卷8 第四章 图形的相似 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 第四章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 4 上分点1 成比例线段与平行线分线段成比例 上分点2 相似多边形 上分点3 相似三角形的判定 上分点4 相似三角形的应用 上分点5 相似三角形的性质 上分点6 图形的位似 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 编者按：先做基础诊断卷 检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补足 短板，最后做提优验收卷 综合提升 上分点1 成比例线段与平行线分线段成比例 1.［2025山东招远期末］已知，则 的值为( ) A A. B. C. D.19 【解析】，，， ．故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7 2.［2024北京朝阳区校级一模］“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳 子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段 的一个端 点任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段，， ， ，，连接，再分别过点，，，作的平行线，与 的交 点分别为，，，，则这些平行线恰好将线段 五等分．其中蕴含的数学 道理是( ) C A.平行于同一条直线的两条直线互相平行 B.两点确定一条直线 C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8 【解析】蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 （第3题图） 3.［2024浙江杭州拱墅区校级质检］如图， ， ，，则 的长为( ) D A.3 B.4 C.6 D.9 【解析】，， . ，， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10 （第4题图） 4.［2025上海虹口区月考］如图所示，已知直线 ，下列结 论中，正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】， ，故A选项不正确，不符合题意； ， ，故B选项不正确，不符合题意； ，，故C选项不正确，不符合题意；， ， 故D选项正确，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11 上分点2 相似多边形 5.［2023广东佛山禅城区期末］如图，四 边形 四边形 ，且顶点都在 方格纸的格点上，则四边形 和四边 形 的相似比是( ) C A. B. C. D. 【解析】设方格纸中每个小正方形的边长为 四边形 四边形， 相似比为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12 6.［2024陕西西安质检］如图，在矩形中，， ，剪去一个矩形 后，余下的矩形 矩形，则 的长为__. 【解析】 四边形是矩形，， 矩形 矩形，，，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13 上分点3 相似三角形的判定 7.［2024河北保定期中］已知的三边长分别是1，，，则与 相似 的三角形的三边长可能是( ) A A.，2， B.，1， C.1，， D.，1， 【解析】， 三边长是，2，的三角形与 相似. 选项B、C、D中的数据不符合要求，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14 8.［2025江苏无锡期中，中］如图，是的边 上的一点， 连接，已知 ． （1）求证： ； 【证明】，， . （2）若，，求 的长． 【解】设， ， ，， ，整理得 ，解得或 （不合题意，舍去）， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15 9.［难］如图（1），和是等边三角形，连接，点，， 分别是 ，和的中点，连接，.易证得 . 若和都是等腰直角三角形，且 ，如图（2）； 若和都是等腰三角形，且 ，如图（3）.其他 条件不变，判断和 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图（2）或图（3） 进行证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16 【解】题图（2）中，，证明：如图（1），连接 ， ，和 都是等腰直角三角形，且 ，，分别是， 的中点， ，，， ， ， ， ， ，， ， 点，分别是，的中点，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17 题图（3）中，，证明：如图（2），连接 ， ，和 都是等腰三角形，且 ， 点， 分别是 ，的中点，，， ， ，，，， 点，分别是，的中点，， . （写出其中一个结论的证明过程即可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18 上分点4 相似三角形的应用 10.［2024山东淄博临淄区期末］如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面 上，其截面可看做一个宽，长 的矩形.当水面触到杯口边缘 时，边 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】如图所示，作 桌面于点.由题意可得， ， ，故. 四边形 是 矩形,,,.又 , ,.又， ， ，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 11.［2025山东乳山期末］图（1）是大拇指广场及测量其高度的方案，图（2）是 测量大拇指高度的示意图．如图（2），在处放置一根高度为 且与地平线 垂直的竹竿，连接并延长交于点，测得为．将竹竿 向右平移 至处，连接并延长交于点，测得为．求大拇指 的高度． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 21 【解】由题意得，，， ， . 由题意得，，， . ， . ，，， ， ，解得 . ，，，解得 ． 答：大拇指的高度为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 22 12.跨学科试题［2025上海奉贤区期末］如图（1），某小组通过实验探究凸透镜 成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整 到合适的高度．如图（2），主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心 ，将 长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线， 传播 方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距 为 12.8厘米． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 23 （1）求像 的长度． 【解】由题意得，，， ， ， ，， ． 答：像<m></m>的长度为<m></m>． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 24 （2）［中］已知光线平行于主光轴，通过凸透镜折射后经过焦点 ，求凸 透镜焦距 的长． 【解】过点作交于点 ，如图. ，， 四边形 为平行四边形， ， ． 同理，四边形为平行四边形， . ，， ， ，， ． ，，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 25 答：凸透镜焦距的长为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 26 上分点5 相似三角形的性质 13.［2024河北邢台信都区质检］已知，，， ， 则 ( ) A A.6 B.4 C.3 D.2 【解析】，，，，，即 ， 解得 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 27 14.［2024重庆沙坪坝区质检］若两个相似三角形的相似比为 ，则这两个三角 形的周长之比为( ) B A. B. C. D. 【解析】 两个相似三角形的相似比为， 这两个三角形的周长之比为 ， 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 28 15.［2025江苏苏州姑苏区校级期末］如图，，是 的 两条中线，连接．若，则 ___． 3 【解析】，是的两条中线，是 的中位 线，，， ， . ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 29 上分点6 图形的位似 16.［2024重庆渝中区校级质检］如图，在平面直角坐标系中， 与是位似图形，位似中心是原点.若 ， ，则与 的相似比是( ) A A. B. C. D. 【解析】与是位似图形，位似中心是原点，, ， 与的相似比是 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 30 17.［2025河北唐山古冶区月考］如图是由边长为1的小正方形组 成的网格，以为位似中心，作线段的位似图形.若点是点 的对应点，则点 的对应点是( ) D A.点 B.点 C.点 D.点 【解析】，， 线段 与其位似图形的相似比 为由图可知，点的对应点是点 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 31 18.［2025广西崇左江州区期末］如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边 长都是1个单位长度， 的顶点都在格点上． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 32 （1）以原点为位似中心，在第三象限内画出将 放大为原来的2倍后的位似 图形 ； 【解】如图， 即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 33 （2）［中］已知的面积为，则 的面积是____． 14 【解析】和关于原点位似，且相似比为 ， ．故答案为14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 34 $$