卷8 第四章 图形的相似 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 卷8 第四章基础诊断卷（A卷） 考查内容：图形的相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.［2025河南安阳期末］下面几组图形中，相似的是( ) C A. B. C. D. 【解析】选项A、B、D，图形的形状不相同，不符合相似图形的定义；选项C， 图形的形状相同，符合相似图形的定义，故选C. 时间： 满分：120分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.［2025上海青浦区期末］下列各组中的四条线段成比例的是( ) B A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 【解析】 选项 分析 结论 A 2 不符合题意 B 2 符合题意 C 1 不符合题意 D 2 不符合题意 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分总结 判断四条线段是否成比例的方法 （1）先将四条线段的长度单位统一，然后将四条线段的长度按从小到大的顺序排 列，再判断前两条线段的长度比是否等于后两条线段的长度比，相等则是成比例 线段，不相等则不是成比例线段.（2）将统一长度单位后的线段中最小的线段长度 和最大的线段长度相乘，剩下的两条线段长度相乘，看它们的积是否相等，相等 则是成比例线段，不相等则不是成比例线段. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 3.［2025福建泉州期中］已知，则 ( ) A A. B. C. D.1 【解析】设，则，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.［2025河北邯郸月考］如图，嘉嘉要测量池塘两岸，两点间的距离，先在 的延长线上选定点，测得，再选一点，连接，.作 ，交 于点，测得，，则 ( ) C （第4题图） A. B. C. D. 【解析】，，即， ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第5题图） 5.新情境［2024广东佛山南海区模拟］黄金分割被很多人认为是“最 美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出 更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也 很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段 的黄 金分割点，.若，则 的长为( ) C A. B. C. D. 【解析】 点是线段的黄金分割点， ， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.［2025山东滨州滨城区期末］如图，点，分别在的 ， 边上，添加下列条件：， ， ，中的一个，使与 一定相似的是 ( ) B A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【解析】， 添加或 ，由两角分别相等 的两个三角形相似可判定，故①②符合题意； ，但 和不一定相等，与 不一定相似，故③不符合题意； ，， 由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可 判定 ，故④符合题意．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第7题图） 7.［2024河南商丘校级四模］如图，将视力表中的两个“ ”放在平面 直角坐标系中，两个“”是位似图形，且相似比为 ，位似中心为 坐标原点，点与点为一组对应点.若点的坐标为，则点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 【解析】 两个“”是位似图形，位似中心为点，相似比为，点 的坐标为 ， 点的坐标为，即 .故选B. 上分总结 以原点为位似中心的对应点的坐标特征 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.若以原点为位似中 心，相似比为，则位似图形对应点的横、纵坐标之比等于或 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 8.传统文化［2024湖南益阳二模，中］四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出 现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图（1）是古代测量员用四分仪测量 一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点 ,窥衡杆与 四分仪的一边交于点．图（2）中，四分仪为正方形 ,方井为矩形 ．若测量员从四分仪中读得为1，为，实地测得为,则井深 为( ) A 图（1） 图（2） A.4 B.5 C.6 D.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】 四边形是正方形，， ， 四边形是矩形， ， ， .又 ， ，，，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第9题图） 9.［2024湖南衡阳蒸湘区一模，中］如图，在菱形中， 为边上一点，，交于点.若 ，则 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】 四边形是菱形，， ， , ， ， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 10.［2025山东泰安期末，偏难］如图，在锐角中， ， ，动点从点出发运动到点停止,动点从点出发运动到点 停止,点 运动的速度为，点运动的速度为 ．如果两点同时运动，那么当以 点，，为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是( ) A （第10题图） A.或 B. C. D.或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】设运动秒时，以点，，为顶点的三角形与相似，则 ， ，．①当时， ， 即，解得；②当时， ， 即，解得．综上，当以点，， 为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2024江苏泰州靖江期中］已知线段，，若线段是， 的比例中项， 则 ___． 6 【解析】，，线段是，的比例中项，，解得 （负值已舍去）.故答案为6． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 （第12题图） 12.跨学科试题［2025广西桂林期末］为了证明光是沿直线传 播的这一性质，大约两千四百年前我国杰出的科学家墨翟和 他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔 成倒像的原理．如图所示是小孔成倒像原理的示意图，根据 图中所标注的尺寸，长的箭头在暗盒中所成的像 的长为___ ． 【解析】由题意可得，， , ，，解得 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 13.［2025四川成都一模］如图，和是以点 为位似中心的位似图形， 若，的面积为16，则 的面积为____． 81 （第13题图） 【解析】和是以点 为位似中心的位似图形， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 （第14题图） 14.［2025山东栖霞期末，中］如图所示，某同学用如下方法测 量教学楼 的高度：在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学 楼的距离，当他与镜子的距离 时，他刚 好能从镜子中看到教学楼的顶端 .已知他的眼睛距地面的高度 ，则教学楼 的高度为________． 【解析】由题意得 ， ， ， ，，即，， 教学楼 的高度 为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 15.［2025山东青岛期中，中］如图，在中，对角线与相交于点 ， 在的延长线上取一点，连接交于点．已知，， ， 则 的长为_____． （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】作交于点，如图. 四边形 是平行四 边形，，，，， ， ，，是 的中位 线，， ， ， ， ，故答 案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 16.［2025山东烟台牟平区期末，偏难］如图，在正方形中，点是 的中 点，点是上的一点，且，连接，， .下列结论： ；；； ，其 中正确的结论是__________．（填写序号） ①②③④ （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解析】 序号 分析 判断 ① 设，则 四边形 是正方形， ， 点 是的中点，， ，， 正确 ② ,，， ， ， ， ， ， 正确 ③ ，， 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 序号 分析 判断 ④ ， ，， 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025山东菏泽月考］（8分）如图，在平行四边形 中， 点为边上一点，连接，点为线段 上一点，且 ．求证： ． 【证明】 四边形 是平行四边形， ，， ， ．…………（4分） ， ， ， ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【思路分析】先由平行四边形的性质得出， ，再 结合，得出，即可证明 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 18.［2025安徽阜阳月考］（10分）已知 在平面直角 坐标系中的位置如图所示，其中点和点 的坐标分别为 ， ． （1）在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形，使 与的相似比为 ； 【解】如图， 即为所求.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）画出绕点按逆时针方向旋转 后的 ． 【解】如图， 即为所求.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 【关键点拨】此题考查位似变换和旋转变换的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 19.［2025浙江杭州月考］（10分）如图，在中， 于 点，是上一点，且 ． （1）求证： ． 【证明】于点， ， 即 .…………（2分） ， ， ，.又 , .…………（5分） 【思路分析】先由于点得出 ，再结合 ，可得出 ，最后利用“内错角相等，两直线平行”，可 得出，即可证出 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）若，的面积为25，求 的面积． 【解】， ， 即 ，…………（8分） ．…………（10分） 【思路分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出 的面积． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 20.新情境［2025陕西宝鸡陈仓区三模，中］ （12分）如图，赵玲和张羽计划合作完成测量 凤凰雕塑顶端到地面的高度 这一任务．赵 玲在点处竖立一根高为的标杆 ，张羽 测出地面上的点、标杆上的点和点 在一条 直线上，利用皮尺测出，． 张羽向后退，又测出地面上的点 、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知 ， ，点，，， 在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，请你根 据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【解】由题意可得 . ， ， ， ，…………（4分） ， ， ， ，…………（8分） 解得， ． 答：凤凰雕塑顶端到地面的高度为 .…………（12分） 【思路分析】由，，， ，证得 ，，即可得到， ，进而求解 即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 21.［2025广东深圳月考］（12分）如图，在与 中， ，，连接， ． （1）［中］求证： ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 【证明】 ， ， ， …………（2分） ， ， ， .…………（4分） 又， ， .…………（8分） 【思路分析】先证明，由相似三角形的性质得出 ， ，进而可得 ，再利用“两边成比例且夹角相等的两个 三角形相似”即可证明 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）［难］若，求 的值． 【解】， . ， .…………（10分） 由（1）可知， ， ．…………（12分） 【思路分析】先利用勾股定理得到 ，再利用相似三角形的性质求解即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 22.探究性试题［2025山东新泰月考］（14分）如图，在菱形中，点 是边 上的任意一点（不与点，重合），交对角线于，过点作 交 于点 ． 【问题探究】 （1）［中］求证： ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 【证明】 四边形 是菱形， ，， . , ， .…………（3分） ，，， . , ，…………（5分） ， ， .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【迁移运用】 （2）［偏难］当时，求证： ． 【解】如图所示，连接交于点，则， . ， .…………（9分） ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 ， ， . ， ， ．…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【关键点拨】熟练掌握相似三角形的判定与性质及菱形的性质是解题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 $$