卷12 第六章 反比例函数 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 卷12 第六章基础诊断卷（A卷） 考查内容：反比例函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.［2025湖南邵东月考］下列函数中，是 的反比例函数的是( ) B A. B. C. D. 时间： 满分：120分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】 选项 分析 判断 A、C、D 不符合或或的形式，不是 的 反比例函数 错误 B 符合的形式，是 的反比例函数 正确 故选B. 上分技巧 反比例函数的判断 形如或或 的形式的函数都是反比例函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025湖南岳阳期中］已知反比例函数的图象经过点，则 的值是 ( ) B A. B. C.3 D. 【解析】将点代入反比例函数，得，解得 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2024云南楚雄州三模］关于反比例函数 的图象与性质，下列说法中正 确的是( ) D A.它的图象位于第一、三象限 B.点 在它的图象上 C.随的增大而增大 D.当时， 【解析】A选项,因为反比例函数中， ，所以它的图象位于第二、 四象限，故本选项错误；B选项,因为当时， ，所以点 不在它的图象上，故本选项错误；C选项,因为反比例函数 中， ，所以该函数图象在每一象限内，随的增大而增大，但整体不是 随 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 的增大而增大，故本选项错误；D选项,当时，函数图象位于第四象限， 随 的增大而增大，当时，，所以 ，故本选项正 确.故选D． 上分心得 反比例函数图象的位置与 的正负 一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：当 时，双曲 线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当 时， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，随 的增大而增大． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4.［2024河北中考］节能环保已成为人们的共识，淇淇家计划购买500度电，若平 均每天用电度，则能使用 天.下列说法错误的是( ) C A.若,则 B.若,则 C.若减小，则也减小 D.若减小一半，则 增大一倍 【解析】 淇淇家计划购买500度电，平均每天用电度，能使用 天， ，.当时， ，故A选项不符合题意；当 时，，故B选项不符合题意；，，, 若 减小，则增大，故C选项符合题意；若减小一半，则 增大一倍，表述正确，故 D选项不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第5题图） 5.［2025山东济南期中］如图，过原点的一条直线与反比例函数 的图象分别交于，两点，若点的坐标为 ， 则 点的坐标为( ) C A. B. C. D. 【解析】过原点的一条直线与反比例函数 的图象分 别交于，两点，则，两点关于原点对称，若点的坐标为，则 点的 坐标为 .故选C. 上分技巧 反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象关于原点对称，所以其与经过原点的直线的两个交点一定关于 原点对称． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第6题图） 6.［2025河北石家庄期中］反比例函数 的图象如图 所示，则 的值可能是( ) B A.5 B. C.12 D. 【解析】由题图知，, 都不在反比例函数图象上， 则，即，故 的值可能是 ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.新情境［2024湖北孝感校级一模］如图（1），区间测速是指检测机动车通过两 个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）的平均速度的方法．小聪发现安全驾 驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的测速区间 段的平均行驶速度 与行驶时间 是反比例函数关系（如图（2）），已知高速公路上行驶 的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于 ，小聪 的爸爸按照此规定通过该测速区间 段的时间可能是( ) B 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】由题意可设.将代入，得 ， .当时，；当时， 通过该测速区 间段的时间不超过，不低于 ，观察各选项，只有B符合题意．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 8.新考法［2025浙江瑞安校级月考，中］反比例函数的图象上有 ， ， 三点．下列选项正确的是( ) A A.当时， B.当时， C.当时， D.当时， 【解析】，， 反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个 象限内，随的增大而减小.，， 三点在双曲线 上， 当时，，则 ，故A选项正确； 当时，，则 ，故B选项错误；当 时，，则 ，故D选项错误；当 时，，则 ，故C选项错误.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 9.［2024山东菏泽一模，中］反比例函数与一次函数 在 同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】分两种情况讨论：（1）当时，一次函数 的图象经过第 二、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限；（2）当 时， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数 的图象位 于第二、四象限．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10.［偏难］如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶 点的坐标为，点在轴正半轴上，点 在第三象限的 双曲线上，过点作轴交双曲线于点，则 的 长为( ) B A. B. C.3.5 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】设点.如图所示，过点作轴的垂线交 所在 直线于点，过点作轴的平行线交的反向延长线于点 ， 过点作轴于点 ， ，.又 ， ， ， ，，同理，， 点.又，，解得 ，故点 ，，， 点，， , ，故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025四川广元期末］若函数是关于的反比例函数，则 的 值是____. 【解析】 . 上分警示 反比例函数表达式中的易错点 反比例函数中，自变量的次数为，比例系数 不能等于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 12.新考法［2024贵州铜仁月考］把反比例函数的图象沿 轴翻折，可以得到 反比例函数________的图象． 【解析】反比例函数的图象沿轴翻折，可以得到反比例函数 的图象． 上分技巧 关于坐标轴对称的双曲线的表达式的求法 反比例函数 的图象关于坐标轴对称的图象对应的函数表达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 13.［2024云南昆明五华区校级期中］已知点， 在同一个反比例函 数的图象上，则 的值为____． 【解析】 点， 在同一个反比例函数的图象上， ，解得，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.［2024湖南怀化沅陵校级月考］对于函数，当时， 的取值 范围是_____________． 【解析】对于函数，， 函数图象位于第一、三象限，在每个象限 内，随的增大而减小.当时，；当时， 当时，的取值范围是，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 15.跨学科试题［2025浙江杭州钱塘区期末，中］在对物体 做功一定的情况下，力 与此物体在力的方向上移动的 距离 成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为 时，此物体在力的方向上移动的距离是____ ． 15 【解析】 力与此物体在力的方向上移动的距离 成反比例函数关系， 设其函数关系式为 点 是反比例函数 图象上的点，， 此函数的表达式为.把 代入函 数关系式，得，， 此物体在力的方向上移动的距离是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 16.［2024四川广元利州区一模］如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、 轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形 ，且 ，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点 的对 应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象恰好过 的中点，则点 的坐标为_________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】如图，连接，交于点 将矩形 翻折， 使点与原点重合，折痕为，， , ， .又 ，， ， ，即点是的中点， 点 在反比例函数的图象 上.过点作于点，易得 ， . ， ，解得. 点 是反比例函数图象 上的点， .又 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 ，.设 ，则 ， ， ，解得 （负值已舍 去），.连接，过点作于，， 四边形是平行四边形，， 易得 ， ， ， ， ， ， 在中，， 点的坐标为， 故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025河北保定期末］（8分）已知反比例函数 的图象经过点 ． （1）求反比例函数的表达式． 【解】 点在反比例函数 的图象上， 【思路分析】将点 代入函数表达式即可求解. ， 解得 ，…………（3分） 反比例函数的表达式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （2）请通过计算说明点， 是否在这个函数的图象上？ 【解】， 点 在这个反比例函数的图象上.…………（6分） ， 点 不在这个反比例函数的图象上． …………（8分） 【思路分析】分别将点，的横、纵坐标相乘，如果积等于比例系数 ，那么这 个点在函数图象上，否则这个点不在函数图象上． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 18.［2025四川广元期末］（10分）已知反比例函数 的图象位于第二、四象限． （1）求 的取值范围； 【解】 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， . …………（4分） 【思路分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限即可得出 ，解不 等式即可求出答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值 ， 的大小． 【解】 反比例函数的图象位于第二、四象限， 当时，随 的增 大而增大.…………（8分） ， ．…………（10分） 【思路分析】根据反比例函数图象的增减性解答即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 19.跨学科试题［2024吉林长春一模］（10分）如图，在左边托盘 （固定）中放 置一个重物，在右边托盘 （可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左 右平衡．托盘中的砝码质量随着托盘与点之间的距离变化而变化，已知 与 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 托盘与点之间的距离 厘米 5 10 15 20 25 托盘中的砝码质量 克 30 15 10 7.5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （1）根据表格数据求出关于 的函数表达式． 【解】设关于的函数表达式为 当 【思路分析】设出与 的反比例函数关系式，选择一组数据代入，求解即可. 时， ， ，…………（3分） 解得 ， 关于的函数表达式为 ．…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）当砝码质量为12克时，求托盘与点 之间的距离． 【解】把代入,得 ， …………（7分） 解得 . 答：托盘与点 之间的距离为12.5厘米． …………（10分） 【思路分析】把代入关于 的函数表达式，求解即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 20.［2025河南郑州期末］（12分）如图（1）为某新款茶吧机，开机加热时每分上 升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温 与通电时间 成反比例函数关系．当水温降至 时，饮水机再次自动加热.若在水温为 时接通电源，水温与通电时间 之间的关系如图（2）所示． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （1）水温从加热到需要__________________ ； 4…………（2分） 【解析】 开机加热时每分上升， 水温从加热到 ，所需时间为 ，故答案为4. 【思路分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从<m></m>加热到<m></m>所需的时间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）在水温下降的过程中，请求出与 的函数关系式； 【解】设水温下降的过程中，与的函数关系式为 . 由题意得，点在反比例函数 的图象上， ，…………（5分） 解得， 水温下降的过程中，与的函数关系式是 .…………（7分） 【思路分析】设水温下降过程中，与的函数关系式为 ，根据待定 系数法即可求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （3）［中］求在一个加热周期内水温不低于 的时长. 【解】在加热过程中，易得与的函数关系式为，当水温为 时， ， 解得 .…………（9分） 在水温下降的过程中，当水温为时， ， 解得 . ， 一个加热周期内水温不低于 的时长为 ．…………（12分） 【思路分析】分别求出在加热过程中和水温下降过程中水温为 时的时间是解 题关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 21.探究性问题［2025山东招远期中］（12分）小明在学习了反比例函数的图象与 性质后，进一步研究了函数 的图象与性质．其研究过程如下： （1）［中］绘制函数图象： ①列表：如表是与的几组对应值，其中 __________________； … - - - - 0 1 2 … … - - 3 2 … 1…………（2分） 【解析】时， ，故答案为1. 【思路分析】将代入即可求得 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 ②描点：根据表中的数值在下图中描出剩余的点 ； 【解】如图（1）： 图（1） …………（6分） 【思路分析】描出剩余的点即可； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． 【解】补充图象如图（2）： 图（2） …………（9分） 【思路分析】把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （2）［偏难］探究函数性质：判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填 “×”）. 【解析】根据函数图象可得①双曲线的每一个分支上，函数值随 的增大而减小， 故①错误，应为×；②图象关于对称，故②错误，应为×； 时， 无意义，函数图象与直线没有交点，应为√．故答案为 ， ， ． 【思路分析】根据图象，数形结合即可判断． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 ①函数值随 的减小而增大；___ × ②函数图象关于原点对称；___ × ③函数图象与直线 没有交点.___ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 22.［2025浙江杭州西湖区期末］（14分）如图，在平面直角坐标 系中，反比例函数为常数， 的图象与一次函数 ，为常数，的图象交于点 ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （1）求 的值和一次函数表达式； 【解】将点坐标代入反比例函数表达式，得 ， 反比例函数的表达式为 ．…………（2分） 将点坐标代入反比例函数表达式，得 ， 点的坐标为 ．…………（4分） 将， 两点坐标代入一次函数表达式，得 解得 一次函数的表达式为 ．…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【思路分析】先将点坐标代入，即可求出反比例函数表达式，再将点 坐 标代入反比例函数表达式，求出的值，最后把，两点坐标代入 解方程即可解决问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （2）［中］当时，直接写出 的取值范围； 【解】或 ．…………（10分） 由函数图象可知，当或 时，反比例函数的图象在一次函数图象的 上方，即 ， 当时，的取值范围是或 ． 【思路分析】利用数形结合的思想即可解决问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 （3）［偏难］若点在函数的图象上，点 先向左平移1个单位，再向下平移3 个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点 的坐标． 【解】 点在函数 的图象上， 令点的坐标为，则点 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后， 所得点的坐标可表示为，即点的坐标为 ． …………（12分） 点在函数的图象上， ， 解得， ， 点的坐标为或 ．…………（14分） 【思路分析】设出点的坐标，再根据所给平移方式表示出点 的坐标，最后将点 坐标代入反比例函数表达式即可解决问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 $$