卷7 期中综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 卷7 期中综合检测卷 考查内容：第一章至第三章 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.［2024江苏盐城东台期中］下列方程中，是一元二次方程的是( ) A A. B. C. D. 【解析】根据一元二次方程的定义可知，只有A选项正确.故选A． 时间： 满分：120分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.［2025北京海淀区期中］小雨在参观故宫博物院时，被窗棂（如图（1））上的 三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含 角的菱形 （如图（2） 所示）．若的长度为，则菱形 的面积为( ) B 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 【解析】如图，过点作于 四边形 是菱形， ，是等边三角形， 易得， 菱形 的面积为 ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025广东深圳期中］下列说法正确的是( ) A A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C.三个内角相等的两个三角形全等 D.对角线相等的四边形是矩形 【解析】A选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确，符合题意；B 选项，有一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形，原说法错误，不符 合题意；C选项，三个内角相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题 意；D选项，对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.［2025河南周口期中］若，为一元二次方程 的两个实数根， 则 的值为( ) C A. B.12 C. D.8 【解析】，为一元二次方程 的两个实数根， ， ， ． 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.［2025广东佛山南海区期中］木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡 片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到 蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有( ) B A.18张 B.12张 C.6张 D.10张 【解析】设木箱中蓝色卡片有张.根据题意得，解得 .经检验， 是原方程的解，则估计木箱中蓝色卡片有12张．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.［2025河北石家庄期中］如图，一架长的梯子 斜靠在一竖 直的墙上，为的中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时， 的长 度将( ) C A.变大 B.变小 C.不变 D.先变大后变小 【解析】 ，为的中点，，是 的斜边 上的中线，. 梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不 变， 的长度也不变，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.［2025湖北荆州月考］有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题 和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的尚未参与过活动的微 信好友，邀请他们也参与活动.小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与 并按规定“@”自己的微信好友，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规 定“@”互不相同的微信好友，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参 与该活动．设参与该活动后规定“@” 人，则可列出的方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意得，第一轮“@”人，第二轮“@”人， 可列方程为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第8题图） 8.［2024山东临沂罗庄区模拟，中］如图，一只松鼠先经过第一道 门，B或，再经过第二道门或 出去，则松鼠走出笼子的路 线是“先经过A门，再经过 门”的概率是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过 门”的结 果只有1种，所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过门”的概率为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9.［2025江苏南京模拟，中］某小区计划在一个长 、宽的矩形场地 上修建若干条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与 平行，其余部分种草. 已知草坪部分的总面积为，设小路的宽为.若 满足方程 ，则修建的示意图是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】A选项，可列方程为 ，化简得 ，不符合题意；B选项，可列方程为 ， 化简得 ，符合题意；C选项，可列方程为 ，化简得 ，不符合题意；D选项，可列 方程为，化简得 ，不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 10.［2024浙江嘉兴阶段练习，难］定义：已知,是关于 的一元二次方程 的两个实数根，若，且 ，则称这个 方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两个根为 , ，且，所以一元二次方程 为“限根方程”．关 于的一元二次方程，有下列两个结论：①当 时， 该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则 有且只有一个整数解．对于 这两个结论判断正确的是( ) C A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】①当时，原方程为 ，解得 ， ，， 该方程是“限根方程”, 正确 ，，或 ， ，，或， 此方程为“限根方程”， 此方程有 两个不相等的实数根，， ．当 ，时，，，解得. 是整 数， 此时的值不存在；当，时，, ， 解得是整数， 此时的值不存在．综上所述， 的值不存在, 错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （第11题图） 11.［2025江西抚州期中］如图，在平面直角坐标系中，点 的坐 标为，点的坐标为．以，为边作矩形 ， 若将矩形绕点顺时针旋转 ，得到矩形 ，则点 的坐标为______． 【解析】 点的坐标为，点的坐标为 ， ， 四边形是矩形， 将矩形绕点顺时针旋转 ，得到矩形 ， ，， ， 轴， 点的坐标为，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 12.［2025河南商丘期末］如图，在菱形中，过点作，交对角线 于点.若，则点到 的距离是_____． （第12题图） 【解析】 四边形是菱形，平分， 点到， 的距离相等. ，， 点到的距离是， 点到的距离是 ．故 答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 13.［2025重庆渝中区期中］若关于的一元二次方程 无实 数根，则 的取值范围是_______. 【解析】 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 14.［2024河南周口期中，中］现有背面完全相同、正面图案如图所示的4张卡片， 分别是笛卡尔心形线、谢尔宾斯基三角形、卡西尼卵形线和阿基米德螺线，4张卡 片正面朝下放置在桌面上，将其混合后，甲、乙两人依次从中抽取一张，则甲、 乙两人抽取的两张卡片正面都是轴对称图形的概率是__． 笛卡尔心形线 谢尔宾斯基三角形 卡西尼卵形线 阿基米德螺线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】用A、B、C、D分别表示笛卡尔心形线、谢尔宾斯基三角形、卡西尼卵 形线和阿基米德螺线，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面都是轴对称图形的结果数为6， 所以甲、乙两人抽取的两张卡片正面都是轴对称图形的概率为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第15题图） 15.［2025黑龙江绥化第二次测试，中］五一期间小辉与小 亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸出发，途径 西人工岛到达澳门口岸.当小辉一家乘坐穿梭巴士出发 后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持 匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到 ，过海关时 间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和 与小辉一 42 家出发的时间之间的关系如图所示，则穿梭巴士出发____ 后到达澳门口岸． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解析】由题意易得从香港口岸到西人工岛的距离为 .设穿梭巴士的行驶速 度为，跨境出租车的行驶速度为.当 时，两家同时到达西 人工岛，则，可得.设西人工岛到澳门口岸的距离为 ，则 ，，， ， ，解得（舍去），， ， ，即穿梭巴士出发 后到澳门口岸.故答案为42． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 16.新定义试题［2024浙江湖州期末，难］定义：一组邻边相等，另一组邻边也相 等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，， ，“筝形” 的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且 ，则 对角线 的长为________． 7或 （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 【解析】 四边形是矩形，, ， .分两种情况：①当，时，如图（1）.∵E是 的中 点，，.在和 中， ，， ，即 .在和中， ， ，是的中点， 易得四边形是矩形， .②当 ，时，如图（2），过点作于点 ， ， 四边形是矩形， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 点是的中点，，.在 中， ，， 由勾股定理得 ， .在中，，， 由勾股定 理得，， .在 中，，， 由勾股定理得 .综上所述，的长为7或 ，故答案为7 或． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.新考法［2025河南信阳期中］（8分）下面是小聪同学用配方法解方程 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得 ，① 二次项系数化为1，得 ，② 配方，得，即 ，③ 由此可得 ，④ ， ．⑤ 小聪同学的整个解答过程是否正确？若不正确，请说出是从第几步开始出现错误 的，并写出正确的解答过程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 【解】小聪同学的解答过程不正确，从第③步开始出现错误.…………（2分） 正确的解答过程： 移项，得 ，…………（3分） 二次项系数化为1，得 ，…………（4分） 配方，得 ， 即 ，…………（5分） 开方，得 ，…………（7分） 解得， ．…………（8分） 【关键点拨】熟练掌握配方法解一元二次方程是解本题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 18.［2025江苏高邮校级月考］（10分）四大名著《红楼梦》《水浒传》《三国演 义》《西游记》是中国优秀传统文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著 共读”活动． （1）若从中随机选取1本名著开展此次活动，抽到《西游记》的概率是 __________________； …………（3分） 【思路分析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到《西游记》的结果有1 种，再利用概率公式求解可得答案． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）若从中随机选取2本名著开展此次活动，其中有一本是《西游记》的概率是 多少？（用画树状图或列表的方法分析过程） 【解】把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 …………（7分） 共有12种等可能的结果，其中有一本是《西游记》的结果有， ， ，，，，共6种， 其中有一本是《西游记》的概率是 ． …………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【思路分析】利用列表法可得出所有等可能的结果数以及其中有一本是《西游记》 的结果数，再利用概率公式求解即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 19.［2024甘肃平凉崆峒区期末］（10分）如图，菱形 中， 对角线，交于点，点是的中点，连接 并延长到 点，使，连接， ． （1）求证：四边形 是矩形； 【证明】 点是 的中点， . ， 四边形 是平行四边形.…………（2分） 四边形是菱形，， ， 四边形 是矩 形.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）若， ，求菱形 的面积． 【解】 四边形是矩形， ， .…………（6分） 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，…………（9分） 菱形的面积为 ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【关键点拨】熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 20.项目式学习［2025浙江嘉兴期中，中］（12分）下表是某学校九年级“遇数临风” 小组的社会实践记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 某学校社会实践记录表 小组名称 遇数临风 活动时间 2024.4.26 小组人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠 调研信息 青菜的进价为2元/千克 青菜的售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克 解决问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 问题1 某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元 【解】由题意得该天青菜的售价为 （元/千克），…………（2分） 该天获利 （元）. 答：获利94.5元.…………（6分） 【思路分析】先求出该天青菜的售价，即可计算出该天所获利润； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 问题2 若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克 【解】设青菜的售价为 元/千克. 由题意得 ，…………（8分） 解得， . 帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠， 青菜的售价为3元/千克. 答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克．………… （12分） 【思路分析】设青菜的售价为 元/千克，则可列方程为 ，解出方程，再根据“为顾客谋实惠”舍根即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 21.［2025河北廊坊月考］（12分）已知，为正实数，设，若是关于 的 方程 的一个正实数根． （1）求证： ． 【证明】是关于的方程的一个正实数根， ， ，即 ．…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （2）［中］若，求 的值． 【解】， . 由（1）知， ， ， ， ，解得 . ，均为正实数， ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （3）［偏难］用含的代数式表示 ． 【解】， ， ， ， ， . ， 均为正实数， ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【关键点拨】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程，熟练掌握解一元二 次方程的方法是解题关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 22.［2025黑龙江鸡西期中］（14分）在正方形中，是对角线和 的交 点， ，的两边分别交直线，于点， ． 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （1）［中］当点，分别在边， 上时，如图（1），求证： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 【证明】在正方形中，， ， . …………（3分） ， . , , ， ， .…………（6分） 易得 ， ， 即 .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 【思路分析】先根据正方形的性质得到，， ， 再根据同角的余角相等得到，即可证得 ，可得 ，最后再根据 即可得结论； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 （2）［难］当点，分别在边，的延长线上时，如图（2）；当点， 分 别在边，的延长线上时，如图（3），线段，， 之间又有怎样的数 量关系？请写出你的猜想并对图（2）的情况加以证明． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 【解】题图（2）猜想： ；题图（3）猜想： . …………（11分） 证明：在正方形中，， ， . ， ， , . , ， ， ， .易得 ， 题图（2）中满足 , 即 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 【思路分析】同（1）可知，，再结合点， 的位置可以得 结论． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 $$