第4章 重难专题3 等腰三角形中的分类讨论-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 XJ 1 2 第4章 三角形 3 重难专 题3 等腰三角形中的分类讨论 4 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 难关 类型1 遇边或角需讨论 1.［2025山东济南期末］等腰三角形的周长为，其中一边长为 ，则该等 腰三角形的腰长为( ) C A. B. C.或 D. 关键点拨 等腰三角形中没有明确腰和底边时，要进行分类讨论，还应验证是否能构成三角形． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 【解析】分情况讨论：当是腰长时，底边长是 ，此时 ，，能组成三角形，腰长是．当 是底边长时，腰长是 ，此时，， 能组成三角形，腰长是 ．故选C． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.［2024湖南郴州宜章期中，中］已知等腰三角形的一内角度数为 ，则它的 顶角的度数为__________. 或 【解析】 角是顶角；②若 角是底角，则顶角度数为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 类型2 遇中线、高或垂直平分线需讨论 3.［中］等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角形底角的度 数为( ) C A. B. C. 或 D. 或 关键点拨 注意分两种情况讨论：①当腰上的高在等腰三角形的内部时；②当腰上的高在等 腰三角形的外部时． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 图（1） 【解析】在等腰中，，为腰 上的高， .当在 的内部时， 如图（1）.因为，所以 ，所以 .因为 ，所以 .当在 的外部时， 图（2） .综上所述，这个等腰三角形底角的度数为 或 ．故选C． 如图（2）.因为，所以 ，所以 .因为，所以 . 又因为，所以 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 4.［2025湖南张家界期中，中］已知在等腰三角形中， ，两腰的垂 直平分线交于点，若 ，则等腰三角形 顶角的度数为( ) C A. B. C. 或 D. 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】分两种情况：当在的内部时，如图（1），连接 .因为两腰的 垂直平分线交于点，所以，所以， . 因为 ， ，所以 ， .因为 ，所 以 .当在 的外部时， 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 如图（2），连接.由题意得，所以 ， ，所以 .因为 ， ，所以 ，所以 .综上，等腰三角形 顶角 的度数为 或 ，故选C. 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 5.［中］已知等腰三角形的底边长为 ，一腰上的中线把三角形的周长分为两 部分，其中一部分比另一部分长，那么这个等腰三角形的腰长为____ . 15 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 【解析】 . 如图，设等腰的腰,为 边上的中线．当 时，，解得，则 , , 的长分别为，， ，能够组成三角形.当 时，，解得，则, , 的长分别为，， ，不能组成三角形．故这个三角形的腰长为 ．故答案为15． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 类型3 遇动态问题需讨论 （第6题图） 6.［2025陕西西安期中，中］如图，在 中， ， .点为直线 上一动点，若以 点与 三个顶点中的两个顶点为顶点的三角形是等腰三 角形，那么满足条件的点 的位置有( ) C A.4个 B.6个 C.8个 D.9个 思路分析 利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形 的情况，进而得到满足条件的点 的个数． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 【解析】因为在 中， 时， 为等腰三角形.当 时， 为等腰三角形.当 时，为等腰三角形.当与重合时， 为等 腰三角形.当与重合时，为等腰三角形.当 时， ， ，所以. 如图，当 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 为等腰三角形.当 时， 为等腰三角形.当 时， 为等腰三角形. 综上，满足条件的点 的位置有8个.故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第7题图） 7.［较难］如图，直线，相交于点， ，点 是直线 上的一个定点，点在直线上运动，若以点，， 为顶点的 三角形是等腰三角形，则 的度数是___________________. 或或或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 【解析】如图，分四种情况讨论：①当 时， ；②当 时， ；③当 时， ；④当 时， .综上所述，的度数是 或 或 或 .故答案为 或 或 或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.［较难］如图，在中，， ，边 绕 点顺时针旋转得到线段，连接, .若 为等腰三角形，则 所有可能的取值是_______________. 130或100或160 【解析】由旋转的性质得.因为 为等腰三角形， 所以分三种情况：①当 时，易得 ，所以；②当 时，易 得 ，所以；③当 时，易得 ，所以 ，所以 .综上所述, 所有可能的取值为130或100或160.故答案为130或100或 160． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 类型4 构造等腰三角形时需讨论 9.［2025辽宁大连质检］如图，在中， , .点是直角边所在直线上一点，若 为等腰三角形， 则符合条件的点 的个数有( ) D A.3个 B.6个 C.7个 D.8个 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 方法技巧 “两圆一中垂”构造等腰三角形 已知两点，，找点使得 为等腰三角形， 需分三种情况讨论：如图，若,则点在以点为圆心,线段 的长为半径 的圆上; 若,则点在以点为圆心,线段 的长为半径的圆上; 若,则点在线段的垂直平分线 上，以上简称“两圆一中垂”. “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点, ,还要除去因 共线无法构成三角形的点， （共除去5个点）. 注意 注意利用“两圆一中垂”画出所有情况，不要漏点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 【解析】如图，作， 所在直线，然后分别 以，为圆心，长为半径作圆分别交 ， 所在直线于点,,,,, ,共6个，再 作的垂直平分线交，所在直线于点 , ,共2个，所以符合条件的点 的个数有8个， 故选D． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 10.［中］如图，有一张三角形纸片， ，点是边上一点，沿 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则 的度数可以是 ______________. 或或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 【解析】由题意知,与均为等腰三角形.对于 ，分情况讨论:① 当时， ，所以 ，所以易知 ,所以 ;②当 时， ，所以 ，所以易知 ,所以 ;③当时， ， 所以 ，所以易知 ,所以 .综上所述，的度数可以为 或 或 ．故 答案为 或 或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 思路分析 分或或 三种情况讨论,分别根据等腰三角形的性质求出 的度数，再求出 的度数，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即 可得解． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 $$