第13章 大招专题1 全等三角形常考模型-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（冀教版2024）

数 学 八年级上册 课标版 1 2 第十三章 全等三角形 3 大招专 题1 全等三角形常考模型 4 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 难关 母题学大招1 平移模型 1.［中］如图，点，，，在一条直线上， ， ，，求证： ． 【证明】因为，，所以 ， .又因为，所以，所以 ，所以 ,所以 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 6 大招解读 平移模型 把沿着某一条直线平移，所得到的与 全等. 基本模型 常见模型 _________________________________________________________________ _____________________________________________________________ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 母题学大招2 对称模型 2.［中］如图（1）是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图（2）所示， ，，， ，求 的大小. 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 【解】因为，所以 ，即 . 在与中， 所以 ， 所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 大招解读 对称模型 将两个三角形沿着某一条直线折叠后，直线两边的三角形能够完全重合，这两个三 角形称为对称型全等三角形，此类图形中要注意隐含条件，即公共边或公共角相等. 基本模型 常见模型 ___________________ _____________________________________________________________________ 刷有所得 如果几何图形沿一条直线折叠后可以完全重合，那么就有相等的线段、相等的角. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 母题学大招3 “手拉手”模型 3.［2024江苏淮安调研，中］如图，已知 ， ，，连接， . （1）求证： . 【证明】因为，所以 ，所以 . 又因为，，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （2）若 ， ，求 的度数. 【解】因为，所以.因为 ， ，所 以 ，所以 . 大招解读 “手拉手”模型 条件：①共顶点，②等角，③两长两短等线段； 结论： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 子题练变式 4.［2025河北石家庄质检，中］已知在和 中， ，，，点是直线 上的一动点 （点不与点，重合），连接 . 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 （1）如图（1），当点在边上时，求证： .（提示：证全等） 【证明】 ， ， .又，， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 （2）如图（2），当点在边的延长线上时，结论 是否成立？若 不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由.再猜想与 的位置关系，并说明理由. 【解】不成立，存在的数量关系为，位置关系为 .理由如下： ，.又， ， ，， ， ，， ， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 （3）如图（3），直接写出，， 之间存在的数量关系. 【解】存在的数量关系为 . ， . 又， ， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 刷有所得 由两个等腰三角形共顶点即可识别出是拉手模型，不管位置如何变化，拉手形成 的一组全等三角形不会发生变化. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 母题学大招4 一线三等角模型（ 型） 5.［中］如图，嘉嘉用9块高度为 的相同的长方体小木块垒出了两堵与地面垂 直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 ， 点在上，点和点 分别与木墙的顶端重合. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 （1）求证： ； 【证明】由题意得， ，， ， ， ， ， . 在和中， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （2）求两堵木墙之间的距离. 【解】由题意得， . ，， ， . 答：两堵木墙之间的距离为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 大招解读 一线三等角模型型 三个相等的角在同一直线上，称为一线三等角模型（角度有锐角、钝角，若为直 角则可称为一线三垂直），利用三等角关系可找到全等三角形所需的角相等条件 如 . _________________________________________ _________________________________________ 锐角一线三等角 钝角一线三等角 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 ________________________________________________________________ 直角一线三等角 关键点拨 从实际问题中抽象出数学模型，正确找出证明三角形全等的条件. 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 子题练变式 6.［中］【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一， 请根据以下问题，把你的感知填写出来： 图（1） （1）如图（1），为等边三角形，， ， 则 _______. 【解析】因为是等边三角形，所以 .因为 ， ，所以 .又因为，所以 .故 答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【模型应用】 （2）如图（2），正方形的顶点在直线上，分别过点，作于 ， 于.若，，则 的长为___. 3 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】因为四边形 是正方形， 所以， . 因为， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以，，所以 . 故答案为3. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【模型变式】 （3）如图（3）所示，在中， ，，于 ， 于，，，求 的长. 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【解】因为， ， 所以 . 因为 ， ，所以 . 又因为 ， 所以 ， 所以， ， 所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 母题学大招5 半角模型 7.［中］【问题背景】如图（1），在四边形中， ， ， ，，分别是， 上的点，且 ，试探究图中线段，， 之间的数量关系. 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （1）小王同学探究此问题的方法如下：延长到点，使，连接 ， 先证明，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ______________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】在和中， 所以 ， 所以， . 因为 ，所以 ，所以 .在和中，所以 ， 所以.因为，所以 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【探索延伸】 （2）如图（2），若在四边形中，， ，， 分别 是，上的点，且 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由. 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解】结论仍然成立.理由：如图（1），延长 到 点，使，连接.因为 , ,所以.在和 中， 所以，所以 ， .因为 ，所以 ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 所以.在和中， 所以 ，所以.因为 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【学以致用】 （3）如图（3），四边形是边长为5的正方形， ，直接写出 的周长. 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 【解】的周长是10.如图（2），延长到点，使 ， 连接.因为四边形 是正方形，所以 ，.在与 中， 所以，所以 ， .因为 ， ，所以 ， 所以 .在 与 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 中， 所以 ，所以 ，所以 的周长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 大招解读 半角模型 半角模型中的重要元素：（1）半角，（2）邻边相等 . ____________________________________ _________________________________________________________ 正方形含半角 等腰直角三角形含半角 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 ___________________________________ _____________________________________________________ 等边三角形含半角 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 思路分析 延长到点，使，连接，即可证明 ，可得 ，再证明，可得 ，即可解题. （3）延长到，使，连接，根据“”可判定 ， 故可得出，，再由 ， 可得出 ，故 ，由“ ”可判定 ，故，故 的周长为 ，由此可得出答案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 $$