复习专项（三） 重难题组-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 复习专项（三） 重难题组 专项上分 对点提升 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题 （第1题图） 1.［2025安徽亳州月考］如图，直线与反比例函数 ， 的图象分别交于点，，直线 与反比例函数 ，的图象分别交于点，，其中常数， 均大于 0.点，分别是轴、轴上的任意点，设和 的面 积分别为，，则下列结论：； ； ；；；， 均为定值．正 确的有( ) A A.②④⑥ B.①②③ C.④⑥ D.⑤⑥ 1 2 3 4 5 6 7 6 【解析】 . 如图，设与轴的交点为，连接，，， 直线 与反比例函 数，的图象分别交于点，， 轴， ，， ， .同理可得， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 7 （第2题图） 2.［2025山东菏泽期中］如图，在矩形中，是 边的中点， ，垂足为点.分析下列四个结论： ； ；； ．其中正确的 结论有( ) B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 1 2 3 4 5 6 7 8 【解析】 序 号 分析 判 断 ① 四边形是矩形，， ， ， ， 正 确 ② ， 易得，.是 边的中点， ，， 正 确 1 2 3 4 5 6 7 9 序 号 分析 判 断 ③ ，， ， ， 错 误 ④ ， , ，， ， 正 确 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 二、填空题 3.［2024广东广州黄埔区校级质检］如图，正方形的边长为， 为对角 线上的动点，过作于，于.连接，则 的最小值为___. 2 （第3题图） 1 2 3 4 5 6 7 11 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 12 连接，如图所示. 四边形为正方形，且边长为， ， ，，， 四边形 是矩 形，， 要求的最小值，只需求出的最小值即可. 点在 上， 根据“垂线段最短”可知，当时，最短. ， 此时 为等腰直角三角形，.在 中，由勾股定理得 ，，解得（负值已舍去），即 的最小 值为2， 的最小值为2.故答案为2. 1 2 3 4 5 6 7 13 （第4题图） 4.［2024山东烟台莱山区期末］如图，在 中， ，，，动点从点 出发在 线段上以每秒的速度向运动，动直线从 开始以 每秒的速度向上平行运动，分别与，交于点， ， 连接.设动点与动直线同时出发，运动时间为.当 为 ______时，与 相似. 6或 1 2 3 4 5 6 7 14 【解析】 动点从点出发在线段上以每秒的速度向 运动， ，，.又 动直线从 开始以每秒 的速度向上平行运动，.根据与都是直角，点 是公共 点，可知分与两种情况讨论：①当 时，，即，解得；②当时， ，即 ，解得.综上所述，当或时，与 相似. 1 2 3 4 5 6 7 15 三、解答题 5.［2025湖南益阳期末］如图，在矩形中，， ， ，是对角线上的两个动点，分别从, 同时出发相向而行，速 度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中 ． （1）若，分别是边，的中点，则四边形 的形状一定 是____________,相遇时除外 ; 平行四边形 【解析】由题可得 四边形是矩形，, , ,分别是边,的中点，, , ,，.同理可得, 四边形 是平 行四边形，故答案为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 16 （2）在（1）的条件下，若四边形为矩形，求 的值； 【解】连接 四边形是矩形，， ，, 分别是,的中点，, 四边形是矩形， .若四 边形是矩形，则， . ①如图（1），当点在点上方时，， . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 17 ②如图（2），当点在点 上方时， ， . 综上，四边形为矩形时, 的值为2或8. 1 2 3 4 5 6 7 18 （3）在（1）的条件下，若向点运动，向点运动，且与点， 以相同的速 度同时出发，当四边形为菱形时，求 的值． 图（3） 【解】如图（3），连接，，，与交于点 四边形 为菱形，，，， ， ， 四边形为菱形，.设 ，则 .由勾股定理可得 ，即 ，解得，， 当 时，四边形 为菱形． 1 2 3 4 5 6 7 19 6.［2024安徽滁州二模］在四边形中，对角线，相交于点 . 1 2 3 4 5 6 7 20 （1）如图（1），平分，若，，求证： . 【证明】平分,.设 ， ， .在 中， ， ， ， .在和 中， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 21 （2）如图（2），点在边上，垂直平分，垂足为；垂直平分 ， 垂足为，若，求证： . 【证明】如图（1），连接， . ，分别垂直平分，，，， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 22 ，， ，即 .在和中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 （3）如图（3），，分别为，的中点，将 向两端延长，延长线分别交 ，于，.若，，的面积分别为，，直接写出 的值. 1 2 3 4 5 6 7 24 【解】.如图（2），分别过点，作， 的平行线交直 线于点，,是 的中点， .在和 中， ， .同理可得 ，，， ， ， ， ，.，，.为 的中点，， . 1 2 3 4 5 6 7 25 7.［2024四川成都青羊区校级期中］如图， 直线与双曲线 交于 ，两点，点的坐标为，点 是双曲线第一象限分支上的一点，连接 并延长交轴于点，且 . （1）求出的值及点 的坐标. 【解】将点代入直线中，得，解得 ， ，， 反比例函数表达式为 . 由得或 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 26 （2）点是轴上的动点，连接，，求 的最小值. 【解】如图，作轴于点，轴于点 ， ，，. ， ，，，，即点 的纵坐标为1. 将代入，得，.作点关于 轴的对称 点，则.连接交轴于点，则即为 的最小值. ，，， 的最小 值为 . 1 2 3 4 5 6 7 27 （3）点是直线上一个动点，是否存在点，使得与 相似？若存 在，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在.由（1）（2）可知，，，易得， ， ，.设，， .当 时，，即，解得 （舍去）或 ，此时,点的坐标为，；当时， ，即 ，解得（舍去）或，此时，点的坐标为 ，.综上，点的坐标为，或， . 1 2 3 4 5 6 7 28 $$