2.5.1 分式方程及其解法-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 XJ 1 2 第2章 分式 3 2.5 可化为一元一次方程的分 式方程 课时1 分式方程及其解法 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 分式方程的概念 1.有下列方程：；； ； ．属于分式方程的有( ) B A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 【解析】②③中的分母含有未知数，属于分式方程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 6 知识点2 解分式方程 2.［2025湖南娄底期中］解分式方程 时，去分母正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】分式方程，方程两边同乘，得 ， 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 3.［2025江苏扬州质检］对于非零实数,，规定☆，若 ☆，则 的值为____． 【解析】因为☆，且☆，所以 ，解 得.经检验，是原方程的解，所以的值为，故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 4.解下列方程: （1） ． 【解】方程两边同乘最简公分母,得 . 去括号,得.移项，得 .合并同 类项，得，解得.检验：当时， ，所以 是原方程的解． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） . 【解】方程两边同乘最简公分母，得 .去 括号，得,解得.检验：当时， ， 所以 是原方程的解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 归纳总结 解分式方程的步骤可概括为一去（去分母），二解（解整式方程），三检验 （检验求出的根是否为增根），四写（写出原方程的根）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 知识点3 根据分式方程无解求字母的值 5.若关于的方程无解，则 的值为______. 1或3 【解析】方程两边同乘,得，所以 .当 ，即时，原方程无解，符合题意.当时， ，因为 方程无解，所以，所以，所以，所以 .综上，当 或3时，原方程无解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 关键点拨 分式方程无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是变形得到的整式方程无解， 根据两种情况分析得到关于 的方程即可求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 知识点4 根据分式方程解的情况求字母的值 6.［2025四川自贡期末］已知关于的分式方程的解是非负数，则 的取 值范围是( ) A A.且 B. C.且 D.且 【解析】，方程两边同乘，得 .移项及合并同类项， 得.因为分式方程的解是非负数，且 ，所以 解得且 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 7.［2024重庆沙坪坝区期末］若关于的分式方程 的解是正整数，则 所有符合条件的整数 的和为____. 12 【解析】，去分母，得 ，移项、合并同类项，得 ，系数化为1，得.因为分式方程 的解是正整数， 且，所以或2或3或6且，所以 或4或5，所以符合条 件的所有整数的和为 ，故答案为12. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 刷易错 易错点 ①去分母时，常数项漏乘最简公分母而出错；②解分式 方程忘记检验 8.［2024湖南怀化质检］小丽解分式方程 时，出现了错误，她的解 题过程如下： 解：去分母得 第一步 解得 第二步 所以原分式方程的解是 第三步 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （1）小丽的解答过程从第____步开始出错，这一步应为_____________________， 这一步的依据是_____________. 一 等式的性质. 【解】小丽的解答过程从第一步开始出错，这一步应为 ，这 一步的依据是等式的性质，故答案为一； ;等式的性质. （2）小丽解答过程缺少的步骤是______. 检验 【解析】小丽解答过程缺少的步骤是检验，故答案为检验. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （3）请写出正确的解题过程. 【解】，去分母得，解得 ，经检验， 是原方程的解，所以原分式方程的解是 . 易错警示 在解分式方程的过程中，去分母时，常数项不要漏乘最简公分母以及不要忘记检验. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 提升 1.［中］对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示， 中较小的 值，如.按照这个规定，方程 的解为( ) D A.或2 B.2 C. D.无解 【解析】因为,所以，所以，所以 ， 解得.经检验，是方程的根.因为，所以 不符合题意， 故原方程无解.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 2.［2025湖南常德期末，中］若关于的不等式组的解集为 ， 且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数 的和为 _____． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 【解析】解不等式组得因为不等式组的解集为 ，所 以，解得.解关于的分式方程，得 .因为分 式方程的解为正整数，所以且，所以且 ，所以 且，所以满足条件的所有整数的值为，， ，所以符 合条件的所有整数的和为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3.［中］使分式方程最简公分母为0的未知数的值不是分式方程的解,我们称它是 该分式方程的增根.已知关于的分式方程 . 【解】方程两边同乘，得 ，整理得 . （1）若方程的增根为，求 的值; 【解】因为是分式方程的增根，所以，解得 . （2）若方程有增根，求 的值; 【解】因为原分式方程有增根，所以，所以或 .当 时，；当时，.故的值为1.5或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 （3）若方程无解，求 的值. 【解】当时，该方程无解，此时；当 时，要使原方程 无解，由（2）得或.综上，的值为或 或1.5. 刷有所得 已知增根求字母的值可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代 入整式方程,即可求得相关字母的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 4.［较难］观察下列方程以及解的特征： ①的解为, ； ②的解为, ； ③的解为, ； … 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （1）猜想关于的方程 的解，并利用“方程解的概念”进行验证； 【解】关于的方程的解为，.验证：当 时，左 边右边，所以是该分式方程的解；当 时，左边 右边，所以 是该分式方程的解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （2）利用（1）的结论解分式方程： ① ； 【解】因为，所以或，所以或 . ② . 【解】令，则，所以原方程变形为 ，所以 ，所以，即，则或，所以 或 ，即或，解得或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 刷素养 走向重高 5.核心素养 运算能力［2025江苏扬州质检，较难］新定义：如果两个实数, 使 得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数, 组成的数 对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如： , 使得关于的分式方程的解是 成立，所以数对 是关于的分式方程 的一个“关联数对”． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （1）判断下列数对是否为关于的分式方程 的“关联数对”？若是，请 在括号内画“√”；若不是，画“×”． ①( ). ② ( ). ③ ( ). 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 【解】当，时，分式方程为，解得 .因为 ，所以不是关于的分式方程 的“关联数对”. 当，时，分式方程为，解得.因为 ，所以 不是关于的分式方程的“关联数对”.当， 时，分式 方程为，此方程无解，所以不是关于的分式方程 的“关 联数对”.故答案为 | | ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求 的值. 【解】因为数对是关于的分式方程 的“关联数对”，所以 ，解得，所以，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 （3）若数对且，是关于的分式方程 的 “关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数 的值． 【解】因为数对且，是关于的分式方程 的“关联数对”，所以，，所以 ， 解得.因为关于的方程 可化为 ，所以 ， 解得.因为方程有整数解，且 为整数，所以整数 ,，即,,1,.又因为， ，所以 ，所以或． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 思路分析 （3）根据“关联数对”的定义得到的解为，整理得 ， 将关于的方程整理得到,根据方程有整数解，且 为整数即可解答． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 $$