第2章 圆锥曲线（知识清单）数学北师大版2019选择性必修第一册

第2章 圆锥曲线 知识点一、椭圆 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足 的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的 ． 特别说明：其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： ①若2a＞2c，则集合P为椭圆； ②若2a＝2c，则集合P为线段； ③若2a＜2c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 对称性 对称轴： ；对称中心：原点 顶点 A1 ， A2 ， B1 ， B2 A1 ， A2 ， B1 ， B2 轴 长轴A1A2的长为 ； 短轴B1B2的长为 焦距 |F1F2|＝ 离心率 e＝∈ a，b，c间的关系 c2＝ 知识点二、双曲线 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝ 的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的 ，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的 ． 特别说明：数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为两条射线； ③若a>c，则集合P为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R 对称性 对称轴： ；对称中心： 顶点 A1 ， A2 A1 ， A2 渐近线 离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞) 实虚轴 实轴：线段A1A2，|A1A2|＝ 虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝ a，b，c 的关系 c2＝ 3．等轴双曲线 (1)定义：实轴与虚轴 的双曲线称为等轴双曲线，其方程写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)性质：①a＝b；②e＝； ③两条渐近线y＝±x互相垂直； ④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 知识点三、抛物线 1．抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离 的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的 ，定直线l称为抛物线的 ． 特别说明：其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 开口 方向 向右 向左 向上 向下 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P (x0，y0) 在抛物 线上) |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ 知识点四、直线与圆锥曲线 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有 、 、 ；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C ；Δ＝0时，直线l与曲线C ；Δ＜0时，直线l与曲线C ． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的 平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的 平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝ 或|AB|＝ ＝ ，k为直线斜率且k≠0. 【易错点一】01 椭圆焦点位置考虑不周全 辨析：考虑椭圆焦点位置时，易错点在于未全面分析椭圆的长短轴与坐标轴的关系。若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断椭圆的长轴、短轴与x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判。 【典例1】已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率等于，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【易错点二】02 双曲线焦点位置考虑不周全 辨析：考虑双曲线焦点位置时，易错点在于未全面分析双曲线的实轴、虚轴与坐标轴的关系。若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断双曲线的实轴、虚轴与x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判。 【典例1】已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【典例2】若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【易错点三】03 抛物线焦点位置考虑不周全 辨析：在处理抛物线问题时，焦点位置的考虑至关重要。若焦点位置分析不周全，易导致解题方向偏差，如误判抛物线的开口方向、顶点坐标及准线位置等。因此，需准确判断焦点位置，结合抛物线性质全面分析，避免陷入易错陷阱。 【典例1】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【典例2】顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 重难点01 椭圆的定义与标准方程 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 1．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）与椭圆有相同焦点且过点的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 重难点02 椭圆方程的充要条件 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 5．（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 7．（2025·甘肃庆阳·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 重难点03 椭圆中的焦点三角形问题 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 8．（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 10．（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 重难点04 椭圆上两点距离的最值问题 利用椭圆参数方程设点 ,转化两点距离为三角函数最值问题；或结合椭圆对称性,过中心的弦为最长直径,短轴端点距焦点最近,用几何性质简化计算。 12．（20-21高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 13．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 14．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，M为AB的中点，N为OF的中点，则线段MN的长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点05 椭圆上两线段的和差最值问题 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 15．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 16．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 17．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 重难点06 椭圆离心率的值及取值范围 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 18．（2025高二·全国·专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 20．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 重难点07 椭圆的轨迹问题 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 21．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 重难点08 椭圆的实际应用 椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。 24．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 25．（25-26高二上·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 26．（24-25高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 重难点09 双曲线的定义与标准方程 求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径： （1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程． （2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程． 27．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线的实轴长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 28．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 重难点10 双曲线方程的充要条件 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：． 30．（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点11 双曲线中焦点三角形问题 对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用． 33．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，为右支上一点，的平分线交轴于点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 34．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为是的左支上一点，的平分线上的点满足，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 35．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 重难点12 双曲线上两点距离的最值问题 用参数方程设点,结合双曲线范围 ,转化距离表达式求最值,注意渐近线对范围的限制。36．（2025高三·全国·专题练习）已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 37．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 重难点13 双曲线上两线段的和差最值问题 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 38．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 39．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 40．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 重难点14 双曲线的离心率的值及取值范围 由 ,建立 关系。已知几何条件 (如焦点三角形、渐近线夹角) 转化为 不等式,结合 确定范围,注意隐含条件 。 41．（2025高二·全国·专题练习）已知为双曲线右支上的一点（非顶点），，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若，则该双曲线的离心率为 ． 42．（2025高二·全国·专题练习）若双曲线的两个顶点三等分两焦点间的线段，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 43．（2025高二·全国·专题练习）已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 44．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 重难点15 双曲线的轨迹问题 根据定义 (到两定点距离差的绝对值为常数) 判断轨迹; 或由动点满足的等量关系,整理成 形式,注意排除绝对值等于常数的情况。 45．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 重难点16 双曲线的渐近线 掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长． 48．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是的公共点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高二上·全国·单元测试）直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 50．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（    ） A．1 B． C．－4 D．1或－4 重难点17 双曲线的实际应用 双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性.在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术实现了精准定位.这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响. 51．（24-25高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 52．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 53．（2023·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 重难点18 抛物线的定义与标准方程 求抛物线的标准方程的步骤为： （1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： （2）根据题目条件列出P的方程 （3）解方程求出P，即得标准方程 54．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 55．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 56．（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 重难点19 抛物线的轨迹方程 利用定义 (到定点与定直线距离相等) 直接写方程；或设动点坐标,将几何条件(如距离、斜率关系) 转化为代数方程,化简时注意焦点位置对标准式的影响。 57．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 重难点20 与抛物线有关的距离和最值问题 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解60．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 61．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 62．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 63．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 重难点21 抛物线焦点弦的性质 （1）． （2）． （3）． 64．【多选】（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 65．【多选】（25-26高二上·全国·单元测试）设抛物线（）的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（    ） A． B．的坐标为或 C． D．直线的方程为 66．【多选】（24-25高二下·湖南郴州·期末）过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则（   ） A．以为直径的圆与x轴相切 B． C．的最小值为 D．过A，B两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点P，则的面积最小值为 67．【多选】（25-26高二上·全国·单元测试）已知曲线上的动点到点的距离比其到直线的距离小1，过点的直线交曲线于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4 C．以为直径的圆与直线相切 D．若，则直线的斜率为或 68．【多选】（24-25高二下·广东深圳·期末）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 重难点22 抛物线的实际应用 抛物线的实际应用总结：抛物线在工程设计、物理运动轨迹分析、光学设计、建筑设计及桥梁工程等领域有广泛应用。例如，卫星天线、探照灯、拱桥及投篮路径等均可视为抛物线应用实例，体现了其重要的实用价值。 69．（24-25高二上·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（    ） A． B． C． D． 70．（24-25高二上·江苏盐城·期末）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 71．（24-25高二上·重庆渝中·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（    ） A．4 B．2 C．8 D．16 重难点23 直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线与曲线方程,消元得一元二次方程,用判别式 判断： 相交, 相切, 相离。注意二次项系数是否为0(直线与抛物线、双曲线特殊位置)。 72．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 73．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（   ） ①关于轴对称；  ②；  ③；  ④“”的充要条件是“”． A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 74．（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 重难点24 圆锥曲线的弦长及应用 联立方程后,用弦长公式(A为二次项系数)；焦点弦可结合定义简化 (如抛物线 ,注意斜率不存在时的特殊情况。 75．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 76．（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则（    ） A． B．或6 C． D．或 77．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 重难点25 圆锥曲线的中点弦问题 用点差法, 设弦端点坐标代入曲线方程,作差得斜率与中点的关系( 椭圆); 或联立方程,利用韦达 定理中点坐标公式,避免漏解斜率不存在的情况。 78．（24-25高二下·山西·开学考试）已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 79．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 80．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 81．（2025·内蒙古包头·二模）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 82．（24-25高二下·山西·期中）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 83．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 重难点26 圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题 分割图形为三角形,用坐标公式 ; 焦点三角形用正弦定理( 椭圆); 结合弦长与点到直线距离公式,简化计算。 84．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 85．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 86．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且满足，设的面积为，以，为直径的圆的面积分别为，，则的最小值为 ． 重难点27 圆锥曲线中的定值问题 取特殊位置 (如顶点、中点) 猜想定值,再证明一般情况。用参数表示几何量,化简表达式消去参数,若结果与参数无关则为定值，常用韦达定理整体代换. 87．（25-26高二上·全国·期末）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)已知直线与交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，，求四边形面积的最大值． 88．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R． (1)求双曲线C的标准方程； (2)试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 重难点28 圆锥曲线中的定点问题 设含参数的曲线方程, 整理为过定点的直线系形式如（）解方程组 得定点; 或取参数特殊值求交点,验证恒过该点。 89．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 90．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 91．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 92．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线，，的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围． 重难点29 圆锥曲线中的定直线问题 设动点坐标, 根据条件推导直线方程,消去参数得定直线。或利用对称性猜想直线 (如对称轴、渐近线), 代入特殊点验证,结合韦达定理证明对任意参数成立。 93．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，椭圆的左右顶点分别为，过定点（不妨设）任意作直线交椭圆于，若直线与相交于，求证点在定直线上． 94．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 95．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 重难点30 圆锥曲线中的探究性问题 先假设存在满足条件的点、直线等,转化为代数方程,若方程有解则存在,否则不存在。步骤：假设→推导→验证,注意分类讨论参数取值,结合曲线范围判断合理性。 96．（2025·上海）设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点. (1)用表示点到点的距离； (2)设，，线段的中点在直线上，求的面积； (3)设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 97．（24-25高二下·河南周口·期末）已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程. (2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. (3)是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 98．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和. (1)求“黄金抛物线”的方程； (2)点为“黄金抛物线”在第四象限上一点，且“黄金抛物线”在点处的切线恰好与“黄金抛物线”在第三象限相切于点，求直线的方程； (3)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 99．（2025·浙江·二模）已知椭圆，过作椭圆在第四象限的切线，其中切点为.设是椭圆第一象限上的动点，过作椭圆的另一条切线，交轴于点. (1)求切线的方程； (2)过点垂直于轴的直线与直线交于点，求面积的最大值； (3)直线和切线相交于点，过点作的平行线交切线于点.问：是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 100．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知，点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)在二次曲线中，我们常把存在相同对称轴和焦点的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“组合曲线”.已知曲线与抛物线构成“组合曲线”.设过点的直线交“组合曲线”于两点，记. （i）若直线的斜率为，求的值； （ii）试问是否存在最值？请说明理由. 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆锥曲线 知识点一、椭圆 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 特别说明：其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： ①若2a＞2c，则集合P为椭圆； ②若2a＝2c，则集合P为线段； ③若2a＜2c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a； 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c间的关系 c2＝a2－b2 知识点二、双曲线 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 特别说明：数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为两条射线； ③若a>c，则集合P为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 实轴：线段A1A2，|A1A2|＝2a 虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝2b a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 3．等轴双曲线 (1)定义：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，其方程写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)性质：①a＝b；②e＝； ③两条渐近线y＝±x互相垂直； ④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 知识点三、抛物线 1．抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 特别说明：其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 开口 方向 向右 向左 向上 向下 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P (x0，y0) 在抛物 线上) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 知识点四、直线与圆锥曲线 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 【易错点一】01 椭圆焦点位置考虑不周全 辨析：考虑椭圆焦点位置时，易错点在于未全面分析椭圆的长短轴与坐标轴的关系。若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断椭圆的长轴、短轴与x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判。 【典例1】已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率等于，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据焦距可得，再由，可得，由即可求解.由题意可得，解得， 又，可得， ， 焦点在轴上， 椭圆的方程是. 故选：C 【典例2】已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】∵椭圆的长轴为8，离心率是， ∴，，解得，，， 因此，当椭圆的焦点在x轴上时，其方程为； 当椭圆的焦点在y轴上时，其方程为． 故选：B． 【易错点二】02 双曲线焦点位置考虑不周全 辨析：考虑双曲线焦点位置时，易错点在于未全面分析双曲线的实轴、虚轴与坐标轴的关系。若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断双曲线的实轴、虚轴与x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判。 【典例1】已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【答案】或2 【解析】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为， 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 综上，双曲线的离心率为或2. 故答案为：或2. 【典例2】若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 由，解得，此时双曲线的方程为 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 由，解得，此时双曲线的方程为 故选：C 【易错点三】03 抛物线焦点位置考虑不周全 辨析：在处理抛物线问题时，焦点位置的考虑至关重要。若焦点位置分析不周全，易导致解题方向偏差，如误判抛物线的开口方向、顶点坐标及准线位置等。因此，需准确判断焦点位置，结合抛物线性质全面分析，避免陷入易错陷阱。 【典例1】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 【典例2】顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】设出抛物线方程为或，代入点的坐标求出参数值可得．设抛物线方程为，则，，方程为， 或设方程为，则，，方程为． 所以抛物线方程为或． 故选：D． 重难点01 椭圆的定义与标准方程 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 1．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 2．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）与椭圆有相同焦点且过点的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义，结合两点距离求解，即可求解. 【详解】的焦点为， ， 故， 因此所求的椭圆方程为， 故选：B 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设条件易得，结合图形将的周长转化为的周长，从而求得的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，因经过点的直线垂直平分线段，则，即， 因，则的周长等于的周长， 即，解得，，故椭圆的标准方程为. 故选：D． 重难点02 椭圆方程的充要条件 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 5．（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题考查的是对充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 6．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆得解出即可求解. 【详解】由题意有， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件， 故选：B. 7．（2025·甘肃庆阳·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示椭圆列出不等式组得解. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得或. 所以实数的取值范围是. 故选：D. 重难点03 椭圆中的焦点三角形问题 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 8．（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B.    9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据焦点三角形的面积相等列出等式求出即可. 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为，点的纵坐标为， 根据面积相等得， 所以，解得．    故选：C. 10．（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出，结合三角形的面积公式可求出的值； 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】依题意，，， 解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 因为平分，由角平分线定理可得，故， 所以，即， 故，所以. 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 由，得， 所以. 故选：B. 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义得，结合余弦定理即可求解． 【详解】不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意． 在中，由余弦定理得， ， 即，所以． 故选：A. 重难点04 椭圆上两点距离的最值问题 利用椭圆参数方程设点 ,转化两点距离为三角函数最值问题；或结合椭圆对称性,过中心的弦为最长直径,短轴端点距焦点最近,用几何性质简化计算。 12．（20-21高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，结合点在椭圆上利用两点距离公式得，根据二次函数性质求解最值即可. 【详解】设点P的坐标为，其中，由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B 13．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 14．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，M为AB的中点，N为OF的中点，则线段MN的长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意运用垂径定理和椭圆的对称性即可求解. 【详解】轴时，故， 轴时均为顶点，为原点，，故， 不垂直坐标轴时，设，和椭圆方程联立得 即 故， 故 故，即． 设，易知，则时， 得点M的轨迹方程为，而时也满足该方程，刚好构成完整的椭圆，且N为其对称中心， 又椭圆上的点到椭圆中心的距离， 所以． 故选：A. 重难点05 椭圆上两线段的和差最值问题 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 15．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】设的左焦点为，先得半焦距的值，从而由离心率得的值，根据椭圆的定义可得所求. 【详解】设的左焦点为，半焦距为， 由题意得，又离心率，所以， 由椭圆的定义得：， 所以， 当点为线段的延长线与的交点时取等号， 故的最大值为. 故选：D. 16．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当在线段上时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得， 所以，因为，故在椭圆内， 所以， 当在线段上时，等号成立. 故选：B. 17．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A 重难点06 椭圆离心率的值及取值范围 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 18．（2025高二·全国·专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形性质把用表示后，利用椭圆的定义得出的关系式，整理后可求得离心率. 【详解】由题意，在等腰中，，底边上的高为， 所以． 又由椭圆的定义可知，，因此， 可得，即，所以或（舍去）， 故选：C． 19．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：通过三角形内切圆的圆心是内角平分线的交点，利用角平分线的性质转化得到和的等量关系． 解法二：利用三角形的面积关系转化得到和的等量关系． 【详解】解法一：因为是的内心， 由内角平分线定理得， 则，所以， 故选：B． 解法二：设内切圆的半径为， 则，， 所以， 由已知条件，得， 所以，得，即， 故选：B． 20．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 解法二：通过点横坐标的范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】解法一：因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得， 又，可得． 故选：B． 解法二：设，则线段的中点坐标为，， 可得线段的中垂线所在的直线方程为， 把点代入得， 从而得到，则或（舍去）， 因为，所以， 则且，解得， 又因为，得， 故选：B． 重难点07 椭圆的轨迹问题 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 21．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 22．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案. 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 23．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 重难点08 椭圆的实际应用 椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。 24．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 25．（25-26高二上·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 26．（24-25高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 重难点09 双曲线的定义与标准方程 求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径： （1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程． （2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程． 27．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线的实轴长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先利用渐近线的性质结合给定条件得到，，再代入中得到，进而求出实轴长即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，即，而焦距为10，故， 而，代入可得，解得， 则，得到双曲线的实轴长为，故B正确. 故选：B 28．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 29．（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 重难点10 双曲线方程的充要条件 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：． 30．（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 【点睛】对于方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上． 31．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断. 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 32．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 【详解】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C 重难点11 双曲线中焦点三角形问题 对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用． 33．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，为右支上一点，的平分线交轴于点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】解法1：，同理得，由的平分线为得，即，得，利用基本不等式即可求解； 解法2：先求直线的直线方程，由点到直线和的距离相等，利用点到直线的距离公式得，得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有， 解法1：，同理，． 又，进而得，所以，又， 所以当且仅当时等号成立． 故选：C． 解法2：由角平分线的性质可知，点到直线和的距离相等． 因为，， 所以，解得，所以， 又，所以当且仅当时等号成立． 故选：C． 34．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为是的左支上一点，的平分线上的点满足，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解即可 【详解】双曲线的实半轴长为．由，知，如图， 延长交的延长线于点，又因为是的平分线， 所以，故为的中点，又是的中点， 所以． 故选：C. 35．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可求得的周长. 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B.    重难点12 双曲线上两点距离的最值问题 用参数方程设点,结合双曲线范围 ,转化距离表达式求最值,注意渐近线对范围的限制。 36．（2025高三·全国·专题练习）已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，代入坐标，表示出点的从标，代入双曲线中化简，结合已知条件可得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以，且， 则有，得， 将点代入双曲线中得，所以  ①． 因为，即同向， 所以，所以， 将①代入上式并整理得， 即，则，等号能取到， 所以． 故选：B． 37．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，利用基本不等式即可求出其最小值. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C 重难点13 双曲线上两线段的和差最值问题 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 38．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】求出上焦点的坐标，由双曲线的定义可得，求得的值，即得结果． 【详解】由得，， ， 所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得 ， 当，，三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 39．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 40．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 重难点14 双曲线的离心率的值及取值范围 由 ,建立 关系。已知几何条件 (如焦点三角形、渐近线夹角) 转化为 不等式,结合 确定范围,注意隐含条件 。 41．（2025高二·全国·专题练习）已知为双曲线右支上的一点（非顶点），，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】结合内切圆的概念，利用双曲线的定义可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设内切圆的半径为，则 而， 由， 可得． 故答案为： 42．（2025高二·全国·专题练习）若双曲线的两个顶点三等分两焦点间的线段，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】通过条件“两个顶点三等分两焦点间的线段”直接找到和的关系，利用离心率的定义求解． 【详解】由题意可知，，整理得，则． 故选：C． 43．（2025高二·全国·专题练习）已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分点在渐近线和两种情况，求出点坐标，根据得到方程，求出的值，进而得到离心率. 【详解】当点在渐近线上时，联立，可得，解得， 则， 故，从而， 即，解得，负值舍去，故． 当点在渐近线上时，同理可得， 故， 从而，即， 解得，负值舍去，即． 所以或． 故选：C． 44．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的坐标，由的坐标结合求得的坐标，根据在双曲线上，得出和离心率的关系，进而得解. 【详解】 由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得， 设，由，得，所以， 解得，即， 因为点N在双曲线C上，所以， 所以，解得. 因为，所以，则， 所以，又.所以. 故选：B 重难点15 双曲线的轨迹问题 根据定义 (到两定点距离差的绝对值为常数) 判断轨迹; 或由动点满足的等量关系,整理成 形式,注意排除绝对值等于常数的情况。 45．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 46．（24-25高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 47．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 重难点16 双曲线的渐近线 掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长． 48．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是的公共点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由的方程，确定的坐标，设，根据题意，得到，求出点坐标，代入双曲线方程，再由，即可求出结果. 【详解】因为，是椭圆：与双曲线的公共焦点，所以，设点， 由，不妨取正即， 代入双曲线方程得：，又，即，即的渐近线方程为. 故选：C． 49．（25-26高二上·全国·单元测试）直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据渐近线的求法可直接求解. 【详解】令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线，所以，解得． 故选：D. 50．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（    ） A．1 B． C．－4 D．1或－4 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上， 所以，，所以，即. 又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以， 即，解得或（舍）. 故选：C. 重难点17 双曲线的实际应用 双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性.在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术实现了精准定位.这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响. 51．（24-25高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案. 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 52．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 53．（2023·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解. 【详解】由题意可知直线，都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故， 所以， 因此， 在，， 即， 整理得即，解得， 所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即， 解得， 所以的离心率为. 故选：B 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法： ①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 重难点18 抛物线的定义与标准方程 求抛物线的标准方程的步骤为： （1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： （2）根据题目条件列出P的方程 （3）解方程求出P，即得标准方程 54．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 55．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【详解】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 56．（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 重难点19 抛物线的轨迹方程 利用定义 (到定点与定直线距离相等) 直接写方程；或设动点坐标,将几何条件(如距离、斜率关系) 转化为代数方程,化简时注意焦点位置对标准式的影响。 57．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 58．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 59．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】由抛物线的定义求解． 【详解】表示动点到直线的距离， 表示动点到定点的距离， 因为，所以动点的轨迹为抛物线， 故选：D． 重难点20 与抛物线有关的距离和最值问题 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解 60．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 61．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线的几何性质转化线段可求和的最小值. 【详解】方法一：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小2， ，化简得， 即点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线． 方法二：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小 动点到点的距离等于到直线的距离， 点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 即抛物线方程为． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得， 则，当三点共线时， 取得最小值，最小值为． 故选：C． 62．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果. 【详解】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以. 故选：B. 63．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为.    故选：D 重难点21 抛物线焦点弦的性质 （1）． （2）． （3）． 64．【多选】（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 65．【多选】（25-26高二上·全国·单元测试）设抛物线（）的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（    ） A． B．的坐标为或 C． D．直线的方程为 【答案】AB 【分析】由题意得焦点为，准线为，设的坐标为，由中点坐标公式得，，即.由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 即可判断选项A；故抛物线方程为，，则，求出和的值，即可判断选项B；根据三角形面积公式即可判断选项C；根据直线的点斜式方程化简即可判断选项D. 【详解】如图，由题意得焦点为，准线为，设的坐标为，由为的中点得，，即.由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 故选项A正确； 由选项A知抛物线方程为，，则，故，，所以点的坐标为或.故选项B正确； 的面积为.故选项C不正确； 由，或知，直线的方程为，即.故选项D不正确. 故选：AB. 66．【多选】（24-25高二下·湖南郴州·期末）过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则（   ） A．以为直径的圆与x轴相切 B． C．的最小值为 D．过A，B两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点P，则的面积最小值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，设直线的方程为，联立方程组求得，得到，根据物线的性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，可判定A正确；由斜率公式，求得，可判定B不正确；由抛物线的焦半径公式，得到，结合基本不等式，可判定C正确；求得切线方程，联立方程组求得，利用点到直线的距离公式和弦长公式，得到面积的面积为，可判定D正确. 【详解】由题意得，抛物线的焦点为，准线方程为， 显然直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程组，可得，， 设，则， 则， 对于A中，由抛物线的性质，可得， 则以为直径的圆，其圆心为，半径为， 则圆心到轴的距离，所以以为直径的圆与轴相切，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，因为，可得 由抛物线的焦半径公式，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由抛物线，可得， 所以过点和的切线方程分别为和， 联立方程组，可得，即， 又由直线方程，即， 则点到直线的距离为， 又由， 所以的面积为， 设，可得，所以的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 67．【多选】（25-26高二上·全国·单元测试）已知曲线上的动点到点的距离比其到直线的距离小1，过点的直线交曲线于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4 C．以为直径的圆与直线相切 D．若，则直线的斜率为或 【答案】ACD 【分析】利用抛物线的焦点弦性质判断A，利用抛物线的定义转化法求解判断BC，设，，设直线方程为，利用韦达定理求解判断D. 【详解】列表解析如下： 选项 正误 原因 A √ 依题意，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，曲线的方程为．因为为过焦点的弦长，所以的最小值为通径长，又通径长为，故的最小值为4. B × 如图，不妨设点A在点的上方，过点A作准线的垂线，垂足为，交轴于点，根据抛物线的定义可得，所以的周长为．由图可知，当A，E与点等高时，有最小值，最小值为到准线的距离，其值为，所以，即周长的最小值是． C √ 由A知，直线是抛物线的准线．如B中图，点A在点上方时，取AB的中点为，过点作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为．则，是梯形的中位线，由抛物线的定义可得，，所以，所以以AB为直径的圆与直线相切．同理，点A在点下方时，也可证得以AB为直径的圆与直线相切． D √ 设，，因为，所以，易知直线AB的斜率不为0，设其方程为，与抛物线联立，消去得，易知，，，与联立可得，，则，解得，，所以直线AB的斜率． 故选：ACD. 68．【多选】（24-25高二下·广东深圳·期末）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 【答案】ACD 【分析】对于A，设出直线方程，联立结合韦达定理证明；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用利用三角形相似证得，，判断C，对于D，联立直线方程和抛物线方程，分别表示即可证明. 【详解】 对于A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立，消去，得， ，则， 因为，， 所以， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， 所以， 过垂直于的直线方程为 当时，代入，， 所以， 所以， 因为， 所以，故A正确； 对于B，由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 所以存在直线，使得，故C正确； 对于D，，，所以， 所以， 因为，，所以，因为，所以， ，所以， 同理， 令，则，因为，则，所以， 所以， 所以，其中， 所以， 其中 ， 同理， 所以，故D正确， 故选：ACD. 重难点22 抛物线的实际应用 抛物线的实际应用总结：抛物线在工程设计、物理运动轨迹分析、光学设计、建筑设计及桥梁工程等领域有广泛应用。例如，卫星天线、探照灯、拱桥及投篮路径等均可视为抛物线应用实例，体现了其重要的实用价值。 69．（24-25高二上·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令得，则即为货车高度的最大值. 【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系， 设抛物线方程为， 由图可知抛物线过点，代入抛物线方程， 得，解得，所以抛物线方程为. 因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米， 所以车行驶时，的取值范围为. 当时，， 要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米. 故选：C 70．（24-25高二上·江苏盐城·期末）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求抛物线方程，由此确定焦点坐标，再求绳子最合适的长度. 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为（） 由已知点在抛物线上， 所以， 所以， 所以抛物线方程为， 所以焦点坐标为， 所以绳子最合适的长度是， 故选：B. 71．（24-25高二上·重庆渝中·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（    ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据条件设出直线，联立直线和抛物线方程并消元，得到，有直线间的距离，结合条件近一步计算即可. 【详解】设；由题意：直线与之间的距离； 因为，设直线，与联立，整理得：； 由韦达定理：，， 则； 故时，. 故选：A. 重难点23 直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线与曲线方程,消元得一元二次方程,用判别式 判断： 相交, 相切, 相离。注意二次项系数是否为0(直线与抛物线、双曲线特殊位置)。 72．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 73．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（   ） ①关于轴对称；  ②；  ③；  ④“”的充要条件是“”． A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，可以得到曲线的图象，根据点关于轴对称点是判断曲线的对称性，得到①，利用双曲线的渐近线判断②，结合与圆相切和双曲线的渐近线，判断③，当时，直线恒过定点，根据直线和圆相切，直线和双曲线相切，数形结合判断④. 【详解】当时，，是以为圆心，以为半径的上半圆； 当时，，表示焦点在轴，对称中心在原点的双曲线的轴下方部分； 所以曲线的图象如图所示， 设点在曲线上，则，点关于轴对称点是， 因为，所以曲线关于轴对称，①正确； 当时，直线恒过定点，因为双曲线的渐近线是， 所以当或时，与直线有个交点，当时，与直线有个交点， 所以，②正确； 当时，直线，恒过定点， 当直线与相切时，由得（舍去）， 结合双曲线的渐近线是，当时，直线与曲线有个交点，如， 当或或时，直线与曲线有个交点，如 当时，直线与曲线没有交点，如， 所以，③错误； 当时，直线恒过定点， 由得， 联立得， 由得， 所以要使得直线与曲线有个交点，则或， 即，故④正确； 故选：D. 74．（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 重难点24 圆锥曲线的弦长及应用 联立方程后,用弦长公式(A为二次项系数)；焦点弦可结合定义简化 (如抛物线 ,注意斜率不存在时的特殊情况。 75．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 76．（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则（    ） A． B．或6 C． D．或 【答案】C 【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与轴交点后求参数即可. 【详解】 易得，故，设，， 直线与轴交点，面积为，面积为， 由题意得面积是面积的2倍，则， 化简得，结合， 故，解得，即，故，解得. 故选：C. 77．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】首先得，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦长公式列方程即可求解. 【详解】因为直线经过点，则，由得， 则，故，所以． 故选：D． 重难点25 圆锥曲线的中点弦问题 用点差法, 设弦端点坐标代入曲线方程,作差得斜率与中点的关系( 椭圆); 或联立方程,利用韦达 定理中点坐标公式,避免漏解斜率不存在的情况。 78．（24-25高二下·山西·开学考试）已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用点差法，结合直线的斜率求得，再根据焦距列式求解即可. 【详解】设，则且， 故，故，即， 故，又，所以，所以，所以，即， 因此椭圆的短轴长为. 故选：B 79．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系. 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 80．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 81．（2025·内蒙古包头·二模）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 82．（24-25高二下·山西·期中）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由抛物线焦点弦公式结合中点坐标公式即可求解. 【详解】设， 则，所以， 由抛物线的焦点弦公式可得. 故选：C. 83．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用设点法结合斜率可求中点纵坐标，从而得中点横坐标，故可根据焦半径公式求解. 【详解】解：设，，则，故， 所以，代入l得，则， 故选：D． 重难点26 圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题 分割图形为三角形,用坐标公式 ; 焦点三角形用正弦定理( 椭圆); 结合弦长与点到直线距离公式,简化计算。 84．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理可解 【详解】由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设：，：，，，， 联立得， 所以，即，，， 联立得， ，，， 所以，则， 故，． 又，所以，解得， 则，， 故， 点N到直线AB的距离， 故． 故选：A 85．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得. 【详解】由于，则由双曲线定义知，所以． 如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则， 结合， 所以， 解得， 又为锐角，故，则. 在中，由余弦定理可知，则， 所以． 故选：B 86．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且满足，设的面积为，以，为直径的圆的面积分别为，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】联立直线和椭圆方程结合韦达定理表示出斜率表达式，再由可求得，利用弦长公式求出的面积为，再根据点在椭圆上可求出，利用二次函数性质即可求得的最小值. 【详解】设直线的方程为，根据题意可知． 联立直线和椭圆方程，消去可得． 由，可得， 根据韦达定理得，， 由，化简可得， 即， 可得， 因为，所以， 所以， 即可知，由，可得． 设点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得， 则． 由，得 ． 所以， 又在时取得最大值，因此， 当且仅当时取等号，满足题意； 此时的最小值为． 故答案为： 重难点27 圆锥曲线中的定值问题 取特殊位置 (如顶点、中点) 猜想定值,再证明一般情况。用参数表示几何量,化简表达式消去参数,若结果与参数无关则为定值，常用韦达定理整体代换. 87．（25-26高二上·全国·期末）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)已知直线与交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②3 【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨迹的方程． （2）①设直线，，，代入椭圆方程，求解即可；②先得到，再令，得到，再求出直线与椭圆的一个交点，利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，求出四边形的面积表达式，结合基本不等式求出最值即可得的最值． 【详解】（1）设动圆的半径为，由题意可知：圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为． 因为动圆与圆内切，且与圆外切， 所以， 所以曲线是以为焦点的椭圆． 设其方程为，其中，， 所以，，，从而曲线的方程为． （2）①如图1，由于直线平分直线与圆的交线段， 所以直线与垂直，设直线，则． 设，，则，于是， 由于，，则，又，则，得证． ②由题可知，如图2，连接，则， 易知． 令，得， 则直线与椭圆的交线段长为， 同理可得直线与椭圆的一个交点坐标为，不妨记为点， 则到直线的距离， 所以， 由题意可知，则， 所以四边形面积的最大值，在时取到． 88．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R． (1)求双曲线C的标准方程； (2)试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）设出点坐标，联立可解出两点坐标，结合四边形的面积为建立方程求出基本量，最后求出双曲线方程即可. （2）联立方程组，利用韦达定理，求出关键点的坐标，再结合中点坐标公式进行化简证明即可. 【详解】（1）已知双曲线焦距为4，即，故. 又因为，所以 . 如图，设点在双曲线上，满足，双曲线的渐近线方程为. 而四边形的面积为，且​​由题意得四边形为平行四边形， 因为，， 解得，，则， 同理可得， 由平行四边形面积公式得=（为点到直线的距离）. 因为；渐近线为. 所以；代入得，可得， 所以解得，解得，. 所以双曲线的标准方程为. （2）易知斜率不存在时候不符合题意， 故设直线方程为，， 代入双曲线方程联立可得， 化简得. 且； 如图，设，，其中， 则由韦达定理得，. 直线过和，方程为. 直线过和，方程为. 直线与交于点，可得， 则，可得， 则， 可得， 则， 可得， 得到， 则，故， 因为，所以， 则， 得到，则， 故，故解得， 同理直线与交于点，其横坐标为. 而双曲线在点和处的切线方程分别为， 联立解得切线交点的坐标为，. 因此，点，，均在直线上； 设，，. 由中点坐标公式得中点坐标为 ， 故为和的中点，即，因此. 重难点28 圆锥曲线中的定点问题 设含参数的曲线方程, 整理为过定点的直线系形式如（）解方程组 得定点; 或取参数特殊值求交点,验证恒过该点。 89．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【答案】(1)是，2 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线，斜率分别为，然后根据题意利用韦达定理把表示出来作比值即可； （2）结合（1）设直线，利用已知条件求出设直线即可. 【详解】（1）设直线，斜率分别为，则为定值． 理由如下：如图， 易知，设，直线， 联立得， ．① ， 因为，所以， 所以点为线段OD的中点， 因为，所以， 故直线， 代入抛物线方程可得：， 则．② 联立①②得，同理可得， 所以， 所以，为定值． （2）由（1）知． ， 因为N，B，D三点共线，所以， 化简得， 所以，即， 所以． 设直线， 由得， ， 解得，所以直线方程为：， 当， 所以直线过定点． 90．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】（1）由抛物线的性质求得抛物线方程． （2）①设，设过点的切线，与抛物线方程联立，由判别式等于，得，设的斜率分别为，由韦达定理及中点坐标公式求出的中点为，由点斜式写出直线的方程即可求解； ②设，得到直线与的斜率，由斜率乘积为,得，再将①问中的韦达定理代入上式化简得，即可求解. 【详解】（1）设抛物线方程为，由抛物线定义知，， 抛物线的方程． （2）①设，由于切线斜率一定存在， 故设过点的切线， 代入中，得：， ，． 设的斜率分别为， 则 ，，， 得 ， 的中点为． 又，直线的方程：， 即：，过定点． ②设，则．同理：． ，． 把代入中得：， 所以由， ， ，解得． 存在定点，使得以为直径的圆恰过点． 91．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可； （2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得； 【详解】（1）设，则，作差得， 又线段的中点坐标为，则， 所以，可得， 所以，即；经检验成立 （2）假设存在定点，使得， 设，焦点，若时，， 所以，化简得， 又，则，整理得对恒成立， 所以，可得， 当，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 92．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线，，的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析，定点； (3). 【分析】（1）由离心率及椭圆上的点求椭圆参数，即可得方程； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线为，，，联立椭圆，应用韦达定理并结合的坐标表示列方程求，即可得结论； （3）由（2）及等比关系得，进而得到，且，，应用点线距离、弦长公式、三角形面积公式得，最后应用基本不等式求范围. 【详解】（1）由已知得，且，所以椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立方程组消去得，则，， 由，得， 由，得，即， 化简得， 从而， 化简得，即，所以或（直线过点，舍去）， 即直线的方程为，所以直线过定点． 当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得， 则， 所以，可得，则，得或（舍）， 所以直线的方程为，也过定点；    （3）由（2）知且，，， 因为直线，，的斜率依次成等比数列， 所以，即，即， 又，所以，， 因为直线的斜率存在且不为0，，所以且， 设为点到直线的距离，则 ， 所以的取值范围为. 重难点29 圆锥曲线中的定直线问题 设动点坐标, 根据条件推导直线方程,消去参数得定直线。或利用对称性猜想直线 (如对称轴、渐近线), 代入特殊点验证,结合韦达定理证明对任意参数成立。 93．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，椭圆的左右顶点分别为，过定点（不妨设）任意作直线交椭圆于，若直线与相交于，求证点在定直线上． 【答案】证明见解析 【分析】利用仿射变换，还原成圆，如图，作轴于，可得 点在直线上，从而可证得结论. 【详解】还原成圆，设弧为，弧为，作轴于． 因为四点共圆，所以． 又， 所以， 所以，所以， 所以， 所以点在直线上， 所以点在直线上． 94．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案. 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 95．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程； （2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值； （3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 重难点30 圆锥曲线中的探究性问题 先假设存在满足条件的点、直线等,转化为代数方程,若方程有解则存在,否则不存在。步骤：假设→推导→验证,注意分类讨论参数取值,结合曲线范围判断合理性。 96．（2025·上海）设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点. (1)用表示点到点的距离； (2)设，，线段的中点在直线上，求的面积； (3)设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据抛物线性质，即可求出点到点的距离； （2）根据题意得到点的坐标，即可得到线段的中点的坐标，从而得到直线方程，再联立抛物线和直线方程即可得到点的坐标，进而即可求出的面积； （3）设，分和两种情况讨论，通过在矩形中，，，当，求出点的坐标，并判断是否在上；当时，要使得点在上，设，并代入以上条件计算，看是否能求出的值，进而即可得出结论. 【详解】（1）由曲线的焦点线，准线为， 所以根据抛物线性质，点到点的距离. （2）当时，得，， 由，则，即， 所以线段的中点为， 又，所以直线方程为， 联立，整理得，解得，或（舍去）， 所以的面积. . （3）存在，已知，设，， ①若，则， 因为在矩形中，，， 所以，， 又不在曲线上，则此情况不成立； ②若，则PF的斜率， 因为在矩形中，，则，得， 所以直线QF为， 当时，Q点纵坐标，得， 所以，， 因为在矩形中，， 设，则， 所以，得到， 要使得点在上，则将代入， 得到，解得， 又，得，即. . 97．（24-25高二下·河南周口·期末）已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程. (2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. (3)是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据过点，且离心率，由，且求解. （2）易知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，由求解；           （3）分别由，求得点P，Q的坐标，结合（2）得到点，到直线的距离相等证明即可. 【详解】（1）因为过点，且离心率， 所以，且，           即解得，，           所以的方程为. （2） 如图，， 显然直线的斜率存在，设直线.           联立得，消去并整理，得，           所以，得. 设，，则，.（*）           因为，且时，，所以直线与相切， 由椭圆的对称性可知，，. ，       ，     将（*）代入，得为定值. （3）设存在实数，使得恒成立. 由，得，由得.           由（2）可知，           所以点，到直线的距离相等， 所以，即. 98．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和. (1)求“黄金抛物线”的方程； (2)点为“黄金抛物线”在第四象限上一点，且“黄金抛物线”在点处的切线恰好与“黄金抛物线”在第三象限相切于点，求直线的方程； (3)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)和. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据给定的点，结合“黄金抛物线”的定义求出参数即得. （2）设出点的坐标及切线方程，与抛物线方程联立，借助判别式及圆的切线性质求解. （3）设出直线的方程，与“黄金抛物线”方程联立求出点坐标，再利用斜率和为0求解即得. 【详解】（1）由“黄金抛物线”过点和，得， 解得，所以“黄金抛物线”的方程为和. （2）设坐标为，直线的斜率存在且不为0， 设直线为，与联立，得， 则，解得，直线为， 直线与相切，得，解得， 又在第四象限，则，所以直线方程为. （3）假设存在这样的直线，使得平分，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，不妨令， 由消去并整理，得，解得， 即，由，得，则直线的斜率为， 由消去并整理，得，解得， 即，由，得，则直线的斜率为， 由平分，而直线的斜率不存在，得，即，由， 解得，所以存在直线，使得平分. 99．（2025·浙江·二模）已知椭圆，过作椭圆在第四象限的切线，其中切点为.设是椭圆第一象限上的动点，过作椭圆的另一条切线，交轴于点. (1)求切线的方程； (2)过点垂直于轴的直线与直线交于点，求面积的最大值； (3)直线和切线相交于点，过点作的平行线交切线于点.问：是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）设，联立椭圆方程，利用判别式等于0，即可求得答案； （2）求出A点坐标，即可得，从而表示出面积的表达式，利用三角代换，即可求得答案； （3）假设存在实数，使得成立，只需证明时结论成立即可. 【详解】（1）由题意可知斜率不为0，且斜率为正， 设，联立椭圆， 可得：，令， （负值舍），则 （2）由（1）可知：即， 则，则直线的方程为， 则，则. 设，， 则 ， ，所以，当时取到最大值. （3）假设存在实数，使得成立， 下证：，即证：. 由题可知在的切线方程为：.令，， ，，所以. 联立和，解得交点的横坐标. ，因此，即， 故假设成立，即存在实数，使得成立. 100．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知，点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)在二次曲线中，我们常把存在相同对称轴和焦点的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“组合曲线”.已知曲线与抛物线构成“组合曲线”.设过点的直线交“组合曲线”于两点，记. （i）若直线的斜率为，求的值； （ii）试问是否存在最值？请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，理由见解析 【分析】（1）根据向量的数量积公式计算得出轨迹方程； （2）（i）求出两曲线的交点坐标，确定当直线的斜率为时，就是直线与椭圆的交点，联立直线和椭圆方程再结合弦长公式计算求解； （ii）设点，，根据的位置分类讨论，结合三角函数的值域计算求解. 【详解】（1）， 化简得， 所以的方程为； （2）（i）根据（1）可知的焦点为，则抛物线方程为， 联立 解得（舍去）或， 因此“组合曲线”为曲线与组合而成， 如图，实线部分记为“组合曲线”，其中， . 由于，因此当直线的斜率为时， 就是直线与椭圆的交点. 因此联立，解得， 故. （ii）设直线的倾斜角为，根据对称性， 不妨设在上方，在下方. 由（i）可知，当， 即时，直线正好过椭圆与抛物线的上下交点， 先讨论的位置，由题意知. 当时，在椭圆上，代入椭圆方程，得到， 解得或（舍去）， 当在抛物线上， 根据抛物线定义可知，因此. 同理再讨论的位置，由题意知， 当时，在抛物线上，由抛物线定义可知， 故； 当时，在椭圆上，代入椭圆方程， 得到，解得或（舍去）， 因此，当时，； 当时，； 当时，； 综上，当时，有最小值，当时，有最大值. 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$