卷1 第一章 特殊平行四边形 上分专题（1） 特殊平行四边形的折叠问题-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 上分专题（一） 特殊平行四边形的折叠问题 重难上分 攻克难点 4 类型1 求角度 类型2 求长度 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 求角度 母题学方法 上分攻略 由折叠的性质可以得到相等的角，再结合特殊平行四边形的性质求解即可. 1.［2024黑龙江佳木斯前进区质检，中］一张矩形纸条按如 图所示方式折叠，是折痕，若 ，则以下结 论： ； ； ； ，其中正确的有( ) A A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①② 【解析】 四边形是矩形，， .由折叠的 性质可得 ，故①正确，符合题意； ， ，故③正确，符合题 意；， ，故②错误，不符合题意； ，由折叠的性质可得 ， ，故④正确，符合题 意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 7 子题练变式 2.［中］如图，在菱形中， ，为边上的一个动点，连接 ， 将沿着折叠得到，的对应点为，连接，当 时， 的度数为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 【解析】如图，连接， . 四边形是菱形， ， 是等边三角形. ，垂直平分， ， ， .由折叠知， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点 ， 与交于点，过点作交于点 . （1）［中］小明和小白为四边形 是什么特殊四边形发生 了争议，小明说四边形是菱形，小白说四边形 不是 菱形，只是平行四边形.请你判断谁的说法是正确的，并说明理 由. 【解】小明的说法正确.理由： 四边形是矩形，.又， 四边形是平行四边形.， .由折叠得， ，，， 四边形是菱形， 小明的 说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （2）［中］若 ，求 的度数. 【解】 四边形是菱形，.由折叠得， ， 四边形是矩形， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 11 4.综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位 同学的操作过程如下： 图（1） 图（2） 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕 ，把纸片展平； 操作二：在上选一点（点不与点,重合），沿折叠，使点 落在正方形 内部点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接 . 1 2 3 4 5 6 7 8 12 （1）如图（1），当点在上时， ____度. 30 【解析】 对折正方形纸片，使与重合，得到折痕 ， ， 在上选一点，沿 折叠，使 点落在正方形内部点处，.取的中点，连接 ，则 ，， 是等边三角形， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （2）［偏难］改变点在上的位置（点不与点， 重合）如图（2），判断 与 的数量关系，并说明理由. 【解】.理由如下： 四边形是正方形， ， . 由折叠可得， ， ， .又， , . 1 2 3 4 5 6 7 8 14 类型2 求长度 母题学方法 上分攻略 由折叠的性质得到相等的线段，再结合题意构造直角三角形，在直角三角形中利 用勾股定理解题. 5.［2024广东广州荔湾区校级二模,中］如图，在菱形中， ， 将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与，重合），折痕为 . 若，，则点到 的距离为____． （第5题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 16 【解析】如图，过点作于 . 1 2 3 4 5 6 7 8 17 由折叠的性质可知，.由题意得， 四边形 是菱 形， ，， ， 为 等边三角形，.设，则.在 中， , , ,， .在 中，，即，解得 ， 即，，即点到的距离为.故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 18 子题练变式 （第6题图） 6.［2024湖北宜昌模拟，中］如图，正方形纸片 的边 长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点 落 在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点 ， 点在上，若，则 的长为___. 1 2 3 4 5 6 7 8 19 【解析】 四边形为正方形，， .由折 叠的性质可知，，垂直平分，， ， .又 ， ， ，.在 中， ， ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 20 7.［2025辽宁锦州期中，偏难］如图，在矩形中，， ，点 ，分别在，上，且,为直线上一动点，连接 ， 将沿所在直线翻折得到.当点恰好落在直线上时， 的长为 _______． 5或20 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解析】 四边形是矩形，,， ， ,，，.又 ， ， 四边形 为矩形， ， 将沿 所在直线翻折得到，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 22 如图（1），当点在边上时，在 中，， .在 中，， , ，解得 ． 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 如图（2），当点在延长线上时，在 中， ， .在 中，， ， ，解得 .故答案为5或20． 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 24 8.［2025广西贺州期末］折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴 对称性质解决相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数 学活动． 图（1） 图（2） 【操作】如图（1），在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿 所 在的直线折叠，使点落在点处，与交于点 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 25 【猜想】 （1）请直接写出线段, 的数量关系． 【解】 矩形纸片沿所在的直线折叠， 四边形是矩形，，， ， ． （2）［偏难］若，，求 的长. 【解】 矩形纸片沿所在的直线折叠， ， ，.设，则 .在 中， ，， ，解得 ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 26 【应用】如图（2），继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线 上，点 落在点处，点落在点处，折痕为 ． （3）［难］猜想，， 的数量关系，并加以证明． 【解】.证明：由折叠的性质可得 ， ， ，即 ， 在 中， ，， ， ，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 27 $$