精品解析：江苏省南通市海安市紫石中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期学情调研（202412） 九年级数学 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.是中心对称图形， 故选：D 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【详解】 如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 3. 如图所示，点��，��分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB=2：1，那么AE：AC等于（　　　　） A. 2：1 B. 2：5 C. 2：3 D. 3：5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，求出AE=2EC，再代入求出即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练运用定理得出比例式，通过比例的基本性质得出结论． 4. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由平角的定义可得的度数，由圆内接四边形对角互补可得的度数，再由圆周角定理可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：D． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查求代数式的值，添括号的应用，解题的关键是先求出，然后整体代入即可求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 6. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 7. 已知点是反比例函数图象上的点，若，则一定立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．根据题意可得反比例函数图象位于第二，四象限，再由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二，四象限， ∵， ∴点在第四象限，点在第二象限， ∴． 故选：D 8. 如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理可求出的三边长，再证明得到，据此根据正切的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，正方形的边长为，对角线交于点，点为边上的三等分点，连接，分别交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，进而由可得，得到，同理可得，最后根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点是的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 同理可得，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 10. 在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（ ） A. 小明正确，小丽错误 B. 小明错误，小丽正确 C. 小明、小丽都正确 D. 小明、小丽都错误 【答案】C 【解析】 【分析】旋转得到，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出，判断小丽的说法即可． 【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， 当点E落在边上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故小明的说法是正确的； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，的长最小， ∴当的长最小时，， 又∵， ∴， ∴， ∴；故小丽的说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点的轨迹，是解题的关键． 二．填空题（共8小题，其中11、12题每题3分，13-18题每题4分） 11. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 13. 已知蓄电池电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻R应控制的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出是解题的关键． 设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为，利用待定系数求出，再求出当，，最后根据反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为， 把点代入中得，， ∴， ∴， 当时，，解得， ∵， ∴电流I随电阻R的增大而减小， ∴限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是， 故答案为：． 14. 如图，在中，点D为的内心，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内心的定义，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过点作交延长线于点，根据内心的定义，由得到，先求得的长，进而利用三角形面积公式即可得解． 详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ， 故答案为：． 15. 如图，D是等边边上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E、F分别在和上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用、等边三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，由折叠得出，求出的周长为，的周长为，得出与的相似比即可解答． 【详解】解：∵ 设，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴相似比 由折叠的性质可得：， ∴， ∴与的相似比， ∴． 即， 故答案为： 16. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，点在点左侧，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数值的几何意义，待定系数法求解析式，相似三角形的判定的性质．如图所示，过点作于点，作轴于点，可得，，设，用含的式子表示点的坐标，由此可得直线，的解析式， 从而求出的坐标，分别求出的长，再根据可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，且在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∵，，，， ∴，，， ∴， ，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 已知，则的最小值是________． 【答案】0 【解析】 【分析】求代数式的最小值，应该把所给代数式整理成一个完全平方式加一个常数的形式．把所给代数式“两、两”分组，进而把整理成的形式，然后继续整理，可得一个完全平方式加一个常数的形式，然后分析完全平方式的最小值可得整个式子的最小值．本题考查因式分解的应用．关键是把所给代数式整理成一个完全平方式加一个常数的形式．易错点是根据所给的值判断出的最小值． 【详解】解： ． ， 原式 ． 设，则． ， ． ． ． ． 方程有解， ． ． 或． 当即时，原式； 当即时，原式． ， 的最小值是0． 故答案为：0 三．解答题（共90分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 平面直角坐标系中，，，． （1）以点为位似中心，在网格图中画出，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标______； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形； （3）在（2）的条件下，求点经过的路径长． 【答案】（1）作图见详解， （2）作图见详解 （3）点经过的路径长为 【解析】 【分析】本题主要考查位似，旋转，弧长的计算，掌握位似的定义及作图，旋转的性质，弧长公式的计算方法即可求解． （1）根据位似的性质作图，根据坐标与图示即可求解； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）运用网格与勾股定理先求出的值，再运用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：已知，，，在网格图中画出，使它与的相似比为，作图如下， ∴即为所求图形， ∴； 小问2详解】 解：绕点逆时针旋转后的图形， ∴即为所求图形； 【小问3详解】 解：根据图示，， ∴， ∴点经过的路径长为． 21. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口， ∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果， ∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，作轴，垂足为点，． （1）求反比例函数表达式及点的坐标； （2）直接写出当时，的取值范围为______． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析，转换为二元一次方程组求交点坐标，根据图形求不等式的解集的综合，掌握待定系数法解析式，二元一次方程组的计算方法，求不等式的解集的方法是解题解题的关键． （1）根据的值可确定点的纵坐标为，代入一次函数可求出点的坐标，由此可求出反比例函数解析，联立一次函数，反比例函数解二元一次方程组可求出点的坐标； （2）图形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴点的纵坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即反比例函数的解析式为：， ∴， 解得，或， ∴； 【小问2详解】 解：，， ∴根据图示可得，当时，；当时，； 综上所述，当时，的取值范围为：或， 故答案为：或． 23. 如图，中，，，，与相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解∶连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解∶延长交于P，连接，此时最大， 由（1）知：，， ∴． 24. 某商家销售一种成本为30元的商品，当售价定为40元/件时，每天可销售400件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过． （1）求每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； （3）当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为48元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为5760元； （3）问当销售单价定为时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元． 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和不等式的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． （1）依据“实际销量原销售量增加的销量”来确定与之间的函数关系式； （2）根据利润销售量单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质和单件该商品的销售利润不能超过，来判断出最大利润； （3）首先根据，求得，再根据单件该商品的销售利润不能超过，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 ， 每天的销量（件与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式为； 【小问2详解】 设每天获得的利润为元， 则， 单件该商品的销售利润不能超过， ， 解得， ， 当时，有最大值，最大值为5760元； 答：当销售单价定为48元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为5760元； 【小问3详解】 由题意知，即， 整理得， ， ， ， ， 答：问当销售单价定为时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元． 25. 已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． （1）若，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； （3）当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】（1） （2）2或1 （3）整数a有4个 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程． 根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可； 结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离； 结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数． 【小问1详解】 解：有题意知 ， 当时，y取得最小值8； 【小问2详解】 解：∵点在双曲线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴，化解得，解得或， 则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； 【小问3详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 则整数a有4个． 26. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期学情调研（202412） 九年级数学 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ） A B. C. D. 2. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，点��，��分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB=2：1，那么AE：AC等于（　　　　） A. 2：1 B. 2：5 C. 2：3 D. 3：5 4. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 18 6. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C D. 7. 已知点是反比例函数图象上的点，若，则一定立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，对角线交于点，点为边上的三等分点，连接，分别交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（ ） A. 小明正确，小丽错误 B. 小明错误，小丽正确 C. 小明、小丽都正确 D. 小明、小丽都错误 二．填空题（共8小题，其中11、12题每题3分，13-18题每题4分） 11. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：______． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻R应控制的范围是________． 14. 如图，在中，点D为的内心，，则的面积是________． 15. 如图，D是等边边上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E、F分别在和上，则________． 16. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，点在点左侧，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，若，，则的值为______． 18. 已知，则的最小值是________． 三．解答题（共90分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 平面直角坐标系中，，，． （1）以点为位似中心，在网格图中画出，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标______； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形； （3）在（2）的条件下，求点经过的路径长． 21. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，作轴，垂足为点，． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直接写出当时，的取值范围为______． 23. 如图，中，，，，与相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 24. 某商家销售一种成本为30元的商品，当售价定为40元/件时，每天可销售400件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过． （1）求每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； （3）当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元？ 25. 已知函数（a，b常数）．设自变量x取时，y取得最小值． （1）若，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； （3）当，且时，分析并确定整数a的个数． 26. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $