2.5.2 分式方程与实际问题-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 XJ 1 2 第2章 分式 3 2.5 可化为一元一次方程的分 式方程 课时2 分式方程与实际问题 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 路程问题 1.某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米.师生乘大巴 车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前 往，结果同时到达.设大巴车的平均速度为 千米/时，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意可列方程为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2.［2025河北邢台质检］如图，快递员甲和乙同时从配送点和 出发，分别沿不 同路线前往仓库.甲从经过中转站再到，乙从直接前往 ，且乙的速度与甲 从到的速度相同.两人在各路段均保持匀速行驶，各点间距如图所示.若甲从 到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到 时间的一半， 则____（填“甲”或“乙”）先到达仓库 . 甲 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】设甲从到的速度为，则从到的速度为 .根据 题意得，解得.经检验， 是原方程的解，所以 ，所以甲从到所用的时间为 ， 乙从到所用的时间为.因为 ，所以甲先到达仓库 ．故答案为甲. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 知识点2 工程问题 3. 公司使用通用模型与推理模型 协作完成一项数据分 析任务，单独完成需要的时间比 多2小时，若两模型协作，共需要6小时.设 单独处理数据需要 小时，则正确反映协作效率的方程是( ) C A. B. C. D. 【解析】单独处理数据需要小时，则单独处理数据的时间为 小时.依 题意得 ，故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 4.为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在 改造一段长3 600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了 ，按这 样的进度可以比原计划提前10天完成任务.求实际施工时，每天改造管网的长度. 思路分析 分式方程之工程问题 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 【解】设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网 米. 由题意得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，且符合题意.此时， （米）. 答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米 . 关键点拨 根据题意找到等量关系,从而建立方程是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 知识点3 销售问题 5. ［2025河南安阳期末］2024年11月中华人民共和国首届青少年三大球运 动会在长沙举行.某校为响应国家政策，在课后延时服务中开设了多个社团，其中 排球社团需要添置一些排球，第一次购买排球花费了3 000元，因报名学生较多排 球不够，第二次又花费了3 000元购买排球，但单价比上次上涨了 ，结果第二 次购买的排球比第一次少15个． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 （1）求两次购买的排球单价分别是多少； 【解】设第一次购买的排球单价为元，则第二次购买的排球单价为 元. 由题意，得 ， 解得 . 经检验， 是原分式方程的解. 所以第二次购买的排球单价为 （元）. 答：第一次购买的排球单价为40元，第二次购买的排球单价为50元. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 （2）求该社团前后两次一共购买的排球数量． 【解】第一次购买的排球数量为 （个），第二次购买的排球数量 为 （个）， 一共购买的排球数量为 （个）. 答：该社团前后两次一共购买的排球数量为135个． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 提升 1.［2025湖南株洲期末，中］一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行 驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为 ，平时逆水航行与顺 水航行所用的时间比为 ，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返 共用了 ．则甲、乙两港之间的距离为( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 【解析】设甲、乙两港之间的距离为，平时水流速度为 ．由题意得 ，即，解得.经检验， 是原方程的解且符合题意. 因为某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了 ，所以 ，解得．故甲、乙两港之间的距离为 ．故选D． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 16 2.［2025湖南郴州期中，中］甲、乙、丙三名工人共同承担生产一批零件的任 务．已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 ； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的 ； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．我知道工程问题中三 者关系是工作效率×工作时间 工作总量． 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的顺序轮流工作至完成所有任务， 共需_____小时． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 【解析】设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 .由题意得，解得.经检验， 是原方程的解，且符 合题意，所以甲的工作效率是，乙的工作效率是 .因为丙的 工作效率是乙的工作效率的，所以丙的工作效率是 ，所以按甲、乙、 丙的顺序工作一轮的工作量为 ，所以工作六轮后剩余的工作量为 ，所以甲还需要工作1小时，此时乙需要完成的工作量为 ，所以乙还需要工作的时间为 （时），所以按照甲、乙、丙 的顺序轮流工作至完成所有任务，共需（时）．故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 思路分析 设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是 ，根据 乙提供的信息列出方程并解答，根据丙提供的信息得到丙的工作效率，从而易得 按照甲、乙、丙的顺序轮流工作至完成所有任务所需的时间． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 19 3.［2024黑龙江哈尔滨质检,中］下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所写的 课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务. 题目 某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件 的进价多20元，用2 000元购进甲种商品和用1 200元购进乙种商品的数 量相同.求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元 解题过 程 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：购进甲种商品数量 购进 乙种商品数量 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 解法二 设…… 等量关系：甲种商品进价-乙种商品进 价 - 任务： （1）根据题中解法可求出甲种商品的进价为____元/件，乙种商品的进价为____ 元/件. 50 30 【解析】，去分母得，整理得 ， 解得.经检验, 是原方程的解，且符合题意,所以 .故答案为50,30. 续表 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 （2）商店计划用不超过1 440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲 种商品多少件？ 【解】设购进甲种商品件，则购进乙种商品 件.因为商店计划用不超过 1 440元的资金购进甲、乙两种商品，所以 ，所以 . 答：至多购进甲种商品12件. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 刷素养 走向重高 4.核心素养 模型思想［难］某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，匀速向 上运行.甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走的台阶数是乙的 2倍.已知甲走了24级台阶到扶梯顶部，乙走了16级台阶到扶梯顶部（甲、乙两同 学每次只跨1级台阶）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 （1）扶梯露在外面的部分有多少级台阶？ 【解】设扶梯露在外面的部分有级台阶，乙每分钟走的台阶级数为 ，则甲每分 钟走的台阶级数为，扶梯每分钟向上运动级台阶.由题意得 ,得，整理,得，将代入②,解得 . 答：扶梯露在外面的部分有48级台阶. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 （2）如果与扶梯并排有一楼梯，台阶数与扶梯露在外面的级数相同，甲、乙各自 到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽 略不计，问甲第1次与乙相遇时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的台阶级数 是多少级？ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 【解】设甲第1次与乙相遇时，甲走扶梯走了遍，走楼梯走了 遍，则乙走扶梯 走了遍，走楼梯走了 遍. 由（1）知，，整理得 ，其中 ，中必有一个是正整数，且 . ①若为正整数，因为，所以（不合题意，舍去）或 （不合题意，舍去）或（符合题意）或 （不合题意，舍去）或 （不合题意，,7, 时均不合题意，舍去）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 ②若为正整数，因为，所以或或或 ，这 些均不符合要求. 综上, 此时甲在楼梯上.他已经走动的台阶级数是 （级）. 关键点拨 本题难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在走动，变化量较 多.针对此类问题,解题时要善于抓住不变量列方程.另外，本题求解时设的未知数 , ,只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 $$