑球．现从A，B两个口袋中各自随机抽取2个球，则四个球中恰有1个白球的概率为（ ） A. 0.36 B. 0.52 C. 0.16 D. 0.48 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽取到的个白球的来源进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若抽取到的个白球来自口袋，则概率为. 若抽取到的个白球来自口袋，则概率为. 所以四个球中恰有1个白球的概率为. 故选：D 8. 已知为函数的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导得，利用奇偶性即可判断A，计算即可判断D，当时，判断即可判断C，进而求解. 【详解】由题意有， 又，所以为奇函数，排除A； 又，排除D； 由，排除C，故B正确. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 的分布比的分布更集中 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态曲线的特点判断AB，根据正态曲线的对称性判断CD. 【详解】由可知，故A正确； 因为，所以的分布比的分布更分散，故B不正确； 由可知，， 故C不正确， 由可知， 所以，故D正确． 故选：BC 10. 已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可得，可判断A；由，可判断B，由等比数列求和公式可判断C；分和两种情况讨论比较大小可判断D. 【详解】对于A，因为，所以当时，，故A正确； 对于B，当时，，所以， 即， 又，不满足，所以数列不是等比数列，故B错误， 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，当时，， 综上，故D正确. 故选：ACD 11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，重复一次操作，甲袋中有1红的情况有两种，运用互斥事件的概率加法公式计算即得；对于B项，运用条件概率公式，分别算出和代入公式计算即得；对于C项，运用独立事件的概率乘法公式计算即得；对于D项，运用相容事件的并的概率公式计算即得. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白． 对于A项，重复1次操作，甲口袋中有1红的概率，故A项正确； 对于B项，，，，故，故B项正确； 对于C项，因事件与相互独立，则，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：对所求事件所包含的情况的判断，求若干事件的并的概率，需要判断互斥还是相容，对于条件概率题，要么用样本空间中基本事件数计算，要么用概率公式计算，对于积事件的概率应先判断两事件的独立性，再用公式求. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的极小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求导得，利用导数研究单调性进而求极值即可. 【详解】由题意有的定义域为，所以， 令有，由有，有， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为. 故答案为：. 13. 现有3箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味．现从三箱中任意选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求解. 【详解】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件， 则彼此互斥，且，. 设随机取1袋酸奶，取出的酸奶是水果味为事件，则. 故答案为：. 14. 有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为______． 【答案】50 【解析】 【分析】先利用插空法求得两名女生不能相邻的站法；然后分别求出两名女生不能相邻且男生甲站在最左边、两名女生不能相邻且女生乙站在最中间、两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间三种情况的站法，根据排除法求解即可. 【详解】先求出两名女生不能相邻的站法有种； 若两名女生不能相邻且男生甲站在最左边，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻且女生乙站在最中间，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间， 则满足题意的站法有种， 所以满足条件的站法种数为种. 故答案为：50 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校开设了具有地方特色的包饺子、园艺、剪纸、种植、非物质文化遗产等劳动实践课程．该校为进一步优化劳动教育课程，随机抽取了100名学生进行了一次问卷调查，了解不同性别的学生对已开设劳动课程的满意情况，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 男生 35 15 50 女生 40 10 50 合计 75 25 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对已开设劳动课程的满意情况与学生性别有关联？参考公式及数据：，其中． （2）从不满意的学生中抽取2名学生进行访谈，求至少抽到一名男生的概率． 【答案】（1）认为该校劳动课程与学生性别没有有关联． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据求出卡方，与临界值比较即可判断. （2）结合组合数，利用古典概型概率公式求解即可，注意对于至少、至多问题一般可以直接法或者间接法两种方法求解. 【小问1详解】 零假设该校劳动课程与学生性别无关联． ， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据说明不成立， 即可认为该校劳动课程与学生性别没有有关联． 【小问2详解】 记至少抽到一名男生的概率为， 则（或）， ∴至少抽到一名男生的概率为． 16. 某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”． （1）判断事件与是否相互独立.若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由； （2）若该同学连续抛掷这两枚骰子3次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值． 【答案】（1）事件不相互独立， （2）分布列： 0 1 2 3 均值为1 【解析】 【分析】（1）计算，验证是否成立，即可判断事件与是否相互独立，利用条件概率公式求，最后利用对立事件即可求解； （2）先求，进而得，利用独立重复试验以及二项分布的数学期望即可求解. 【小问1详解】 有序数对共有36种可能结果，其中事件“为偶数”共有18种可能结果，即， 事件，共10种可能结果，， 事件，共6种可能结果，即， 故，则事件不相互独立， 所以， ∴； 【小问2详解】 事件发生的概率为： （或者）， ∴， 所以， ， 的概率分布列为： 0 1 2 3 ， ∴的均值． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线的在点处的切线方程； （2）若函数在定义域上恰有一个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导函数求得切线斜率为1，再利用点斜式即可求得切线方程. （2）利用零点的定义，构造函数，将问题转化为求直线与函数的图象只有一个交点求解. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，由，得， 令，依题意直线与函数的图象只有一个交点， ，由，得；由，得， 函数在上递增，函数值集合为，在上递减，函数值集合为， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象，当且仅当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 所以a的取值范围是. 18. 已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，． （1）求； （2）若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求得，然后利用等差数列的通项公式求得，然后再利用等比数列通项公式基本量运算求得. （2）依次求出中相邻项之间插入1的个数，即可求出. 【小问1详解】 当时，且，解得， 当时，， ∴， 即，则， ∵，则，所以， ∴是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 设数列的公比为，则， 即，解得：，所以； 【小问2详解】 根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1；在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1；在4和5之间插入个1； 在5和6之间插入个1， 到6时，恰好有项，故． 19. 在一次程序设计竞赛中，需要通过逐一运行测试点的方式对选手编写的程序进行评测．评测共有6个测试点，分为3个基本功能点与3个强测优化点．每通过1个基本功能点，选手将获得5分；每通过1个强测优化点，选手将获得10分．选手最终得分为所有测试点得分之和．主办方准备了两种评测方案，可供选手选择，每种方案都按确定的次序进行评测，每个测试点只测试1次． 方案一：先测试3个基本功能点，在这个过程中只要有测试点不通过则终止评测；选手通过所有基本功能点后才能测试3个强测优化点，在这个过程中即使有测试点不通过，也将继续测试，直到所有强测优化点测试完毕． 方案二：选手按1个基本功能点，1个强测功能点，1个基本功能点……进行交叉测试，过程中出现任何1个测试点不通过的情况都立刻终止测试． 小张编写的程序通过每一个基本功能点的概率均为，通过每一个强测优化点的概率均为．每个测试点是否通过都相互独立，且． （1）若，小张选择了方案一进行评测.求小张最终得分不少于30分的概率； （2）设小张的最终得分为随机变量为，分别求出方案一与方案二中的分布列； （3）以小张的最终得分的期望为依据，判断小张应该选择哪一种方案？ 【答案】（1）0.013 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）分别求出两种方案的随机变量的取值，再求出对应的概率，即可求出两种方案的分布列； （3）利用期望公式求出两种方案的期望，则 ，令，利用导数法得在上恒小于0，令．，再利用导数法求得，进而得在上存在唯一零点，即可得解. 【小问1详解】 小张最终得分不少于30分，说明小张通过了3个基本功能点，并至少通过了2个强测优化点， ∴概率为：； 【小问2详解】 ①若选择方案一，则， ， ， ， ， ， 故的分布列为： ②若选择方案二，则， ， ， ， 故的分布列为： 【小问3详解】 若选择方案一，则其得分期望： ， 若选择方案二，其得分期望： ， 故有 ， 令，则， ∴在上单调递增并存在唯一零点， 故在单调递减，在上单调递增， 而，故在上恒小于0， 令． 故为开口向下的二次函数，， 令，则， 在上单增并存在唯一零点， 故在单调递减，在单调递增， 且，故在上恒小于0，即， 故在上存在唯一零点：， 因此，当时，． 当时，． 综上所述：当时，选择方案二； 当时，两种方案都可选择； 当时，选择方案一． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西现代双语学校南校2025-2026学年高三年级开学考试 数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（ ） A. B. C. D. 4. 已知与的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，则的值是（ ） 2 3 4 5 A. B. C. D. 5. 用数字0，2，3，4，5组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 12 6. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 7. 两个不透明的口袋中各自装有若干个除颜色外完全相同的小球，A口袋中有2个白球，3个黑球，B口袋中有1个白球，4个黑球．现从A，B两个口袋中各自随机抽取2个球，则四个球中恰有1个白球的概率为（ ） A. 0.36 B. 0.52 C. 0.16 D. 0.48 8. 已知为函数的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 的分布比的分布更集中 C. D. 10. 已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的极小值为__________． 13. 现有3箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味．现从三箱中任意选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率为______． 14. 有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校开设了具有地方特色的包饺子、园艺、剪纸、种植、非物质文化遗产等劳动实践课程．该校为进一步优化劳动教育课程，随机抽取了100名学生进行了一次问卷调查，了解不同性别的学生对已开设劳动课程的满意情况，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 男生 35 15 50 女生 40 10 50 合计 75 25 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对已开设劳动课程的满意情况与学生性别有关联？参考公式及数据：，其中． （2）从不满意的学生中抽取2名学生进行访谈，求至少抽到一名男生的概率． 16. 某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”． （1）判断事件与是否相互独立.若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由； （2）若该同学连续抛掷这两枚骰子3次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线的在点处的切线方程； （2）若函数在定义域上恰有一个零点，求a的取值范围. 18. 已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，． （1）求； （2）若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值． 19. 在一次程序设计竞赛中，需要通过逐一运行测试点的方式对选手编写的程序进行评测．评测共有6个测试点，分为3个基本功能点与3个强测优化点．每通过1个基本功能点，选手将获得5分；每通过1个强测优化点，选手将获得10分．选手最终得分为所有测试点得分之和．主办方准备了两种评测方案，可供选手选择，每种方案都按确定的次序进行评测，每个测试点只测试1次． 方案一：先测试3个基本功能点，在这个过程中只要有测试点不通过则终止评测；选手通过所有基本功能点后才能测试3个强测优化点，在这个过程中即使有测试点不通过，也将继续测试，直到所有强测优化点测试完毕． 方案二：选手按1个基本功能点，1个强测功能点，1个基本功能点……进行交叉测试，过程中出现任何1个测试点不通过的情况都立刻终止测试． 小张编写的程序通过每一个基本功能点的概率均为，通过每一个强测优化点的概率均为．每个测试点是否通过都相互独立，且． （1）若，小张选择了方案一进行评测.求小张最终得分不少于30分的概率； （2）设小张的最终得分为随机变量为，分别求出方案一与方案二中的分布列； （3）以小张的最终得分的期望为依据，判断小张应该选择哪一种方案？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $