精品解析：吉林省长春市榆树市慧望初级中学2024-2025学年八年级上学期期末数学测试题

2024-2025学年度上学期八年级期末测试题▪数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共4页．全卷满分120分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 13 2. 的立方根是（ ） A. B. 3 C. D. 9 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题是（ ） A. 三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形 B. 等腰三角形两腰上的高相等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 6. 甲、乙两人的手机“微信运动”中2023年12月1日﹣7日的步数折线统计图如图所示，则根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（　　） A. 1日﹣3日，甲的步数逐天增加 B. 12月5日，甲、乙两人的步数相等 C. 1日﹣4日，乙的步数逐天减少 D. 4日﹣7日，乙的步数都少于甲的步数 7. 如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为，大正方形的边长为，则中间小正方形的面积是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 比较大小：_____4（填“＜”或“＞”） 10. 计算：______． 11. 如图，，若，则的度数为_____． 12. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D；②再分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线交于点F．若，，则的长为 ________________． 13. 如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为______． 14. 如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为_______．（只填写序号） 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 如图，点E是边的中点，D是上一点，过点C作，与的延长线交于F点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 19. 图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边中线． （2）在图②中作边的高线． （3）在图③中作的角平分线． 20. 某学校为丰富学生的校园生活，计划开展各类社团，为了解学生将会选择的社团，针对以下个社团：治愈社、书法社、话剧社、动漫社，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图（图，图），请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人； （2）请补全图中的条形统计图； （3）在图中，扇形“”所对应的圆心角等于______度； （4）若该校共有名学生，请根据调查数据估计选择“话剧社”和“动漫社”的学生共有多少人？ 21. 某工程测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． （1）求证：． （2）求的长． 22. 【问题原型】 如图①，是四边形，，，求证：平分． 【解决问题】 （1）如图②，小明思考后，分别过图①中的点作于点，交的延长线于点，其它条件不变．根据小明的作法，解决这个问题． 【应用】 （2）如图②，若，，，直接写出四边形的周长． 23. 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 24. 在中，，，，过点作于点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到终点；同时，动点从点出发，以相同的速度沿边运动到终点．连接，过点作交边或的延长线于点，连接、．图①、图②分别表示点在边、上运动，设点的运动时间为秒． （1）的长为________． （2）如图①，当时，求的值． （3）如图②，求证：． （4）如图②，当点是边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期八年级期末测试题▪数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共4页．全卷满分120分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， 即的绝对值是， 故选：B． 2. 的立方根是（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 根据相应运算法则进行计算，判断其正确性即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用公式法，十字乘法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键． 根据因式分解逐个判断即可． 【详解】解：A．不能用完全平方式进行因式分解，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形 B. 等腰三角形两腰上的高相等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握三角形分类、等腰三角形性质、等边三角形的判定等知识． 根据三角形分类、等腰三角形性质、等边三角形的判定逐项判断． 【详解】解：A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故A是假命题，不符合题意； B、等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意； D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故D是假命题，不符合题意； 故选：B． 6. 甲、乙两人的手机“微信运动”中2023年12月1日﹣7日的步数折线统计图如图所示，则根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（　　） A. 1日﹣3日，甲的步数逐天增加 B. 12月5日，甲、乙两人的步数相等 C. 1日﹣4日，乙的步数逐天减少 D. 4日﹣7日，乙的步数都少于甲的步数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．直接根据折线统计图信息逐一判断即可得到答案． 【详解】由图象可得： A．1日﹣3日，甲的步数逐天增加，故A说法正确，不符合题意； B．12月5日，甲、乙两人的步数相等，故B说法正确，不符合题意； C．1日﹣4日，乙的步数逐天减少，故C说法正确，不符合题意； D．7日，乙的步数都大于甲的步数，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，考查实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键． 根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， ∵是数轴上表示的点， ∴点表示的数是． 故选：C． 8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为，大正方形的边长为，则中间小正方形的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和题目中数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由勾股定理得，直角三角形的另一条直角边长为， ∴小正方形边长为， ∴小正方形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 比较大小：_____4（填“＜”或“＞”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小．因为，，所以． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 11. 如图，，若，则的度数为_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，根据全等三角形对应角相等得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D；②再分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线交于点F．若，，则的长为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查尺规作图−垂直平分线、垂直平分线的性质、勾股定理，根据题意可得，，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图得：，， ∴， 在中，， 在中，， 故答案为：． 13. 如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可． 【详解】解：，， ∴点C，点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 故答案为：5 14. 如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为_______．（只填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识；根据等边三角形的性质可得，，，求出，即可证明，①正确；利用证明和，可得②错误；利用三角形外角的性质可求出，③正确；作于点，作于点，利用全等三角形的性质以及三角形的面积公式求得，即可判断④正确．掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：、均为等边三角形， ，，， ∴，即， ，①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理， 图中至少有三对全等三角形，②错误； ∵， ∴， ∴，③正确； 作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，④正确； 综上，正确结论的是①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，求一个数的算术平方根．根据求一个数的立方根，求一个数的算术平方根进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】解： ． 17. 如图，点E是边的中点，D是上一点，过点C作，与的延长线交于F点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，结合对顶角相等可得； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵点E是边的中点， ∴． 在和中，， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的对应边相等是解本题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】，19 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握运算法则． 先由完全平方公式和平方差公式进行化简，再进行整式的加减计算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边的中线． （2）在图②中作边的高线． （3）在图③中作的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点和，连接交于点，利用矩形的性质知点为中点，连接，则为边的中线； （2）取格点I，连接交于点，得到，推出，得到，则为边的高； （3）取格点，得到，连接，利用矩形的性质找到的中点，连接交于点，利用等腰三角形的性质得到是的角平分线． 【小问1详解】 解：如图，为边的中线； 【小问2详解】 解：如图，为边的高； 【小问3详解】 解：如图，是的角平分线； 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 20. 某学校为丰富学生的校园生活，计划开展各类社团，为了解学生将会选择的社团，针对以下个社团：治愈社、书法社、话剧社、动漫社，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图（图，图），请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人； （2）请补全图中的条形统计图； （3）在图中，扇形“”所对应圆心角等于______度； （4）若该校共有名学生，请根据调查数据估计选择“话剧社”和“动漫社”的学生共有多少人？ 【答案】（1）人； （2）见解析； （3）； （4）人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体的知识． 根据条形统计图中可知：选择话剧团总人数为人，扇形统计图可以看出：选择话剧团人数占总人数，可以求出调查的总人数； 用总人数减去治愈社的人数、话剧社的人数、动漫社的人数，得到书法社的人数，可以求出书法社的人数占调查总人数的百分比，用百分比求出选择动漫社的人数，补全条形统计图； 根据选择动漫社的人数和调查的总人数计算出选择动漫社的人数占调查总人数的百分比，利用百分比求出扇形所对应的圆心角的度数； 用调查样本中选择“话剧社”和“动漫社”的学生占被调查人数的百分比估计名学生中选择“话剧社”和“动漫社”的学生占总人数的百分比，求出名人数中选择“话剧社”和“动漫社”的学生人数． 【小问1详解】 解：从条形统计图可以看出：选择话剧团总人数为人， 从扇形统计图可以看出：选择话剧团人数占总人数的， 被调查的总人数为(人)， 故答案为：人； 【小问2详解】 解：参加书法社的人数为：(人)， 补全条形统计图如下， 【小问3详解】 解：代表的是动漫社，从条形统计图中可以看出：选择动漫社的有人， 选择动漫社的人数占总人数的， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：从扇形统计图中可以看出：选择话剧社的人数占，选择动漫社的人数占， 选择“话剧社”和“动漫社”的占总人数的， 估计选择“话剧社”和“动漫社”的学生共有(人)， 答：估计选择“话剧社”和“动漫社”的学生共有人． 21. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【小问1详解】 解：米，米，米， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， （米）， （米）． 22. 【问题原型】 如图①，四边形，，，求证：平分． 【解决问题】 （1）如图②，小明思考后，分别过图①中的点作于点，交的延长线于点，其它条件不变．根据小明的作法，解决这个问题． 【应用】 （2）如图②，若，，，直接写出四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）12 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质可得出，然后根据证明，得出，最后根据角平分线的判定即可得证； （2）根据证明，可得出，利用勾股定理求得，设，利用等积法，求得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：过点C分别作于点E，交的延长线于点F， 则， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴平分； （2）解：∵，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，由， ∵， ∴， ∴， 解得， 经检验是方程的解， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，无理方程，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 23. 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 24. 在中，，，，过点作于点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到终点；同时，动点从点出发，以相同的速度沿边运动到终点．连接，过点作交边或的延长线于点，连接、．图①、图②分别表示点在边、上运动，设点的运动时间为秒． （1）的长为________． （2）如图①，当时，求的值． （3）如图②，求证：． （4）如图②，当点是边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）3 （2）； （3）见解析 （4）四边形的面积为6或． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）根据，列方程即可得到结论； （3）根据余角的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，推出，根据得到； （4）由，点P是边的三等分点，得到或，当时，由（3）知，，根据勾股定理得到，求得，得到，根据三角形的面积公式得到结论；当时，由（3）知，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到的长，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问4详解】 解：∵，点P是边的三等分点， ∴或， 当时，由（3）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积 ； 当时，由（3）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积 ， 综上，当点P是边的三等分点时，四边形的面积为6或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$