第14期 空间直角坐标系 空间向量与向量运算-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

4版”数理教” 高◆梦学：选理性公修第一洗海大格·第13-16型 详细答案 详细答案 德中抛学：感年性轮棒第一【北舞大精上雾13华用 数理报1版 前，G同，鞋+y+海n+4线. 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）2024年10月 4+,,-44a 候解日硬直，问矿可的现为，机州/ 诗位少法内加年国，涛达心力31高3，，认专是 第13~16期参考答案 1国14转1年4 . 。1年。车■4 ▣ □44·子址个西 月4m事，到年1年年，址。1,13 T品e:】的后海A的的t早生 面齿性的内标线心速典址物湖房 一：单第容用有1444■号44妈平 甲 44年1减=e3因作。e,:/ 化天边h.,f有年样身制生 里0平有面#4464制 L年年年1.同想中特2非2州 …←1…-) 449,群43m,14693到 主速明称利，时学一++广用，， 与4一早科，鞋中4造子， {-十子.-寸 1地+e升，世有， 1量+-4，-， 与裤矿期十 情冷九？冷新年军，柱南中的：为日二 t--片）子 同为5.样.上e 锅小8二 4镇可，道。一新生，有 E -川同子子) 是1.43。-g5 作h种■金A1 出44多=4男 4短山直可又可的的 得量✉是。 制明里方可理主立列风有韩华时在1A成通 是飘的，M是 D在年，与单童序1F人1形 ka1A1,.0,L am,得.芋，41网n再1一 y0CPL4金特重年来1回， m什小得早) 0量DEA州-十量、1-2 群4■球开件P环材， 1倍引品清存) 8.(什g）:仕 方平制=他过3,1，日缺，，花e 4=P4件口件=传以新材 01件年市1e ,++(「-导 准-纳：(c于一 w丽.。4 hh3,nn时十方=1 p国a甲自年纯这作t路了，P n外4于1形，1中雪一发 阳期，1A群尚江，：双料利1n 片--小（告91 a量11丛+量+请a 4专同内编 =1,131+44-14-14-14+厘 in-nt is- +÷+图，只 合好古 2-3e中卡r3t3=■量 0词山一：一1出+年电 车e离的人汽造：中卡e多年宜 E法是信明0直中子本，钢g■ 车心有专A在：转上有利框 中通已年情：-←， 11一生：同花0有来速钟 一一中年子发城国 传动A1鞋，+地有有十 ,卡速温作国 得月代A两N。 传w得叫~全-)州-飞》 1-4道B有+M了 有 11华2，”言车d 14。+d+-1+1+(-212m从1446 、2m44 用为。一究青44 用++35.U电为a45 程3圆月■3A第5，F■ 2利指起A在转上销：4▣=： -, 4。=4种得=41 0年个高下年 值年期34+子4于组（子- 得0.u4-14 代人引严▣女+专=1 0要国4山玉海生包4以 1LA3核+。年1一1e位。。.制e成 得1罐售南，门专显A女制海球，F中 -Nl.. 上生实画对月.44气4-1+年+14打年1为 年=4星.f每1化00打作得■年Ak行/4 士，司，H4-244 4 anA有的十+d 时袖1间上子+444 ++4·4+ :i 已)■C上有两点单N关广青且 时4与后可回色 期球年得，。■ 这7、-一+子 得期了的样色角4轻每区的 生稀年1年健得甲内得考4知与 wapd.i-rsten 4作94师意7时铜 型情A网领，川段吉 4非汇确： 生十4中+4+年年1有甲同青为正# 1年1-1利441， 平小园仔平 1的点为周法量商为+：4一5.1时 格与法，界E神线利与▣年■是 边影我有物商业面球戏象，，市 .8写湖 C其有，里4，-非行#-14.1-4 与%✉宁+料-与+1+如，宁 2版数格 高●物学：选理性公修第一洗海大格·第13-16题 详细答案 详细答案 真中整学：感年性是棒第一【北件大精上雾13华用 数理极3版 e13的了年由1年在事下年1卡4 为，2日 《u41,14161g。学，王 国州厚 a日制联，配 月行天，广内件松长多 1.,101制4t情3.-5414 同。有，可家 取4材】01、11年1方1，内上度1上5所..，度31日 :钢接关为1方样奶里一无AA4 n-士M.0-函- 4H44+。1.1.1 热想国-4计一计，3，料=离 行#1到年行级A期 司中中十… 以4AU线，航nA4得4线 3g…= ✉} 5红回 前-官：国官+止2属-国 食调物量还市金速卫重长点年金重国 -十，-十 这，城。过.运、d 网●华0果表年 一，雅理这维量 经}圣 二，本作想 合子矿士的 是，位出 “题帝，d灵子，十元 ■年 1子) 两米 +4 线4指名4为批地身一4A毛民队线1：3 足.子▣子士：南：同，念 2,配，，7.减 (子)士)合 士11士士41a1 确，同：，：同，对，1 +42登41-4这41-4非西0上4 1(子日 T线1生西口可行 1… 清（合合买试✉ 有电小想二 料线。￥移装43 4川度1i▣不·，记-名. 月 上己，}窝问，，}显，子·时对呢，4帽 服月，1。卡■1量4e1,及短+知卡-e年e法e得 片，动]可，减时成. -0-1济 4读，配，这。这宿 十配，可，十同记叶7十日 :-+书+ 料et■g+/4光南 m=16=1。+1+4+414-4年1-。， :了上7或围任A 这+，，司 ,了4-277年t,-4得M4C开 出里时记己，d1子。。 属民功4，专白，底子，心：士量：吉子是十风 t.国ea3a1i2年B,eE3 -0小 上】得w, 阳园0（告量，十是十利吉 南m记清。 十 云：宁成子常十耐对，子风可 院时减a山专y◆÷宁片小×十 1信+，司，影t过t4时t, ar吾 十·号3文5n .点当，随10f 州量年研：有一干 了，7-完，士后.南-冠。十元 确得复马1.口14年年1 市成裙付河对，手灵风 ▣ 前可+动前中…计 为过，灵星，d,量：十买 球过建中山子+是 #(1.14非调a非：+1。” 空两直物生年果：宝两利害与内重限用两市转心年洲时 +=如她"= L4非行44 +到m+由到+点-： 6一+)4-… 制F子=1风1a年 4间，话，言，d,-,克 :]m…子：2 【国带年用-t小+与=EL-4 -十1后屋✉月-足，子成 （中4十)山，量 碳-+-摩小 认7可·，子：家两 可 京s院，7-（日子片，+网） 【-1d宁第12-10t 4雕话0，d,A过上：C士话，✉t 3…-…） 【子R)附现 --44- 这，动市 。41d1▣对，d✉，t 43， +。下g 1--1-} 43引自清▣14AA,f。148:3 =号w…好…-l 卫白尽▣，40,4w有，414，到4园+4 t。ge ?1号=子时 4以h不1T3 年期 :别：+于，年444一号制4有 (传子)★-子] 时。，， 生 冬回子小请（是子-国。 ,t家件餐量 (0,士44 4宜和644。，年▣两 批4：上：子。4 4,-) 中裤4有m11卡 Ld▣1己2,1国-3观1对年拉鞋月雕n 器（小号利+别 d,请-3,4. 4(3子1：6 或▣t✉实A,武， 专明中眼一 4":24:14 理4，证▣434+ 国.国灵冠，国-7+士国到 4-小什4) }请动-- -}风-+1书 １７．（１５分）如图９所示，已知空间四边形ＡＢＣＤ的 每条边和对角线长都等于１，点 Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是 ＡＢ，ＡＤ， ＣＤ的中点，计算： （１）→ＥＦ·→ＢＡ； （２）→ＥＧ·→ＢＤ． １８．（１７分）直三棱柱ＡＢＣ－Ａ′Ｂ′Ｃ′中，ＡＣ＝ＢＣ＝ＡＡ′， ∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ，ＢＢ′的中点． （１）求证：ＣＥ⊥Ａ′Ｄ； （２）求异面直线ＣＥ与ＡＣ′所成角的余弦值． １９．（１７分）（２０２４上海浦东新阶段练习）在空间直 角坐标系中，定义点Ａ（ｘ１，ｙ１，ｚ１）和点Ｂ（ｘ２，ｙ２，ｚ２）两点 之间的“直角距离ｄ（Ａ，Ｂ） ＝｜ｘ１－ｘ２｜＋｜ｙ１－ｙ２｜＋｜ｚ１－ ｚ２｜．若Ａ和Ｂ两点之间的距离是槡３，求Ａ和Ｂ两点之间 的“直角距离”的取值范围                                                                                                                                                 ． ! " # $ % & ' ! ! 书 一、共线向量与共面向量 １．共线向量 （１）共线向量的定义 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平 行或重合，则这些向量叫做共线向量（ｃｏｌｉｎｅｒｖｅｃｔｏｒｓ） 或平行向量（ｐａｒａｌｅｌｖｅｃｔｏｒｓ）． 特别提醒： 理解共线向量的定义时，要注意以下两点． （１）零向量和空间任一向量是共线向量． （２）共线向量不具有传递性，如ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，但ａ ∥ｃ不一定成立，因为当ｂ＝０时，虽然ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ， 但ａ不一定与ｃ共线． （２）向量共线的充要条件（又称共线向量定理） 类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个 向量ａ，ｂ（ｂ≠０），ａ∥ｂ的充要条件是存在实数λ，使ａ ＝λｂ． 特别提醒： 对向量共线的充要条件的理解，应从以下几个方 面正确把握． （１）在此充要条件中，要特别注意ｂ≠０，若不加 ｂ≠０，则该充要性不一定成立．例如：若ａ≠０，ｂ＝０， 则ａ∥ｂ，但λ不存在，该充要性也就不成立了． （２）该充要条件包含两个命题： ①ａ∥ｂ存在唯一的实数λ，使ａ＝λｂ； ②存在唯一的实数λ，使ａ＝λｂａ∥ｂ． （３）向量共线的充要条件可以作为判定线线平 行的依据，但必须注意在向量ａ（或 ｂ）上需存在一点 不在向量ｂ（或ａ）上． ２．共面向量 （１）共面向量的定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量（ｃｏｐｌａｎａｒ ｖｅｃｔｏｒｓ）． 空间任意两个向量必共面，但空间任意三个向量不 一定共面． （２）三个向量共面的充要条件（又称共面向量定理） 如果两个向量ａ，ｂ不共线，那么向量 ｐ与向量 ａ，ｂ 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（ｘ，ｙ），使 ｐ ＝ｘａ＋ｙｂ． 特别提醒： （１）向量ｐ与ａ，ｂ共面的充要条件是在向量ａ与 ｂ不共线的前提下才成立的，若ａ与ｂ共线，则不成立． （２）设非零向量ａ，ｂ，ｃ所在的直线分别为ａ，ｂ，ｃ， 则有ａ∥平面αａ∥平面α或ａ平面α；ａ，ｂ，ｃ三 线共面ａ，ｂ，ｃ共面，反之不成立． 二、共线向量定理、共面向量定理的推论 １．共线向量定理的推论———三点共线问题 如图１所示，ｌ为经过已知点 Ａ且平行于已知非零向量 ａ的直 线，对空间任意一点 Ｏ，点 Ｐ在直 线ｌ上的充要条件是存在实数 ｔ， 使 →ＯＰ＝→ＯＡ＋ｔａ　①，其中向量ａ 叫做直线 ｌ的方向向量（ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｖｅｃｔｏｒ）． 若在ｌ上取→ＡＢ＝ａ， 则①式可化为→ＯＰ＝→ＯＡ＋ｔ→ＡＢ　②． ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此 可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一 确定．可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共 线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的． 事实上， →ＯＰ＝→ＯＡ＋ｔ→ＡＢ＝（１－ｔ）→ＯＡ＋ｔ→ＯＢ， 显然（１－ｔ）＋ｔ＝１． 故 →ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ（ｘ＋ｙ＝１）是Ｐ，Ａ，Ｂ三点共线 的充要条件． 说明：特别地，若 Ｐ，Ａ，Ｂ三点共线，即→ＯＰ＝→ＯＡ＋ ｔ→ＡＢ，其中ｔ＝１２，则有 →ＯＰ＝１２（ →ＯＡ＋→ＯＢ），说明Ｐ是ＡＢ 的中点． ２．共面向量定理的推论———四点共面问题 如图２，空间一点 Ｐ位于 平面ＡＢＣ内的充要条件是存 在有序实数对（ｘ，ｙ），使→ＡＰ＝ ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ；或对空间任意一 点Ｏ，有 →ＯＰ＝→ＯＡ＋ｘ→ＡＢ＋ ｙ→ＡＣ　③． ③式称为空间平面ＡＢＣ的向量表示式．由此可知，空 间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 事实上， →ＯＰ＝→ＯＡ＋ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ＝（１－ｘ－ｙ）→ＯＡ＋ ｘ→ＯＢ＋ｙ→ＯＣ， 显然，（１－ｘ－ｙ）＋ｘ＋ｙ＝１． 故存在实数ｘ，ｙ，ｚ，使得→ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ（ｘ ＋ｙ＋ｚ＝１）是Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ四点共面的充要条件． ( ) & $ * ! ! " !"#$%&'() 书 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（多选）（２０２４河北阶段练习）在空间直角坐标系 中，点Ｐ的坐标为（－４，１，２），则下列说法正确的是 （　　） （Ａ）点Ｐ关于原点对称的点是（４，－１，－２） （Ｂ）点Ｐ关于ｘ轴对称的点是（４，１，２） （Ｃ）点Ｐ关于平面ｚＯｘ对称的点是（－４，－１，２） （Ｄ）点Ｐ关于点（１，１，１）对称的点是（６，１，０） ２．（２０２４山西太原五中课堂练习）设ｘ，ｙ为任意实 数，则相应的所有点Ｐ（ｘ，ｙ，３）的集合是 （　　） （Ａ）ｚ轴上的两个点 （Ｂ）过ｚ轴上的点（０，０，３）且与ｚ轴垂直的直线 （Ｃ）过ｚ轴上的点（０，０，３）且与ｚ轴垂直的平面 （Ｄ）以上都有可能 ３．（２０２４浙江绍兴专题练习）已知空间直角坐标系 中，Ｏ为坐标原点，Ｐ的坐标为（１，２，３），则 （　　） （Ａ）Ｐ到原点Ｏ的距离是槡６ （Ｂ）Ｐ到平面ｘＯｙ的距离是１ （Ｃ）Ｐ到平面ｘＯｙ的距离是２ （Ｄ）Ｐ到平面ｘＯｙ的距离是３ ４．（２０２４江西课时练）已知空间向量 ａ＝（１，２， －３），则向量 ａ在坐标平面 ｙＯｚ上的投影向量是 ． ５．（２０２４四川巴中期末）若点 Ａ（２，４，６）在空间直 角坐标平面ｙＯｚ内的投影为点Ｂ，则Ａ，Ｂ两点的中点坐 标为 ． ６．（２０２４安徽阜阳课后作业）一个棱长为１的正方 体，对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面，写 出这个正方体８个顶点的坐标． 二、空间向量的加减法、数乘运算 １．（多选）若 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为空间不同的四点，则下列 各式为零向量的是 （　　） （Ａ）→ＡＢ＋２→ＢＣ＋２→ →ＣＤ＋ＤＣ （Ｂ）２→ＡＢ＋２→ＢＣ＋３→ＣＤ＋３→ →ＤＡ＋ＡＣ （Ｃ）→ → →ＡＢ＋ＣＡ＋ＢＤ （Ｄ）→ → → →ＡＢ－ＣＢ＋ＣＤ－ＡＤ ２．下列关于空间向量的命题中，正确的个数是 （　　） ①在同一条直线上的单位向量都相等； ②只有零向量的模等于０； ③在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＤ → １与ＢＣ → １是相 等向量； ④在空间四边形ＡＢＣＤ中，→ＡＢ与→ＣＤ是相反向量； ⑤在三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，与ＡＡ → １的模一定相等 的向量一共有３个； （Ａ）２ （Ｂ）３ （Ｃ）４ （Ｄ）５ ３．（２０２４山东济南课时练）三棱锥Ｏ－ＡＢＣ中，点Ｄ 在棱ＢＣ上，且ＢＤ＝２ＤＣ，则→ＡＤ为 （　　） （Ａ）→ →ＡＤ＝ＯＡ＋２３ →ＯＢ－１３ →ＯＣ （Ｂ）→ →ＡＤ＝－ＯＡ＋２３ →ＯＢ＋１３ →ＯＣ （Ｃ）→ →ＡＤ＝ＯＡ－１３ →ＯＢ－２３ →ＯＣ （Ｄ）→ →ＡＤ＝－ＯＡ＋１３ →ＯＢ＋２３ →ＯＣ ４．在直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若 →ＣＡ＝ａ，→ＣＢ＝ｂ， ＣＣ→ １ ＝ｃ，则Ａ１→ Ｂ＝ ．（用ａ，ｂ，ｃ表示） ５．（２０２４广东东莞课时练习）已知在四面体 Ｏ－ ＡＢＣ中，点Ｍ在线段ＯＡ上，且ＯＭ＝２ＭＡ，点Ｎ为ＢＣ中 点，设 →ＯＡ＝ａ，→ＯＢ＝ｂ，→ＯＣ＝ｃ，则 →ＭＮ＝ ． ６．如图，已知空间四边形ＡＢＣＤ，连接ＡＣ，ＢＤ，Ｅ，Ｆ， Ｇ分别是 ＢＣ，ＣＤ，ＤＢ的中点．请化简以下式子，并在图 中标出化简结果的向量． （１）→ → →ＡＢ＋ＢＣ－ＤＣ； （２）→ → →ＡＢ－ＤＧ－ＣＥ． 三、空间向量的数量积 １．（多选）已知长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，则下列向 量的数量积可以为０的是 （　　） （Ａ）ＡＤ→ １·Ｂ１→ Ｃ （Ｂ）ＢＤ→ １·→ＡＣ （Ｃ）→ＡＢ·ＡＤ→ １ （Ｄ）ＢＤ→ １·→ＢＣ ２．（２０２４江苏高二课时练）在正四面体 ＡＢＣＤ中， →ＢＣ与→ＣＤ的夹角等于 （　　） （Ａ）３０° （Ｂ）６０° （Ｃ）１５０° （Ｄ）１２０° ３．（２０２４湖南课时练）已知ａ，ｂ均为空间单位向量， 它们的夹角为６０°，那么｜ａ＋３ｂ｜＝ （　　） （Ａ）槡７ （Ｂ）槡１０ （Ｃ）槡１３ （Ｄ）４ ４．已知空间向量ａ，ｂ，｜ａ｜＝２，｜ｂ｜＝槡２，ａ·ｂ＝ －２，则〈ａ，ｂ〉＝ ． ５．已知空间向量ａ与ｂ满足｜ａ｜＝１，且ａ·ｂ＝２， 若ａ与ｂ的夹角为π３，则｜ｂ｜＝ ． ６．（２０２４河南开封统考期末）如下图，在空间四边 形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＤ＝５，∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝ １２０°，ＡＤ⊥ＢＣ． （１）求→ＢＡ·→ＢＣ； （２）求ＣＤ的长． ! ! $ + % " , & ! *+,-./012 ! 3456789:; 书 一、透彻理解空间向量的概念 　　　　　　　　　　　　　　　例１下列命题中，正确命题的个数是 （　　） ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点 也相同； ②若空间向量ａ，ｂ满足｜ａ｜＝｜ｂ｜，则ａ＝±ｂ； ③在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，必有 →ＡＣ＝Ａ１Ｃ→ １； ④若空间向量ｍ，ｎ，ｐ满足ｍ＝ｎ，ｎ＝ｐ，则ｍ＝ｐ； ⑤若空间向量ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则ａ∥ｃ． （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４ 剖析：（１）准确理解向量模的定义，不能简单地与 实数的绝对值类比；（２）考虑零向量与任意向量共线这 种特殊情况． 解：两个向量相等，只需方向相同，模相等，而不一定起 点相同，终点相同，①不正确； 空间向量ａ，ｂ的模相等，只需向量ａ，ｂ的长度相等，方 向不确定，不一定是相等向量或相反向量，②不正确； 在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，向量 →ＡＣ与Ａ１Ｃ→ １的方向 相同，模相等，所以 →ＡＣ＝Ａ１Ｃ→ １，③正确； 根据向量相等的定义知，④正确； 当向量ｂ为零向量时，不能保证ａ∥ｃ，⑤不正确． 故选（Ｂ）． 二、认清向量夹角的含义 例２如右图，已知空间四边 形 ＡＢＣＤ的四条边和对角线长都 为ａ，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是ＡＢ，ＡＤ，ＤＣ 的中点，则下列四个向量的数量 积中结果为 ａ２的有 ． （填序号即可） ①２→ＢＡ·→ＡＣ；②２→ＡＤ·→ＢＤ； ③２→ＧＦ·→ＡＣ；④２→ＥＦ·→ＣＢ． 剖析：求解本题时要认清两个向量的夹角，还要考虑向 量的方向，误把三角形内角或平行线所成的角当作向量的 夹角． 解：①２→ＢＡ·→ＡＣ＝２｜→ＢＡ｜｜→ＡＣ｜ｃｏｓ１２０° ＝２ａ·ａｃｏｓ１２０°＝－ａ２； ②２→ＡＤ·→ＢＤ＝２｜→ＡＤ｜｜→ＢＤ｜ｃｏｓ６０° ＝２ａ·ａｃｏｓ６０°＝ａ２； ③２→ＧＦ·→ＡＣ＝２｜→ＧＦ｜｜→ＡＣ｜ｃｏｓ１８０° ＝２·ａ２·ａｃｏｓ１８０°＝－ａ ２； ④２→ＥＦ·→ＣＢ＝２｜→ＥＦ｜｜→ＣＢ｜ｃｏｓ１２０° ＝２· ａ２·ａｃｏｓ１２０°＝－ ａ２ ２． 故填②． 三、会利用向量性质解题 例３已知ａ，ｂ都是非零向量，且向量ａ＋３ｂ与７ａ－５ｂ 垂直，向量ａ－４ｂ与７ａ－２ｂ垂直，求向量ａ与ｂ的夹角． 解：由题意知， （ａ＋３ｂ）·（７ａ－５ｂ）＝０， （ａ－４ｂ）·（７ａ－２ｂ）＝０{ ， 即 ７ａ２＋１６ａ·ｂ－１５ｂ２ ＝０， ７ａ２－３０ａ·ｂ＋８ｂ２ ＝０{ ． 两式相减，得４６ａ·ｂ－２３ｂ２ ＝０，即２ａ·ｂ＝ｂ２． 代入７ａ２＋１６ａ·ｂ－１５ｂ２ ＝０，得ａ２ ＝２ａ·ｂ． 所以ａ２ ＝ｂ２ ＝２ａ·ｂ． 所以ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ａ·ｂ｜ａ｜｜ｂ｜＝ １ ２｜ａ｜ ２ ｜ａ｜２ ＝ １２． 又０≤〈ａ，ｂ〉≤π， 所以〈ａ，ｂ〉＝π３，即向量ａ与ｂ的夹角为 π ３． 四、充分理解向量与平面平行 例４已知ＡＢ，ＣＤ是异面直线，ＣＤα，ＡＢ∥α，Ｍ， Ｎ分别是ＡＣ，ＢＤ的中点，求证：ＭＮ∥α． 解：因为ＣＤα，ＡＢ∥α，且ＡＢ，ＣＤ是异面直线， 所以在平面α内存在向量 ａ，ｂ，使得→ＡＢ＝ａ，→ＣＤ＝ ｂ，且两个向量不共线． 因为Ｍ，Ｎ分别是ＡＣ，ＢＤ的中点， 所以 →ＭＮ＝１２（ →ＭＡ＋→ＡＢ＋→ＢＮ＋→ＭＣ＋→ＣＤ＋→ＤＮ）＝ １ ２（ →ＡＢ＋→ＣＤ）＝ １２（ａ＋ｂ）． 所以 →ＭＮ，ａ，ｂ共面． 所以ＭＮ∥α或ＭＮα． 若ＭＮα，则ＡＢ，ＣＤ必在平面α内． 这与已知ＡＢ，ＣＤ是异面直线矛盾． 故ＭＮ∥α． 点评：正确理解向量与平面平行的含义， →ＭＮ ＝ １ ２（ａ＋ｂ）说明向量表示的有向线段所在的直线与平面 可能平行，也可能在平面内． ! " !" #"$ %! ""#$" %#%&&"#'"&( !'< !=">:?) !"#$ %&' ()*+,-./ " - + $ % & , ! @A BCD !"#$% &' "#$%&'() *+,-./01223 4.56789:;<= >?@ /ABCD+EF GH/IJK@/JKL &$MNO9/PQRS TUVWXYZ[("\ 89E]^_`abIc 7@ dVWefghij kl@ gmn9/opq r349 sLtuv89 wwxy@ n89/o5 zf{|9s}~f% €I‚ƒn@„…†‡ ˆ‰Š‹h89Œ/Ž ‘9s}’“w”• %@ %–ELg—"˜@ %–I™š9›œ8w žŸ 9 ¡¢£¤A¥ -90%¥¦Ž06§ ¨©ª9«¬abI­v ®¯9°±ab9²ab ³´9 Eoµ¶"%³ ·@ ¸¹qº»N¼9o ¥ab_&½c796¾ ¿ÀÁ¶"N8@%g& –9ÂÃÄTÅÄÃƤo ÇÈÉÊË_`Ic7 IÌÍ@ 5LÎÎÏÐ9 ÊË_`Ic7IÌÍ9 ÑÇÈÉ6ÊgÒÓÔ INÕ@ÊË_`Ic7 IÌÍÖ×96ÊgÒÓ ÔINÕEÇÖw9sÊ Ë_`Ic7ÖØ9ÓÔ INÕÙÇÖÚ@ "E5FGF> ' "HM*N> "OPQRSK#)("*(%+"%($ "E5TUKVAWXYZ[\]^_` ")%a345bB:3cOPQ "deOfK#)###$ "ZgQh5ijK#)("#(%+""%( #)("#(%+"%)+klmn "hoKpqE5ZgQU2rstuvdwxyn "dehoijK""",( "z{|}h+~h€h "E5stuWxZn‚ƒ8„…5 "†‡ˆ‰Šz‹aK"&####&###""# "†‡QRSK#)("#(%+"%(( "E5ŒŽl‘’“”•–—x˜™Zš›]œžŸ ¡¢£ "" a)¤’=¥”’¦§¨©7=pqE5ZgQU2ª« x¬­® ) >) ) *+ ¯°± , ) *+ ²³´ , % - .+ µ¶± , ) *+ · ¸ , ) *+ ¹ º -./01+ µ » 23/01+ µ¼D -4506+ ½ ¾ -4578+ ¿ÀÁ ³ÂÃ Ä Å Æ[Ç È É ÊËÌ ²ÍÎ Èϼ Ð À ÑÒÇ ÓÔ° ÄÕÖ MÕ× ²°Ø Ùº: ÚÛÅ Ü Ì ÝÞß ³àá 91-.+ ³Âà 91:;+ ÝÞß <=-.+ ²âã >?-.+ äåæ @ABC+ çèé VAêëìcíî VAêìƒï¡¢l‘ðñ VAêìò󈉔•–—íô 345bOPN> bõK¯°± tö÷*øùN>úaK-."&*#+#+/x0n dûüaK%"*"$, !"#$%&'()*+,'-. ( ! !"#$% B:3cýþÿ!"#®*$x%êì>n® !" ( % & $ ! ! ! V &'á ( & ! ) $ % " # ! % 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在空间四边形ＯＡＢＣ中，化简→ → →ＯＡ＋ＡＢ－ＣＢ＝ （　　） （Ａ）→ＯＣ （Ｂ）→ＯＡ （Ｃ）→ＡＣ （Ｄ）→ＯＢ ２．已知点Ａ（－２，３，０），Ｂ（１，３，２），→ＡＤ＝３→ＡＢ，则点 Ｄ的坐标为 （　　） （Ａ）（－１１，３，－６） （Ｂ）（９，０，６） （Ｃ）（７，３，６） （Ｄ）（－１，１５，６） ３．（２０２４山东省英才高中高二 月考）如图 １，在三棱柱 ＡＢＣ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｍ为Ａ１Ｃ１的中点，若 →ＡＢ ＝ａ，→ＡＡ１ ＝ｃ，→ＢＣ＝ｂ，则下列向量 与 →ＢＭ相等的是 （　　） （Ａ）－１２ａ＋ １ ２ｂ＋ｃ （Ｂ） １ ２ａ＋ １ ２ｂ＋ｃ （Ｃ）－１２ａ－ １ ２ｂ＋ｃ （Ｄ） １ ２ａ－ １ ２ｂ＋ｃ ４．已知点Ａ（１，２，２），Ｂ（１，－３，１），点Ｃ在ｙＯｚ平面 上，且点Ｃ到点Ａ，Ｂ的距离相等，则点Ｃ的坐标可以为 （　　） （Ａ）（０，１，－１） （Ｂ）（０，－１，－６） （Ｃ）（０，１，－６） （Ｄ）（０，１，６） ５．已知单位向量ａ，ｂ，ｃ两两垂直，则（２ａ－２ｂ＋４ｃ） ·（－ａ－３ｂ＋２ｃ）＝ （　　） （Ａ）１４ （Ｂ）１２ （Ｃ）８ （Ｄ）６ ６．（２０２４江苏连云港阶段 练习）如图２，有一长方形的纸 片ＡＢＣＤ，ＡＢ的长度为４ｃｍ，ＢＣ 的长度为３ｃｍ，现沿它的一条 对角线ＡＣ把它折成直二面角， 则折叠后 →ＡＣ·→ＢＤ＝ （　　） （Ａ）－４ （Ｂ）－１６ （Ｃ）－７ （Ｄ）－９ ７．定义ａｂ＝｜ａ｜２－ａ·ｂ．若向量ａ＝（１，－２， ２），向量ｂ为单位向量，则ａｂ的取值范围是 （　　） （Ａ）［０，６］ （Ｂ）［６，１２］ （Ｃ）［０，６） （Ｄ）（－１，５） ８．如图３，正方形ＡＢＢ１Ａ１的边长为１２，其内有两点 Ｐ，Ｑ，点Ｐ到边ＡＡ１，Ａ１Ｂ１的距离分别为３，２，点 Ｑ到边 ＢＢ１，ＡＢ的距离也是３和２．现将正方形卷成一个圆柱， 使得ＡＢ和Ａ１Ｂ１重合（如图４）．则此时Ｐ，Ｑ两点间的距 离为 （　　） （Ａ）６ １＋π槡 ２ π （Ｂ）６ ２＋π槡 ２ π （Ｃ）６ ３＋π槡 ２ π （Ｄ）６ ４＋π槡 ２ π 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．（２０２４河南新乡期中）在棱长为４的正方体ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，以空间中某个点作为坐标原点建立空间 直角坐标系，则Ｂ，Ｄ１的坐标可能为 （　　） （Ａ）Ｂ（０，０，４），Ｄ１（４，４，２） （Ｂ）Ｂ（０，４，０），Ｄ１（－４，０，４） （Ｃ）Ｂ（２，２，０），Ｄ１（－２，－２，２） （Ｄ）Ｂ（２，２，－２），Ｄ１（－２，－２，２） １０．（２０２４浙江期末）下列四个结论正确的是 （　　） （Ａ）若空间中的 Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ满足 →ＯＣ＝ １３ →ＯＡ＋ ２ ３ →ＯＢ，则Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线 （Ｂ）空间中三个向量ａ，ｂ，ｃ，若ａ∥ｂ，则ａ，ｂ，ｃ共面 （Ｃ）空间中任意向量 ａ，ｂ，ｃ，都满足（ａ·ｂ）·ｃ＝ ａ·（ｂ·ｃ） （Ｄ）若ａ·ｂ＜０，则〈ａ，ｂ〉为钝角 １１．（２０２４江苏期中） 如图５，在平行六面体ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｐ是 ＣＡ１的 中点，点Ｑ在ＣＡ１上，且ＣＱ∶ ＱＡ１ ＝４∶１，设 →ＡＢ＝ａ，→ＡＤ ＝ｂ，ＡＡ→ １ ＝ｃ，则下列选项 正确的是 （　　） （Ａ）→ＡＰ＝ １２（ａ＋ｂ＋ｃ） （Ｂ）→ＡＰ＝ １２（ａ＋２ｂ＋ｃ） （Ｃ）→ＡＱ＝ １２ａ＋ｂ＋ｃ （Ｄ）→ＡＱ＝ １５ａ＋ １ ５ｂ＋ ４ ５ｃ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４浙江模拟）我国近代数学家苏步青主要 从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，在仿射微 分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成 果．他的主要成就之一是发现了四次代数锥面：对于空 间中的点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ），若其坐标满足关于ｘ，ｙ，ｚ的四次代 数方程式，称点Ｐ的轨迹为四次代数曲面．若点 Ｋ（１，ｋ， ０）是四次曲面 Γ：ｘ４＋ｙ３＋ｚ２ ＝９上的一点，则 ｋ＝ ． １３．已知Ａ，Ｂ，Ｃ∈平面α，点Ｐα，则“→ＡＰ·→ＡＢ＝ ０，且→ＡＰ·→ＡＣ＝０”是“→ＡＰ·→ＢＣ＝０”的 条件． （填“充分不必要”或“必要不充分”） １４．（２０２４上海市育才中学校 考期末）在空间直角坐标系中，点 Ｐ坐标可记为（ｘ，ｙ，ｚ）：定义柱面 坐标系，在柱面坐标系中，点 Ｐ坐 标可记为（ｒ，θ，ｚ）．如图６所示，空 间直角坐标（ｘ，ｙ，ｚ）与柱面坐标 （ｒ，θ，ｚ）之间的变换公式为：ｘ＝ ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，ｚ＝ｚ．则在柱面坐标系中，点 (Ａ １，π２， )２ 与点Ｂ（２，θ，－１）两点距离的最小值为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）如图７所示，Ｍ，Ｎ分别是空间四边形 ＡＢＣＤ的边ＡＢ，ＣＤ的中点．试用向量→ＡＤ与向量→ＢＣ表示 向量 →ＭＮ． １６．（１５分）（２０２４山西运城专题训练）如图８，已知 正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为１，Ｅ为棱Ｂ１Ｃ１上的 动点．求向量→ＡＥ在向量→ＡＣ方向上投影数量的取值范围                                                                                                                                                             ． ! " # $ % & ! ! # $ & ! ' # " $ " ! " & " ! # # $ & ! ! $ 书 一、单项选择题 １～４　ＢＤＤＡ　５～８　ＣＣＡＤ 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＢＣ． 三、填空题 １２．有唯一公共点且相切；　１３．槡３５２ ；　１４． ５ ４． 四、解答题 １５．解：（１）由题可得动点Ｇ的轨迹是以Ｆ（２，０）为焦点的 抛物线，其方程为ｙ２ ＝８ｘ． （２）设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋２， 联立 ｘ＝ｍｙ＋２， ｙ２ ＝８ｘ{ ， 得ｙ２－８ｍｙ－１６＝０， Δ＝６４ｍ２＋６４＞０，ｙ１ｙ２ ＝－１６． １６．解：（１）由题意得 ２ｃ＝４， ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２， ３ ａ２ ＋１ ｂ２ ＝１{ ，得 ａ ２ ＝６， ｂ２ ＝２， ｃ＝２ { ， 所以椭圆Ｍ的标准方程为ｙ ２ ６ ＋ ｘ２ ２ ＝１． （２）设与ｌ平行的ｌ１：ｙ＝ｘ＋ｂ， 由 ｙ２ ６ ＋ ｘ２ ２ ＝１， ｙ＝ｘ＋ｂ { ， 得４ｘ２＋２ｂｘ＋ｂ２－６＝０， 由Δ＝４ｂ２－４×４（ｂ２－６）＝０，得ｂ＝± 槡２２， 则ｌ１的斜截式方程为ｙ＝ｘ± 槡２２． １７．解：（１）由已知２ａ＝２，ａ＝１， 又ｃ＝槡５，则ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２ ＝２， 所以双曲线Ｃ的方程为ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１． （２）由 ｙ＝ｘ＋２， ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１ { ，得３ｘ２－４ｘ－８＝０， 则Δ＝（－４）２－４×３×（－８）＝１１２＞０， 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２ ＝ ４ ３，ｘ１ｘ２ ＝－ ８ ３， 所以｜ＡＢ｜＝ １＋１槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜＝槡２×槡 １１２ ３ ＝ 槡４ １４ ３ ． １８．解：（１）设Ａ（ｘＡ，ｙＡ）． 由题意，Ｆ２（ｃ，０），ｃ＝ １＋ｂ槡 ２， ｙ２Ａ ＝ｂ２（ｃ２－１）＝ｂ４， 因为△Ｆ１ＡＢ是等边三角形，所以２ｃ＝槡３｜ｙＡ｜， 即４（１＋ｂ２）＝３ｂ４，解得ｂ２ ＝２． 故双曲线的渐近线方程为ｙ＝±槡２ｘ． （２）由已知，Ｆ２（２，０）． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－２）， 由 ｘ２－ｙ ２ ３ ＝１， ｙ＝ｋ（ｘ－２ { ）， 得（ｋ２－３）ｘ２－４ｋ２ｘ＋４ｋ２＋３＝０． 因为ｌ与双曲线交于两点， 所以ｋ２－３≠０，且Δ＝３６（１＋ｋ２）＞０． 由ｘ１＋ｘ２ ＝ ４ｋ２ ｋ２－３ ，ｘ１ｘ２ ＝ ４ｋ２＋３ ｋ２－３ ， 得（ｘ１－ｘ２）２ ＝ ３６（ｋ２＋１） （ｋ２－３）２ ， 故｜ＡＢ｜＝ （ｘ１－ｘ２）２＋（ｙ１－ｙ２）槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝６（ｋ ２＋１） ｜ｋ２－３｜ ＝４， 解得ｋ２ ＝ ３５，故ｌ的斜率为 ± 槡１５ ５ ． １９．（１）解：设双曲线的标准方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ ＞０），由已知得 ｃａ ＝ 槡５ ２，２ｂ＝２，又ａ ２＋ｂ２＝ｃ２，解得ａ＝２， ｂ＝１，所以双曲线的标准方程为ｘ ２ ４ －ｙ ２ ＝１． （２）证明：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），联立 ｙ＝ｋｘ＋ｍ， ｘ２ ４ －ｙ ２ ＝１{ ， 得（１－４ｋ２）ｘ２－８ｍｋｘ－４（ｍ２＋１）＝０， 则有 Δ＝６４ｍ２ｋ２＋１６（１－４ｋ２）（ｍ２＋１）＞０， ｘ１＋ｘ２ ＝ ８ｍｋ １－４ｋ２ ， ｘ１ｘ２ ＝ －４（ｍ２＋１） １－４ｋ２      ， ｙ１ｙ２ ＝（ｋｘ１＋ｍ）（ｋｘ２＋ｍ） ＝ｋ２ｘ１ｘ２＋ｍｋ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２ ＝ ｍ２－４ｋ２ １－４ｋ２ ， 因为以ＡＢ为直径的圆过双曲线Ｃ的左顶点Ｄ（－２，０）， 所以ｋＡＤ·ｋＢＤ ＝－１，即 ｙ１ ｘ１＋２ · ｙ２ ｘ２＋２ ＝－１， 所以ｙ１ｙ２＋ｘ１ｘ２＋２（ｘ１＋ｘ２）＋４＝０， 所以 ｍ２－４ｋ２ １－４ｋ２ ＋－４（ｍ ２＋１） １－４ｋ２ ＋ １６ｍｋ １－４ｋ２ ＋４＝０， 所以３ｍ２－１６ｍｋ＋２０ｋ２ ＝０，解得ｍ＝２ｋ或ｍ＝１０ｋ３． 当ｍ＝２ｋ时，直线 ｌ的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ＋２），直线过定点 （－２，０），与已知矛盾； 当ｍ＝１０ｋ３时，直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ １０( )３ ，直线过定点 －１０３，( )０，经检验符合已知条件， 所以直线ｌ过定点，定点坐标为 －１０３，( )０． 一、单项选择题 １～４　ＢＡＢＢ　５～８　ＡＢＣＤ 二、多项选择题 ９．ＢＣＤ；　１０．ＡＣ；　１１．ＡＢＤ． 三、填空题 １２．３；　１３．３；　１４．２． 四、解答题 １５．解：（１）由题可得 ｘ２ (＋ ｙ－ )１２槡 ２ ＝ｙ＋１２， 化简得ｘ２ ＝２ｙ．故点Ｐ的轨迹方程为ｘ２ ＝２ｙ． （２）由题意设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），将直线方程ｙ＝ｋｘ＋１ 与抛物线方程ｘ２ ＝２ｙ联立得ｘ２－２ｋｘ－２＝０，则ｘ１＋ｘ２＝２ｋ， ｘ１ｘ２ ＝－２． 所以｜ＡＢ｜＝ １＋ｋ槡 ２· （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２· ４ｋ２＋槡 ８＝ 槡２６，解得ｋ２＝１，所以ｋ＝±１． １６．（１）证明：由题可得，双曲线Ｃ的渐近线方程为ｘ±２ｙ＝０． 点Ｐ（ｘ，ｙ）到直线ｘ－２ｙ＝０的距离ｄ１ ＝ ｜ｘ－２ｙ｜ 槡５ ， 点Ｐ（ｘ，ｙ）到直线ｘ＋２ｙ＝０的距离ｄ２ ＝ ｜ｘ＋２ｙ｜ 槡５ ， 所以点Ｐ到双曲线Ｃ的两条渐近线的距离的乘积为 ｄ１ｄ２ ＝ ｜ｘ－２ｙ｜ 槡５ · ｜ｘ＋２ｙ｜ 槡５ ＝｜ｘ ２－４ｙ２｜ ５ ． 又Ｐ（ｘ，ｙ）在双曲线Ｃ上，所以ｘ ２ ４ －ｙ ２＝１，即ｘ２－４ｙ２＝４， 所以ｄ１ｄ２ ＝ ４ ５，是一个常数． （２）解：由ｘ ２ ４ －ｙ ２ ＝１得ｙ２ ＝ｘ ２ ４ －１≥０， 解得ｘ≤－２或ｘ≥２．所以｜ＰＡ｜２ ＝（ｘ－３）２＋ｙ２ ＝（ｘ－３）２＋ｘ ２ ４ －１＝ (５４ ｘ－１２)５ ２ ＋４５． 当ｘ＝１２５时，｜ＰＡ｜ ２取得最小值 ４ ５， 所以｜ＰＡ｜的最小值为 槡２５５． １７．解：（１）由题可设椭圆Ｃ的标准方程为ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ ＞ｂ＞０），且ｃ＝１，所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝４＝２ａ， 解得ａ＝２，ｂ２ ＝ａ２－ｃ２ ＝４－１＝３， 即椭圆Ｃ的标准方程为ｘ ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝１． （２）在△ＰＦ１Ｆ２中，由余弦定理得｜Ｆ１Ｆ２｜２ ＝｜ＰＦ１｜２＋ ｜ＰＦ２｜２－２｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜ｃｏｓ１２０°， 即４＝（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）２－｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜， 即４＝（２ａ）２－｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜＝１６－｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜， 所以｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜＝１２， Ｓ△ＰＦ１Ｆ２ ＝ １ ２｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜ｓｉｎ１２０°＝ 槡３３． １８．解：（１）由ｅ＝ ｃａ ＝ １＋ ｂ( )ａ槡 ２ ＝槡１０３ ， 得 ｂ ａ ＝ １ ３， ａ ｂ ＝３，所以Ｃ的渐近线方程为ｙ＝±３ｘ． （２）由已知得ｌ：ｘ＝－ ｐ２， 代入渐近线方程得Ｍ － ｐ２，－ ３ｐ( )２ ，Ｎ － ｐ２，３ｐ( )２ ， 所以｜ＭＮ｜＝３ｐ，Ｓ△ＭＦＮ ＝ １ ２ ×３ｐ×ｐ＝１２， 解得ｐ＝ 槡２２，所以Ｄ的方程为ｙ２ ＝ 槡４２ｘ． １９．解：（１）抛物线ｙ２＝ 槡４３ｘ的焦点为（槡３，０），所以ｃ＝槡３， 又根据椭圆的定义可得２ａ＝４，ａ＝２，所以ｂ＝ ａ２－ｃ槡 ２＝１， 所以椭圆Ｃ１： ｘ２ ４ ＋ｙ ２ ＝１，设椭圆Ｃ２： ｘ２ ａ２２ ＋ｙ ２ ｂ２２ ＝１， 因为相似比为２，所以ｂ２ ＝２ｂ＝２， ｃ２ ＝２ｃ＝ 槡２３，ａ２ ＝２ａ＝４， 所以椭圆Ｃ２的方程为 ｘ２ １６＋ ｙ２ ４ ＝１． （２）设Ａ（ｘ０，ｙ０），则Ｂ（－ｘ０，－ｙ０），又Ｐ（０，２）， 所以→ＰＡ＝（ｘ０，ｙ０－２），→ＰＢ＝（－ｘ０，－ｙ０－２）， 所以 →ｙ＝ＰＡ·→ＰＢ＝－ｘ２０－ｙ２０＋４， 因为点Ａ在椭圆上，所以 ｘ２０ ４ ＋ｙ ２ ０ ＝１，所以ｘ２０ ＝４－４ｙ２０， 所以ｙ＝－ｘ２０－ｙ２０＋４＝３ｙ２０， 根据椭圆的性质可得ｙ０∈［－１，１］，所以ｙ＝３ｙ２０∈［０，３］， 即ｙ的取值范围为［０，３］． （３）若椭圆Ｃｂ上存在两点Ｍ，Ｎ关于直线ｌ对称， 则ＭＮ⊥ｌ且ＭＮ的中点在ｌ上， 设椭圆Ｃｂ的半焦距为ｓ，长半轴长为ｔ． 因为Ｃｂ与Ｃ１相似，且短半轴长为ｂ，则ｓ＝ ｂ １·槡３＝槡３ｂ， ｔ＝ ｂ２＋ｍ槡 ２ ＝２ｂ，所以椭圆Ｃｂ： ｘ２ ４ｂ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１， 设ＭＮ：ｙ＝－ｘ＋ｍ，Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）， ＭＮ的中点Ｑ（ｘＱ，ｙＱ）， 联立 ｘ２ ４ｂ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１， ｙ＝－ｘ＋ｍ { ， 可得５ｘ２－８ｍｘ＋４ｍ２－４ｂ２ ＝０， Δ＝６４ｍ２－２０（４ｍ２－４ｂ２）＝８０ｂ２－１６ｍ２ ＞０， 解得ｂ２ ＞ｍ ２ ５， ｘ１＋ｘ２ ＝ ８ｍ ５，ｙ１＋ｙ２ ＝－（ｘ１＋ｘ２）＋２ｍ＝ ２ｍ ５， 所以ｘＱ ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ＝ ４ｍ ５，ｙＱ ＝ ｙ１＋ｙ２ ２ ＝ ｍ ５， 因为Ｑ在直线ｙ＝ｘ＋１上，所以ｍ５ ＝ ４ｍ ５＋１，解得ｍ＝－ ５ ３， 因为ｂ２ ＞ｍ ２ ５，所以ｂ ２ ＞ ５９，则有ｂ＞ 槡５ ３． 所以存在ｂ满足题意，且ｂ (的范围是 槡５３，＋ )∞ ． !"#$ ! %& !"#$% ! ! '()*+,-./012345678&1 "! 9 !" !"#$%&'()*+ %&'()'*!+*,# !",-%&'()*+ %&'+)'*!++*' ! " '()*:,-./0123;5678&1 "! 9 &'()*+,- !# !<= !>"8(?& !"#$%&'( !)*+,-. /01 234 56789:; <8.=8>?@AB> CDEFGHIJKL MNOPQRSTA/ U5<VQ(WA =? 'XYZ[\R]^_ `abcdPQeK5 f?ghijklm_ =?'(nopq5r Ess#$!*tuv wxyzU{|}~a €hi)‚ƒ! y„R…†‡ ˆ k!*_ #$?‰ Š‹tŒ_ Cx?' (ŽR‘_ ’“” NN•–—˜ <V5' (*+,-_ ™=! šc›œžqŸ˜ v ¡?yv}¢ 8_£}¤¥˜ ¦'R› §¨©?'_ ªy¨© «R_¦›?M(¬«˜ ­®?¯qv°±²³ R´µ3¶·¨©_ ¸"«¹ºtv°R» š_ >¼½—¾©R¿ „˜ À{|ÁÂ3RÃÄ ÅÆÇ_ È*užÉf ÊËÌVÍ3ÎÏ}… RÐј ˆ Ò{|RÓÆLJ ¦ kœkԞÕÖ× ˆ À{|œk˜ }@¾ ØyÙT_ ÚÛÜ}R ‰ÝÞ4 ˆ ßàákC_ ⓠgãLtv°R?y_ äå/«?!¸_ a¦ æçèÌZéê™_ã ë!ëyìŠíkî_ ï§ðW/gñò—4 "#$% &'() *+,- óôõö÷øù_óôú·ûú·üý þÿ!Š"#$7 # + $ + ! + ! " # $ ! + $ + & + $ & & ( * * ) & ! & & * & * ( $ ) & ! - " * )#+$!$,% ( + ! - . ! , , # ! ) & $ # + $ + & + ! + ( ! ' ! )@ABCDE(F