卷3 第二章 一元二次方程 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 卷3 第二章基础诊断卷（A卷） 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.［2025河北秦皇岛校级月考］下列各式中，是一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 时间： 满分：120分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】 选项 分析 判断 A 原方程不是整式方程，故不是一元二次方程 不符合题意 B 当 时，原方程不是一元二次方程 不符合题意 C 原方程整理得 ，不是一元二次方程 不符合题意 D 原方程整理得 ，是一元二次方程 符合题意 上分总结 一元二次方程的判断 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进 行整理．如果能整理为，，为常数， 的形式，那么这 个方程就是一元二次方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025浙江湖州期末］如表是某同学求代数式 的值的情况，根据表格可 知方程 的根是( ) … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … C A. B. C.或 D.或 【解析】由题表知，当或时，，所以方程 的根 是或 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025吉林长春月考］一元二次方程 配方后可变形为( ) A A. B. C. D. 【解析】一元二次方程等号两边都加上4，得 ， ， 一元二次方程配方后可变形为 ，故 选A. 上分警示 使用配方法的注意事项 本题使用配方法时要注意在等号两边都加上4，确保等式成立.正确配方后，等号两 边应同时开方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.［2025山东泰安东平期末］已知方程，则 的值为( ) D A. B.0 C. D. 或0 【解析】，或，， . 当时， ．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.［2024安徽合肥庐阳区校级二模］若关于 的一元二次方程的根为 ，则这个方程是( ) D A. B. C. D. 【解析】 关于的一元二次方程的根为， 该方程的二次 项系数为1，一次项系数为，常数项为， 这个方程为 ．故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.［2025吉林长春二道区期末］若和是一元二次方程 的两个解， 且，则 的值为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】解一元二次方程，得，和 是一 元二次方程的两个解，且，， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第7题图） 7.［2024甘肃武威一模，中］如图，某小区计划在一块 长为，宽为 的矩形空地上修建三条同样宽的道 路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 ．设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 【解析】 道路的宽为， 种植草坪的部分可合成长为 ，宽为 的矩形,如下图所示： 根据题意得 ．故选C. 上分技巧 一元二次方程的几何问题 将道路平移到边缘，将种植草坪的部分合成空白矩形，从而建立方程求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.［2025山东德州月考，中］已知，是方程 的两个根，则代数 式 的值是( ) B A. B.12 C.3 D.0 【解析】，是方程的两个根，， ， ， ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9.［2024浙江杭州模拟，中］一个两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三 分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是( ) A A.27 B.72 C.27或16 D.或 【解析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为 .依题意，得 ，整理，得，解得， （不合题意，舍去），， 这个两位数是27．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第10题图） 10.［2025辽宁沈阳沈北新区期末，偏难］如图，在矩形 中，，，点从点出发沿以 的 速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿 以的速度向点移动．设移动时间为，当 时， ( ) C A. B.或4 C.或 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】如图，过点作于点，则,.点 从点到达点的时间为 移动时间为 ， ， ， 在 中，根据勾股定理得 ，即，整理得 ， 或，解得，，的值为或 ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025陕西西安灞桥区月考］关于的一元二次方程 的二次项 系数是___，一次项系数是___，常数项是____． 1 2 【解析】由得到， 其二次项系数是1，一次项 系数是2，常数项是．故答案为1，2， ． 上分警示 未知数的系数 写含未知数的项的系数时，要重点关注未知数的系数的正负，不要漏掉负号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 12.［2025内蒙古赤峰期中］若是方程 的一个根，则代数式 的值是___． 8 【解析】是方程的一个根， ， ， ．故答案为8． 上分心得 整体思想 “整体思想”是代数式求值时的常用思想，一般在要求值的式子中寻找那个“整体”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 13.［2025重庆万州区期中］若使得关于的分式方程 有整数解，且 使得关于的一元二次方程 有实数根，则所有满足条件的整 数 的和为____． 【解析】解方程，得. 整数使得关于 的分式方程 有整数解，，或或或或 或 或 关于的一元二次方程 有实数根， ，，解得且， 或 或， 所有满足条件的整数的和为 .故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 14.［2024新疆乌鲁木齐新市区校级三模］某商品原价为100元，连续两次打折后售 价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打____折． 九 【解析】设这件商品每次打折.依题意得，解得， （不合题意，舍去），即这件商品每次打九折．故答案为九． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 15.［2025上海黄浦区期中，中］如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为 “差1方程”．例如是“差1方程”．已知关于 的方程 是常数是“差1方程”，则 的值为_______． 或0 【解析】设方程的两个根分别为，.由题意，得 ， ，， ， 解得或，故答案为 或0． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16.［2025广西防城港月考，偏难］如图， 每个正方形由边长为1的小正方形组成， 正方形中灰色、白色小正方形的排列规律 12 【解析】观察题图可知，当时，,;当时，, ;当 时，,; ，所以当为偶数时 ，白色与灰色小正方形 的总个数为，.当时，， ， 解得，（不合题意，舍去）．故偶数时， ．故答案 为12． 如图所示.在边长为的正方形中，设灰色小正方形的个数为 ，白色小正 方形的个数为，当偶数____时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025江苏南京校级月考］（10分）解方程： （1） ； 【解】，， ， ，…………（2分） ， 即， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （2） ． 【解】原方程可变形为 ， ，…………（8分） 或 ， ， ．…………（10分） 【关键点拨】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、 公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 18.［2025湖北襄阳樊城区期中］（8分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程， 随后用手掌捂住了一部分，如图. （1）当 时，所捂部分的值为_____； 121 【解】当 时，所捂部分的值为 ，故答案为121.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （2）若所捂部分为，用配方法求出 的值. 【解】根据题意得，整理得 ， ，…………（6分） 即，，解得， .………… （8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【易错警示】使用配方法解题时，注意等号左右两边都要加上同一个常数项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 19.［2024湖北宜昌月考］（10分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【证明】 ， 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）设该方程的两个实数根为，，若，求 的值． 【解】 该方程的两个实数根为， ， ， .…………（6分） ， ， 整理得 ，…………（8分） ， ， 的值为 或1．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 【刷有所得】一元二次方程,,是常数，且 的根的情况 与有如下关系：①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实数根；③当 时，方程无实数根．根与系数的 关系：如果，是一元二次方程,,是常数，且 的两 个实数根，那么， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 20.新情境［2024福建龙岩模拟，中］（12分）龙岩市公安交警部门提醒市民，骑 车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份 到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月 份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔10月份到12月份销售量的月增长率； 【解】设该品牌头盔10月份到12月份销售量的月增长率为 . 依题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔10月份到12月份销售量的月增长率为<m></m>.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月 销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使 月销售利润达到8 000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的每个售价应 定为多少元？ 【解】设该品牌头盔每个的售价为 元. 依题意，得 ， 整理，得 ， 解得， .…………（10分） 因为尽可能让顾客得到实惠， 所以 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 答：该品牌头盔的每个售价应定为50元．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【关键点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意得到相应的一 元二次方程是解题的关键． 上分总结 平均变化率与表达式的关系 若设变化前的量为 ，经过两次变化后的量为，平均变化率为 ，则等量关系为 （当平均变化率为增长率时“”选“ ”，为下降率时选“-”）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 21.新定义试题［2025山东济南月考，中］（12分）定义：若关于 的一元二次方 程 中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫 做常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，则 的值为_______ ________________； 0或…………（4分） 【解析】 关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根 为.代入方程，得，解得或.故答案为0或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 【思路分析】根据常数根一元二次方程的定义，把<m></m>代入方程，解关于<m></m>的方 程即可； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求 的值； 【解】 关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一 个根为.代入方程，得 ，整理，得 ，解得或 ．…………（9分） 【思路分析】根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于 的方程即可； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （3）若关于的常数根一元二次方程 中不含零根，求证： 关于的方程 是常数根一元二次方程． 【证明】 关于的常数根一元二次方程中不含零根， 方程的一个根为，且，即.代入方程，得 ，即 ，.把代入方程 ， 得左边右边，是关于的方程 的一个 根， 关于的方程 是常数根一元二次方程．…………（12分） 【思路分析】根据题意得方程的一个根为,且 ， 把代入方程，得到.把代入方程 进行验 证即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 22.项目式学习［2025浙江杭州校级期中，偏难］（14分） 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素 材 1 小琴家需要设置储物区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图 （1）所示： ____________________________ 素 材 2 如图（2）、图（3）是利用闲置纸板箱拆解出的两种纸板：长方形纸板①和 长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为 长方形纸板① 长方形纸板② 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 素 材 2 ___________________________________ __________________________________________________ 如图（4）、图（5），小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②制作无 盖和有盖的储物盒 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 素 材 2 裁去角上4个相同的小正方形，折 成一个无盖长方体储物盒 __________________________________ 将纸板四个角裁去4个相同的小长方形， 折成一个有盖的长方体储物盒 _________________________________________________ 图（4） 图（5） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 任务1 熟悉材料 若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图（1）的储物区 域，则裁去小正方形的边长为______，长方形纸板的宽度 的值为______________ _______ 50…………（4分） 【解析】 题图（1）储物区域的底面长方形的长为 ，储物盒能够刚好放入 该储物区域， 裁去小正方形的边长为 ，长方形纸板的宽度为储物区域 底面宽 小正方形的边长，即，故答案为 ，50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 任务2 利用任务1计算所得的数据 ，进一步探究 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子 四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是 时，求储物盒的容积 【解】设长方形纸板①中裁去小正方形的边长为 ，则 ， 解得， （舍去）， 储物盒的容积为 .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和 两边恰好重合且 无重叠部分，盒子的底面积为 ．如图（6）、图（7）是家里一个玩具机械 狗和玩具车的实物图及其尺寸大小，请通过计算判断机械狗和玩具车能否分别完 全放入该储物盒并合上盖子（不考虑倾斜放入） 图（6） 图（7） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【解】：设裁去长方形纸板②中小长方形的长为，宽为 .由题意得 ，整理得 . ， ， ， （舍去）, ， , ， 即裁去小长方形的长为，宽为，制作的储物盒的长为 ，高为 ，宽为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 ，， ， 玩具机械狗能完全放入该储物盒并合上盖子.…………（13分） ， 玩具车不能完全放入该储物盒并合上盖子.…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【关键点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意 并列出方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 $$