卷8 第四章 图形的相似 上分专题（5） 与相似三角形有关的动态变化-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 上分专题（五） 与相似三角形有关的动态变化 重难上分 攻克难点 4 类型1 相似三角形中的平移、翻折、旋转 类型2 相似中的动点问题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 相似三角形中的平移、翻折、旋转 母题学方法 上分攻略 对给定的图形（或其中一部分）进行某种位置变换（平移、翻折或旋转），然后 在新的图形中分析有关图形之间的关系，可根据变换前后对应角相等、对应边相 等找到相似三角形的判定条件证明三角形相似. 1 2 3 4 5 6 6 1.［2025安徽六安金安区期末］如图，将矩形纸片 沿着过点的直线折叠，使点落在 边上， 落点为，折痕交边于点 ． 1 2 3 4 5 6 （1）求证： ； 【证明】 四边形是矩形， . 根据折叠性质知， ， ， ， . （2）［中］若，，求 的长. 【解】由折叠性质知，， . ， . 四边形是矩形，， ， ．设，则 . ，,解得， ． 1 2 3 4 5 6 8 子题练变式 2. 如图，将线段平移得到，点与点对应，点与点 对应，连 接， . （1）求证： . 【证明】由平移得，， 四边形 是平行四边形， . 1 2 3 4 5 6 9 （2）［难］点在的延长线上，点与关于直线对称，直线交 的延 长线于点.点在线段上，且 . ①设 ，求的度数（用含 的代数式表示）. 【解】，是 的一个外角， ， 点与关于直线 对称， ， ， ，的度数为 . 1 2 3 4 5 6 10 ②证明： . 【证明】如图，过点作，交于点，连接 . ，，，，. 点与关于直线对称， 易得 ， ，， . 又， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 11 3. ［难］数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图（1），把一个含有 角的三角尺放在正方形中，使 角的顶点始终与正方形的顶点 重合， 绕点旋转三角尺时， 角的两边，始终与正方形的边， 所在直线 分别相交于点，，连接，可得 . 1 2 3 4 5 6 12 【探究一】 如图（2），把绕点逆时针旋转 得到 ，同时得到 点在直线上.求证： . 【证明】 把绕点逆时针旋转 得到，同时得到点在直线 上，， ， ， .在 和 中，， . 1 2 3 4 5 6 13 【探究二】 在图（2）中，连接，分别交，于点， .求证： . 1 2 3 4 5 6 14 【证明】如图（1）所示， 四边形 是正方形， . ， . ， . ， . ， . 1 2 3 4 5 6 15 【探究三】 把三角尺旋转到如图（3）所示位置，直线与三角尺 角两边 ，分别交于点，，连接交于点，求 的值. 1 2 3 4 5 6 16 【解】， 是正方形的对角线， ， ， ， 如图（2）所示，将绕点逆时针旋转 得到，则点在直线 上， ， ， . 又，， . ， . ，，，即 . ，即 ， ，， . 1 2 3 4 5 6 17 类型2 相似中的动点问题 母题学方法 上分攻略 此类题目需在点的运动中寻找相似三角形，通过列方程、分类讨论求解. 4.［2025福建莆田荔城区校级月考，中］如图，在 中， ，，．动点从点出发，在 边 上以的速度向点运动，同时动点从点出发，在 边上以 的速度向点运动，运动时间为，连接 ．若 与相似，则 的值为_ ______． 或 【解析】在中，，， ， .由题意知， ， ，.当时，， ， 解得；当时，，，解得.故答案为 或 ． 1 2 3 4 5 6 19 子题练变式 5. ［2025河南周口期末，偏难］如图，中， ， ，，动点从点出发，在边上以的速度向点 匀速 运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点 匀速运动，运动时 间为，连接，，.当时，求 的值． 1 2 3 4 5 6 20 【解】如图所示，过作于点，设， 交于点 ，,, .由题意得， ，. 易得， ， 即，， ， ., ， ， . 又 ，， ， ,解得．故的值为 . 1 2 3 4 5 6 21 6. ［2024山东烟台期末］中，， ， 为 上的动点，小慧拿含 角的透明三角板，使 角的顶点落在点 ，三角板 可绕 点旋转. 1 2 3 4 5 6 22 （1）如图（1），当三角板的两边分别交，于点， 时，求证： . 【证明】 在中， ，， . ， . ， ， ， . 又， . 1 2 3 4 5 6 23 （2）［中］将三角板绕点旋转到图（2）情形，三角板的两边分别交 的延长 线，边于点，，此时与 还相似吗？（只需写出结论） 【解】与 相似. 理由： 在中， ，， . ， . ， ， ， . 又， . 1 2 3 4 5 6 24 （3）［难］在（2）的条件下，连接，与 是否相似？若相似，请 说明理由；若不相似，则动点运动到什么位置时，与 相似？ 【解】不相似.动点运动到中点位置时，与 相似. 理由：同（2）可证，则 . ， . 又， . 1 2 3 4 5 6 25 $$