第13章 大招专题2 构造全等三角形的常用方法-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（冀教版2024）

数 学 八年级上册 课标版 1 2 第十三章 全等三角形 3 大招专 题2 构造全等三角形的常用方法 4 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 难关 母题学大招6 倍长中线法 1.［中］如图，是的中线，点在的延长线上， ， ，求证： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 6 【证明】如图,延长至，使，连接 . 因为是的中线，所以.在和 中， 所以，所以， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 7 因为，所以 . 因为，所以，即 . 在和中， 所以，所以 . 因为，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 8 大招解读 倍长中线法 倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用 全等三角形的有关知识来解决问题． 基本模型 变形 _________________________________________ ______________________________________________________ 刷有所得 倍长中线的目的是构造全等三角形中的8字型，从而根据全等三角形的性质将边或 角进行转化. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 9 子题练变式 2.［2025河北保定期末，较难］ （1）如图（1），在中，，，求边上的中线 的取值范围. 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 10 【解】如图（1），延长到，使得，连接 ,则 是 的中点， .在和 中， ， .在 中，由三角形的三边关系可得 ，即 ，， ， ，边上的中线的取值范围为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 11 （2）如图（2），是的中线，， ， ，试探究线段与 的数量和位置关系，并加以证明. 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 12 【解】且.证明如下：如图（2），延长 到 ，使得，连接,延长交于点 .同（1）可证 ，， ， ，.在和 中， ， ， ， ， ， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 13 ， ， ， ， ,.综上所述，且 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 关键点拨 延长到，使得,连接,构造 是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 母题学大招7 截长补短法 3.［中］如图，已知四边形中，，若的平分线 交于，连接，恰好平分，求证： . 【证明】补短法:如图（1），延长至点,使,连接 .因为 ，所以 .因为平分， 平分 ，所以, ,所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 16 在和中，所以 ，所以 ，,所以,,三点共线.因为 ,所以 . 在和中， 所以，所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 截长法:如图（2），在上截取，连接.因为 ， 所以 .又因为平分，平分 ， 所以 ，所以 ， 即 .在和 中， 所以，所以 .又因为 ，所以 ，所以.在 和 中，所以 ，所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 大招解读 截长补短法 “截长补短法”的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或 将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明. 当题目中出现线段和差关系时，一般都可以用“截长补短法”求解. 思路分析 由于与和之间没有什么直接的联系，所以必须通过作辅助线建立与 和之间的联系，进而求解.可以在上截取，连接 ，证明 ；也可延长至点，使,连接,证明 ， 进而得出三条线段之间的关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 19 子题练变式 4.［2024山东菏泽校级质检，中］如图，在中， ， 的 平分线交于，交的平分线于，过点作，交于点 .求 证： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 【证明】在上截取,连接 ，如图. 平分,.在和 中， , . , , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 , , , . 平分, . 在和中， , , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 刷有所得 截长法和补短法可以根据题目条件灵活应用. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 $$