卷1 第一章 特殊平行四边形 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 第一章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 4 上分点1 菱形的性质与判定 上分点2 矩形的性质与判定 上分点3 正方形的性质与判定 上分点4 中点四边形 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 编者按：先做基础诊断（A卷）检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补 足短板，最后做提优验收（B卷）综合提升 上分点1 菱形的性质与判定 （第1题图） 1.［2024福建福州仓山区校级期末］如图，在菱形 中，对 角线,相交于点， ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 四边形是菱形，.又 ， 四边形是菱形， ， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 （第2题图） 2.［2025陕西咸阳月考］如图，在菱形中，对角线, 相交于点，点在上，且，连接.若 ， ，则 的长为( ) C A.2 B. C. D.10 【解析】 四边形是菱形，, ， ，，， ， .在中， ， 在中， ．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 3.［2023山东聊城中考］如图，在中， 的垂直平分 线交于点，交于点，连接，，过点 作 ，交的延长线于点，连接.若， ， 则四边形 的面积为____. 24 【解析】，的垂直平分线交于点 ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形.又， 平行四边形 为菱 形. 在平行四边形中，，，.在 中，.故菱形 的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 4.［2025重庆万州区期末］如图，在菱形中，， 是 对角线上的两点，连接，，且 ． （1）求证： ； 【证明】 四边形是菱形，， . 在和中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 （2）若，，求 的度数． 【解】， . 又，是等边三角形， . ，， , , ， . 四边形是菱形， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 5.［2025山东胶州校级月考］如图，平行四边形 的对角线 ，交于点，为的中点，连接，过点作 交的延长线于，连接 ． （1）求证： ； 【证明】， . 为的中点， . 在和中， .（用其他方法证明也可以，答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 （2）［中］当满足什么条件时，四边形 为菱形？请说明理由． 【解】当 时，四边形 为菱形.理由如下： 由（1）可得， 四边形 是平行四边形， ，，， 四边形 为平行四边形. ，，， 四边形 为菱形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 上分点2 矩形的性质与判定 6.［2025广东佛山月考］如图，在平行四边形中，对角线与 相交于点 ，如果添加一个条件，可推出平行四边形 是矩形，那么这个条件可以是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】在中，如果添加一个条件，可推出 是矩形，那么添加的 条件可以是 ，故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 （第7题图） 7.［2024贵州贵阳质检］如图，矩形的对角线和 相 交于点，过点的线段分别交和于点，， ， ，则图中阴影部分的面积为( ) B A.6 B.3 C.2 D.1 【解析】 四边形是矩形，， , .在和 中， ，， ， ， ，故 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 8.［2025湖南娄底月考］如图，在和 中， ，是的中点，连接,．若，则 的长为___. 3 （第8题图） 【解析】在和中， ，是 的中点， ，，， ，故答案为3． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 9.［2024河北保定期末］如图，在中，，分别是边， 的中点，连接 并延长到，使得，连接，， . （1）求证： . 【证明】 点是边的中点，.又， 四边形 是平行 四边形， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）［中］若 ，试判断四边形 是否为菱形，并说明理由. 【解】四边形 为菱形.理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形. 点是边的中点， ， ， 平行四边形 是菱形. （3）［偏难］在不加辅助线的前提下，给 添加一个条件：______________ ___________，使得四边形 是矩形. . （答案不唯一） 【解析】添加，使得四边形 是矩形.理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形.，点是边 的中点， ， ， 平行四边形是矩形.故答案为 . （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 10.［2025湖南长沙月考］如图，矩形中，的平分线交 于点，是延长线上一点，且满足，连接， ． （1）求证： ； 【证明】 四边形是矩形，， ， ,平分 ， ， ， ，即.在和 中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 （2）［中］当 时，求 的值． 【解】 ，且， 为等边三角形， .设， ， 则，， ， 整理得，故， . ，，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 11.［2025重庆铜梁区校级月考］如图，在矩形 中，对 角线与交于点，是经过点且与 平行的直线上一 点，且，点在线段上，且满足 ， 连接 ． （1）若 ，求 的度数； 【解】 四边形是矩形，， ， ， ， , ， ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 （2）若，求证： ． 【证明】如图，取的中点，连接 ，则 ， 四边形 是矩 形，, ， ， ， ， ， ， ， .由题意知， ， ，.在和 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 ， ， ， ， ，.在和 中，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 上分点3 正方形的性质与判定 （第12题图） 12.［2024重庆合川区模拟］如图，正方形中，点为边 延长线上一点，点在边上，且，连接， ．若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 【解析】如图，连接，设,的交点为 四边形 是正方形， ，， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 （第13题图） 13.［2025陕西西安新城区校级月考］如图，正方形 的对角 线相交于点，点在边上，连接,.若， ， 则点到 的距离为( ) B A. B. C.2 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 【解析】 正方形的对角线相交于点， ， ， ， 点到的距离为3.在 中，由 勾股定理得.， ， ， ， .设点到的距离为 ， ， ， ，故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.［2024陕西榆林榆阳区校级质检］如图，在矩形 中， 的平分线交于点，于点， 于点 ，与交于点 . （1）求证：四边形 是正方形. 【证明】 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形.平分，, , ， 四边形 是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 （2）［中］若，求证： . 【证明】平分， . 在和中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 （3）［偏难］在（2）的条件下，已知，求 的长. 【解】由（1）知四边形是正方形， . ， ， ， ， . ， ， ，的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 上分点4 中点四边形 15.我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形 叫做中点四边形.如图，，，，分别是四边形 各 边的中点. （1）求证：四边形 是平行四边形. 【证明】因为，分别为，的中点，所以 是 的中位线，所以.同理可得，所以 .同理可知 ，所以四边形 是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 （2）［中］如果我们对四边形的对角线与 添加一定的条件，那么可 使四边形 成为特殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案. ①当时，四边形 为______. 菱形 【解析】因为，,,分别为，,, 的中点，所以易得 ，.又因为，所以 ， 所以四边形 为菱形.故答案为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 ②当___时，四边形 为矩形. 【解析】结合（1）可知，当时，，所以四边形 为矩形.故 答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 ③当且时，四边形 为________. 正方形 【解析】结合①②可知，当且时，四边形 为正方形.故答案 为正方形. 上分心得 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 16.［中］如图，公园的风景墙上设计了一种矩形窗户，在其内部有等宽的四边形 窗格（阴影部分），空白处用以通风.已知，，，， ， 分别是矩形各边的中点，四边形和四边形形状相同.点，， ， 和，，，各在一条直线上，量得 ， .求窗户用以通风的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 【解】如图，连接， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 ，分别是，的中点，是的中位线， .同理， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形. 四边形和四边形 形状相同， 四边形也是菱形.连接，，则 ， ， ， ， 窗户用以通风的面积为 答：窗户用以通风的面积是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 $$