卷5 第一次月考综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 卷5 第一次月考综合检测卷 考查内容：第一章至第二章 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.［2025湖北襄阳期末］矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) B A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角 【解析】A选项，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；B选项， 矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质；C选项，菱形、正方形具有对 角线互相垂直的性质，而矩形不具有；D选项，菱形、正方形具有对角线平分对角 的性质，而矩形不具有．综上所述，矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线 互相平分．故选B. 时间： 满分：120分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.［2025江苏镇江期中］若方程是关于的一元二次方程，则“ ”可以是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项， ，是一元一次方程，故此选项不符合题意；B选 项，，是一元一次方程，故此选项不符合题意；C选项， ， 是一元二次方程，故此选项符合题意；D选项， ，不是一元二次方程， 故此选项不符合题意.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.［2024北京中考］若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， 则实数 的值为( ) C A. B. C.4 D.16 【解析】由题意得，解得 .故选C. 上分总结 一元二次方程的根与 的关系 ①当 时，方程有两个不相等的实数根； ②当 时，方程有两个相等的实数根； ③当 时，方程无实数根. 上面的结论反过来也成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.［2024河北沧州模拟预测］将矩形和菱形 按如图放置，若图中矩形 面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】，， , ， .故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.［2024河北邯郸模拟］如图，已知 ，按以下步骤作图，可以直接判定四边形 是菱形的依据是( ) （1）以点 为圆心，任意长 为半径作弧，与 的两边分 别交于点， ，如图（1） （2）分别以点， 为圆 心， 长为半径作弧，两 弧相交于点 ，如图（2） （3）连接， ， 如图（3） ______________________ _____________________________ _____________________________ 图（1） 图（2） 图（3） D A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.四边相等的四边形是菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】由作图得，， 四边相 等的四边形是菱形， 四边形 是菱形，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.［2025河南开封月考］已知关于的方程 ，，均为常数，且的解是， ，那么关于 的方程 的解是( ) B A.， B.， C.， D.无法求解 【解析】由题意得，或，或, 方程 的解是， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.［2025山东济南钢城区期末］如图，在某月的月历表上 可以用一个正方形圈出 个位置相邻的数（如6，7，8， 13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小 数 与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题图可以得出，圈出的9个数中，最大数与最小数的差为 最小 数为， 最大数为.根据题意可列方程为 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 8.［2025湖南常宁期末，中］如图，在和 中， ，，是 的中点，连接 ，，.若，则 的面积为( ) A A.12 B.12.5 C.15 D.24 【解析】如图，过作于 ， ，是的中点，， ， ，，.在 中，由勾股定理得 ， 的面积为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 9.［2025河北唐山路北区一模，中］定义表示不超过实数 的最大整数，如 ，，，则方程 的解为( ) D A.0或 B.0或2 C.2或 D.0或 或2 【解析】，，.时， ，解得 ；时，，解得或 （舍）； 时，，解得或（舍）； 时，方程无 解.综上，方程的解为或或 ，故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 10.［2025浙江杭州拱墅区月考，难］若 为任意实数，且 ，则 的最大值为( ) C A.10 B.84 C.100 D.121 【解析】，,故 的 最大值为100．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025江西南昌校级月考］将一元二次方程 配方为 ，则 的值是____． 13 【解析】，， ， ， ，故答案为13． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第12题图） 12.［2025陕西咸阳阶段练习］如图，在矩形中， ， ，为边上一点，将沿直线折叠，点 的对应 点恰好落在对角线上，则 的长为___． 3 【解析】 四边形是矩形，， ， 将沿直线 折叠， 点的对应点恰好落在对角线上，，， ， 在 中， ，， ，故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第13题图） 13.［2025广西贺州期中］如图所示，某农户用 长的篱笆围 成一个一边靠墙墙长，且面积为 的长方形花园， 垂直于墙的一条边上留有一个 宽的门.设垂直于墙的另一条 边的长为，若可列方程为 （★） ，则★表示的代数 式为________． 【解析】由题意可得，平行于墙的边的长为，即 ．故 答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 （第14题图） 14.［2025山东青岛阶段练习，中］如图，在菱形 中， 过点作分别交，于点，，为 的中 点， ，则 的度数为______． 【解析】设 四边形为菱形，, ， ，, ， ，为的中点, ， ， ， ，即 ，解得 ， ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 15.［2025福建莆田校级期中，偏难］把图（1）中的菱形沿对角线分成四个全等的 直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图（2）、图（3）所示的正方形，若 图（2）和图（3）中间的正方形面积分别为7和1，则图（1）中菱形的面积为___． 6 图（1） 图（2） 图（3） 【解析】设题图（1）中被分成的四个全等的直角三角形较长的直角边长均为 ， 较短的直角边长均为.由题意得整理得， 菱形的面积为 ，故答案为6． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 16.［2025河南南阳阶段练习，偏难］如图，在矩形中， ， ，动点从点出发，沿向终点以的速度移动，动点从点 出发沿向终点以的速度移动.如果，分别从， 同时出发， 当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，那么经过_ _____，以 ， ，为顶点的三角形的面积为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】设点,移动的时间为.由题意得点在上移动的时间为 ， 点在上移动的时间为，点从点移动到点 所需时间为 ．当时，， ， ，即，整理得 ，解得 ，（不符合题意，舍去）；当 时， ，，解得（不符合题意，舍去）, 经过 ，以，，为顶点的三角形的面积为．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025山东淄博校级期中］（8分）解方程： （1） ． 【解】 ， ， ， ， ， 解得， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （2） ． 【解】原方程可变形为， ， 或 ， 解得， ．…………（8分） 【刷有所得】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、 公式法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 18.［2025江苏徐州期中］（10分）如图，点是菱形 对 角线的交点，，，连接，交于点 ． （1）求证：四边形 是矩形； 【证明】， ， 四边形 是平行四边形.…………（2分） 四边形是菱形， ， ， 平行四边形 是矩形.…………（5分） 【思路分析】先根据，证得四边形 是平行四边形，再根据 菱形的性质得出 ，从而证得四边形 是矩形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （2）探究：当满足什么条件时，四边形 是正方形，并证明你的结论． 【解】当 时，四边形 是正方形.…………（6分） 证明： 四边形是菱形， ， 四边形 是正方形， ，， ， . 四边形 是矩形， 四边形 是正方形．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 【思路分析】 时，先根据正方形的判定定理得到四边形 是正方形， 再根据正方形的性质得到 ，最后根据正方形的判定定理即可得到结论． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 19.［2025湖北黄冈月考］（10分）已知菱形的边长是5，两条对角线， 交 于点，且,的长分别是关于的方程 的两个根． （1）求 的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解】设,.由菱形的性质和勾股定理可得 . 由根与系数的关系可得， ，…………（1分） ，整理 得 ， 解得 或5．…………（4分） ， ， 解得， ．…………（6分） 【思路分析】先根据菱形的性质及勾股定理得到 ，再根据根与系 数的关系可得，，解关于 的一元二次方程， 最后根据对 的值进行取舍即可； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）求菱形 的面积． 【解】将代入原方程得 ， 解得， ，…………（8分） 菱形的面积为 ．…………（10分） 【思路分析】将的值代入原方程求得一元二次方程的根，再根据菱形的面积 四 个全等的直角三角形的面积和求解即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 20.［2025江西吉安校级月考］（12分）某社区利用 一块矩形空地 修建了一个小型停车场，其布局 如图所示．已知， ，阴影部分 设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 的道路．已知铺花砖的面积为 ． （1）求道路的宽是多少？ 【解】由题意得， ， 整理得 ， 解得（舍去）， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 答：道路的宽为6米．…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）［中］该停车场共有车位30个，据调查发现，当每个车位的月租金为400元 时，可全部租出，若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每 个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10 920元？ 【解】设当每个车位的月租金上涨 元时，停车场的月租金收入为10 920元. 根据题意得， , 整理得 ， 解得或 （舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920 元．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 【关键点拨】根据题目给出的条件，找出等量关系，列出方程是解题关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 21.［2025宁夏中卫期中］（12分）【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如： . ， ， 代数式的最小值为___，此时相应的 的值是____． 2 【解析】 代数式， 代数式 的最小值 是2，此时相应的的值是.故答案为2， .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【尝试应用】 （2）［中］求代数式 的最小值或最大值． 【解】 . ， ， 代数式有最小值，为 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 【拓展提高】 （3）［偏难］已知，，是的三边长，且满足 ， 求 的取值范围． 【解】，，是的三边长，且满足 ， ， ， ，，，， . ， ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【关键点拨】本题考查了配方法的应用、三角形的三边关系，解题的关键是掌握 配方的方法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 22.探究性试题［2024江苏泰州泰兴期中］（14分）将两个等宽的矩形 和矩形叠合得到四边形， 与 和分别交于点， ． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （1）［中］请用直尺和圆规在图（1）中作出四边形 （不要求写作法，但要 保留作图痕迹）； 【解】如图（1），四边形 即为所求. …………（4分） 图（1） 【实践探究】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【解决问题】 （2）［偏难］如图（2），若点与点关于对称，求 的度数； 【解】如图（2）,连接， . 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 ， ， 四边形是平行四边形.易得 ， 四边形 是菱形，…………（6分） . 点与点关于 对称， ，…………（8分） . ， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【拓展探究】 （3）［难］在（2）的条件下，求 的值． 【解】如图（2），连接 . ， ， . ， 是等边三角形，…………（12分） . 点与点关于 对称， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 ， 四边形 是菱形， ， . ， ， ， ， ．…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【关键点拨】灵活运用矩形的性质、尺规作图、等边三角形的判定与性质、菱形 的判定与性质等知识点是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 $$