广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题

参考答案及解析 数学 2026届新高三开学联考 参考答案及解析 数学 数学参考答案及解析 1 学科网（北京）股份有限公司 一、选择题 1. B【解析】由题意可设 其实部为 故选 B. 2. B 【解析】由于5×0.7=3.5,故第70百分位数为从小到大的第四个数.故选 B. 3. B【解析】不妨设 C的短轴长为焦距的 倍，则 所以 故 C 的离心率为 故选 B. 4. A【解析】由题意可得A={x|-1<x<2},且B⊆A，由数轴法可得 解得 a∈[-1,1].故选A. 5. C【解析】由题意可得 故 sinα= 即 故2tanα+ 故选C. 6. C 【解析】如图,设 Q,R 为所在棱的中点,则有 AQ∥PC，则经过点A，B，Q三点的平面即为符合题意的平面α，则平面α截正方体所得图形为矩形ABQR，其中 所以平面α截正方体所得图形的面积为2 .故选C. 7. B【解析】由题意有两种分配方法，6名男性取3名，4名女性取2名构成一组，余下其它5 人构成另一组；6名男性取2名，4名女性取3名构成一组，余下其它5人构成另一组，所以不同分组方法有 种.故选 B. 8. C 【解析】当 若f(x)在区间 上单调递增，则 解得0<ω≤1,故ω有最大值1.故选 C. 二、选择题 9. BC 【解析】由幂函数定义可得 解得a=2,故 易得 f(x)定义域为R,且 f(-x)= ，故f(x)为奇函数，故B正确；令函数 易得g(x)有 3个零点，故方程 f(x)=x有3个不等的实根，故C正确；易得f(x)在R 上单调递增,故 f(a)>f(1.1)>f(-0.8),故D错误.故选 BC. 参考答案及解析 数学 10. ACD 【解析】由题知，地速向量=空速向量+风速 学科网（北京）股份有限公司 向量，所以地速向量=(4，3)，其模长为 5，故A 正确；地速向量与空速向量不共线，故地速向量的方向与空速向量方向不同，B错误；纵向偏移量为沿线路方向的向量分量，由于地速向量=(4，3)，所以沿线路方向的向量分量=(4，0)，速度为4m /s，与标准值吻合，故纵向偏移量与标准值无偏差,C正确;横向偏移量为(0,3),速度为3m /s,超过了2m/s，故该无人机需要调整飞行姿态，D正确.故选 ACD. 11. ACD 【解析】对于A选项,显然 F(1,0),m,n均为正数，联立 可得 于是 同理 由 可得n=4m,由 F 在AB 上可知m=1,故|CD|= 故 A 正确，对于B选项，由 可得n=16m,由点 F 在CD 上可知,n=1,故点A的横坐标为 ，于是由抛物线的定义可知 故 B 错误.对于 C 选项，此时n=4m，不妨设点 A 在第一象限，则A(m,2√m),由三点A,D,F共线可知点 D 在第四象限,故 D(n, 代入n=4m可得D(4m,-4√m),由三点A,D,F 共线可知直线AF 与 DF 的斜率相等,即 解得 故 于是|AC|= 故 C 正确，对于D选项，由对称性可知四边形 ABCD是对称轴为 x轴的等腰梯形，故t=0，不妨设. 则D(n,2√n),代入n=16m可得D(16m,8√m),记圆心为M，由 可得 整理得 而m≠0,故 于是 s+t>2,故 D正确.故选 ACD. 三、填空题 12.5【解析】由等差数列的定义可得 且a₁,a₂,a₄依次成等比数列，即( 解得a₁=1,故 故答案为5. 【解析】设该圆锥的底面圆半径和母线长分别为 r，l，则其表面积与其侧面积之比为 则l=2r=a,其高度为 故答案为 数学 参考答案及解析 【解析】设 DC=2BD=2x,∠BAD=2∠DAC=2a,a∈(o,π/3),AB=y,由正弦定理可得王△ADC中,由余弦定理可得 由 cos∠ADB+cos∠ADC=0,可得 化简可得1= 2 学科网（北京）股份有限公司 即 即 即 由 故答案为 四、解答题 15.解：(1)设事件A 为“该校任一不参加活动的学生是男生”，由调查数据可知当a 足够大时，以频率估计概率可知该校任一不参加活动的学生是男生的概率 (4分) (2)零假设 H。为：是否参加活动与性别无关.(6分) 由题意可得 (9分) 若根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，即H。不成立， 则 (10分) 解得 (12分) 因为a为正整数，则a的最小值为10. (13分) 16.证明:(1)因为 PC⊥平面ABC,BF⊂平面ABC,所以 PC⊥BF, (2分)因为BF⊥PE,PC∩PE=P,PE,PC⊂平面 PCE,所以BF⊥平面 PCE, (3分)又 BF⊂平面 PBF,所以平面 PCE⊥平面 PBF. (5 分) (2)因为 PC⊥平面ABC,CA⊥CB,所以以C为坐标原点,CA,CB,CP 所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系. (6分) 因为 CA=2CB=2CP,令 CA=4,则A(4,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),E(2,1,0),由 BF⊥PE可得 (8分)设平面 PBF的一个法向量为n=(x,y,z), 贝 引 令 z=1，可得平面PBF的一个法向量为n=(2,1,1). (11分)又 (12分) 设 EF 与平面 PBF 所成的角为θ,则 sin θ= (15分) 17.解:(1)令n=1,可得 故 (2)易得 两式相减得 (2分) (1分) (3分) 即 (4分) 且 (5分) 参考答案及解析 数学 于是 3 学科网（北京）股份有限公司 (8分) 故{4an-3"}是公比为 的等比数列. (9分) (3)由(2)可知 (10分) 故 (11分) 于是 故 (13分) 易得 Sn单调递增,故 Sn有最小值S₁=1, (14分)无最大值. (15分) 18.解: (2分) (3分) 故曲线.y=f(x)在点( 处的切线方程为 即 (5分) (2)设 (6分) 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时,g '(x)> 0 ,g(x).单调递增， (8分)于是g(x)≥g(1)=0,故 f(x)在 (0,1),(1,+∞)上单调递增, (9分) 故 f(x)的单调递增区间为(0,1),(1,+∞),无单调递减区间. (10分) (3)设函数 (11分) 当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增, (13分) 于是h(x)≥h(1)=0.对于x≠1,有 h(x)>0,即 (14分) 当x∈(0,1)时, 即 f(x)<3,此时 (15 分) 当x∈(1,+∞)时, 即 f(x)>3,此时 (16分) 综上， (17分) 19.解:(1)当AB⊥x轴时,|AB|=6,故点(4,3)在Γ上,可得 (2分)故Γ的标准方程为 (3分)故Γ的渐近线方程为 (4 分) (2)设直线l:x= ty+4,联立 可得 (6分) 当 时，l与Γ 只有一个交点， 故 (7分) 数学 参考答案及解析 因为l与Γ 右支有两个交点， 4 学科网（北京）股份有限公司 根据图象可得 (8分) 设A(x∧,y∧),B(xB,yB), 根据韦达定理可得 (10分) 故 (12分) (3)易得 (13分) ∴代入上式解得 (14分) 故 令 设 则 对于 恒成立. (16 分) ∴f(m)最小值为 f(0)=6,最大值为 ；即|AB|的取值范围为[ (17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届新高三开学联考 数学试题 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 的实部为 A. C. 2.某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据(单位：毫米)为3.56，3.58,3.59,3.95,4.03,对于这五个数据,其第70百分位数为 A.3.59 B.3.95 C.3.77 D.4.03 3.若椭圆C的短轴长为焦距的 倍，则C的离心率为 4.设集合 若B⊆A，则a的取值范围是 A.[-1,1] B.[-1,1) C.[0,2] D.(-1,1] 5.已知锐角α满足 5cosα=1,则2tanα+3sinα= 6.如图，在棱长为2的正方体中，A，B，C均为顶点，P为所在棱的中点，若PC∥平面α，且A，B均在平面α内，则平面α截正方体所得图形的面积为 B.4 7.某户外探险俱乐部组织10名成员(6名男性，4名女性)前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组(不区分两组的顺序)，且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有 A.60种 B.120种 C.180种 D.720种 学科网（北京）股份有限公司 8.已知函数 在区间 上单调递增，则ω的最大值为 A. C.1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知幂函数 则 A. a=3 B. f(x)为奇函数 C.方程 f(x)=x有3个不相等的实根 D. f(1.1)>f(-0.8)>f(a) 10.无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹.无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过2m/s或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量，其标准值为4m/s)超过标准值1m/s时，需调整飞行姿态.已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿x轴正方向为线路巡检时，空速向量为(3，4)(单位：m/s)，风速向量为(1,-1)(单位:m/s),则 A.地速大小为5m /s B.地速向量的方向与空速向量方向相同 C.纵向偏移量与标准值无偏差 D.该无人机需要调整飞行姿态 11.记抛物线 E: 的焦点为F，直线x=m与E 相交于A，B两点，直线x=n与E 相交于C，D两点，则 A.当|CD|=2|AB|,点 F在AB 上时,|CD|=8 B.当|CD|=4|AB|,点 F在CD 上时, C.当|CD|=2|AB|,A,D,F三点共线时, D.当|CD|=4|AB|,四边形ABCD的外接圆圆心坐标为(s,t)时,s+t>2 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分. 12.已知数列{an}为公差为1的等差数列，且a₁，a₂，a₄依次成等比数列，则 13.已知底面圆直径为a的圆锥的表面积与其侧面积之比为 ，则该圆锥的高为 .(用含a的式子表示) 14.△ABC中,D为边BC 上靠近点B 的三等分点,且∠DAB=2∠DAC,AD=1,则 BC长度的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 某校以“和经典相伴，与书香同行”为主题举行学习活动.为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中a为正整数. 参加 不参加 合计 男生 3a 2a 5a 女生 8a 2a 10a 合计 11a 4a 15a (1)当a足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率； (2)若根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求a的最小值. 附： α 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 x。 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16.(本小题满分15 分) 如图,三棱锥 P-ABC中,PC⊥平面ABC,CA⊥CB,AB=2AE,F为棱AC 上一点，且 BF⊥PE. (1)证明:平面. (2)若CA=2CB=2CP,求 EF与平面PBF 所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 记 Sn为数列 的前n项和，已知 (1)求 a₁; (2)证明：数列 是等比数列； (3)求 Sn的最值. 学科网（北京）股份有限公司 18.(本小题满分17 分) 已知函数 (1)求曲线.y = f(x)在点 处的切线方程； (2)求 f(x)的单调区间; (3)证明: 19.(本小题满分17分) 过点 R(4，0)的直线 l与双曲线Γ 的右支交于A，B两点，当 轴时， (1)求Γ 的渐近线方程； (2)记Γ的左顶点为C，求 的取值范围； (3)若分别以点A、B为圆心的两圆有公共点R(R在x轴上)，它们与x轴的另一交点分别记作点 P、Q，记O为坐标原点，当 时，求 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$