1.3.2 运用完全平方公式因式分解-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 XJ 1 2 第1章因式分解 3 1.3 公式法 课时2 运用完全平方公式因式分解 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 用完全平方公式因式分解 1.［2025福建泉州期中］下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 ，不能用完全平方公式分解因式，故A符合题意； ，能用完全平方公式分解因式，故B不符合题意； ，能用完全平方公式分解因式，故C不符合题意； ，能用完全平方公式分解因式，故D不符合题意.故选A 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 2.若能用完全平方公式因式分解，则 的值为( ) C A. B. C.或11 D.13或 【解析】因为能用完全平方公式因式分解，所以 ， 解得或 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 3.因式分解： （1） ； 【解】 . （2） ； 【解】 . （3） ; 【解】 （4） . 【解】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 关键点拨 运用完全平方公式分解因式的关键是分清公式中的“”“ ”，当首项系数是负 数时，一般要先提出负号，括号内多项式的各项都要变号. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.［2025山西临汾期中］对一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时， 换元法是一种常用的方法.下面是小影同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程． 解：设 ， 原式 （第一步） （第二步） （第三步） .（第四步） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 （1）小影同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或“不彻底”）； 若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果：_________． 不彻底 【解析】小影同学因式分解的结果不彻底，原式 . 故答案为不彻底， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解． 【解】设 ，则原式 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 知识点2 利用提公因式和完全平方公式因式分解 5.把多项式 分解因式，结果正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 6.因式分解： （1） ； 【解】 . （2） ; 【解】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 （3） . 【解】 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点3 完全平方公式因式分解的应用 7.［2025湖南永州期中］已知，，则 的值为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】.因为 ， ，所以原式 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 8.［2025江苏苏州期中］如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为 的正方形 卡片4张，边长为的正方形卡片1张，长、宽分别为, 的长方形卡片4张．现使用 这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题可知，9张卡片的总面积为 .因为 ，所以大正方形的边长为 ．故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 9.不论，取什么有理数，代数式 的值( ) A A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何有理数 D.可能为负数 【解析】.因为，，所以 ， 所以 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 10.［2025河南周口质检］已知，且满足两个等式 , ，则 的值为___． 4 【解析】因为,，所以 ，所以 ,所以 ，所以 .因为,即，所以 ,所以 ，所以 ，故答案为4． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 提升 1.［2025四川内江期中，中］已知 ，则 的值为( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】将整理得 ， 分解因式可得，所以 ，所以 ．故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 2.［中］利用因式分解计算： ________. 90 000 【解析】原式 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 微专题1 十字相乘法与分组分解法 3.十字相乘法［2025湖南岳阳期中，中］某些形如 的二 次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系 数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： （1） ； 【解】 . （2） ； 【解】 . 在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系 数，如：将式子分解因式，如图， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 （3） ． 【解】 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 4.分组分解法［2025辽宁葫芦岛期末，中］常用的分解因式的方法有提取公因式 法、公式法等，但有的多项式只用上述一种方法无法分解．如 ， 细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、 后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可以完成整个式 子的因式分解．具体过程如下： . 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （1）分解因式： ； 【解】 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 （2）分解因式： ． 【解】 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 刷素养 走向重高 5.思想方法 转化思想［较难］如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下 变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个 式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法能解决一些与非负数有关的问题， 或求代数式最大值、最小值等问题． 例如： ； ，则当 时， 有最小值，最小值是 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 根据材料用配方法解决下列问题： （1）因式分解： ______________； 【解析】．故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （2）当为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值； 【解】 . 因为，所以当 时，原式有最大值，最大值为5． （3）已知，求出， 的值． 【解】因为 ，所以 ，所以 ， 所以.因为, ，所以 ,，所以， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 思路分析（1） 将多项式 配方为完全平方式，再利用平方差公式分解； （2）利用配方法将多项式转化为完全平方式加上一个数，再利用平方的非负性求 最值； （3）利用配方法将多项式化为两个完全平方式的和的形式，根据平方的非负性求 和 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 $$