第12章 因式分解（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

第12章 因式分解 教学目标 1. 了解因式分解的概念； 2. 会用提公因式法和公式法对整式进行因式分解； 3. 会用十字相乘法和分组分解法对整式进行因式分解； 4. 因式分解的应用。 教学重难点 1.重点 （1）判断是否属于因式分解； （2）选择合适的方法进行因式分解； （3）利用因式分解求参数。 2.难点 （1）因式分解有关化简、变形、求值等； （2）因式分解的综合应用； （3）分类讨论思想。 知识点1 因式分解的意义 提取公因式法 1.因式分解：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解. 如：x²+x=x(x+1); x⁴-1=(x²+1)(x²-1)=(x²+1)(x+1)(x-1). 2.因式：其中，x、x+1是x²+x的因式，x²+1、x+1、x-1是x⁴-1的因式. 要点： 因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，如在x⁴-1因式分解的过程中，因式x²+1不能继续因式分解，x²-1还能继续因式分解为 (x+1)(x-1). 3.公因式 ①观察：ma+mb+mc的每一项，你有什么发现? 我们把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式. 由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得ma+mb+mc=m(a+b+c). 这就将ma+mb+mc分解成两个整式的积.其中，m是ma+mb+mc各项的公因式. 要点： （1） 公因式必须是每一项中都含有的因式. （2） 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式. （3） 公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 4.提取公因式法 如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 要点： （1）提取公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即ma+mb+mc=m(a+b+c). （2）用提取公因式法分解因式的关键是准确找出整式各项的公因式. （3）当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时整式的各项都要变号. （4）用提取公因式法分解因式时，若整式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【即学即练】 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 5．因式分解： (1)； (2)； (3)． 知识点2 公式法 1.平方差公式 平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解. 如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解. 要点： （1）当整式的各项含有公因式时，通常先提取公因式，然后再考虑是否能进一步因式分解. （2）因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止. 2.完全平方公式 完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解.如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解. 举例分析： 因式分解：9x²-12x+4 要点： （1）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （2）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. 3.公式法：根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法． 4.因式分解步骤 （1）如果整式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 5.因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是整式； （2）最终把整式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止 【即学即练】 1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式中，能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．分解因式： ． 4．分解因式： ． 知识点3 十字相乘法 1.十字相乘法 一般地，如果二次三项式x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), 那么这样的因式分解的过程可以表示为 像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法. 要点： 常数项的因数分解往往有多种情况，此时选择的关键在于判断哪两个因数的和恰好等于一次项的系数. 2.二次项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 要点： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【即学即练】 1．代数式因式分解的结果的是（    ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 4．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点4 分组分解法 1.分组分解法 对于一个整式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个整式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 2.添、拆项法 把整式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原整式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【即学即练】 1．因式分解： ． 2．因式分解： 3．因式分解： ． 4．已知，求m，n的值． 题型01 判断是否属于因式分解 【典例1】．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 用合适的方法因式分解（Ⅰ） 【典例1】．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．分解因式： 题型03 用合适的方法因式分解（Ⅱ） 【典例1】．分解因式： ． 【变式1】．因式分解： ． 【变式2】．因式分解 (1) (2) 【变式3】．因式分解： 题型04 利用因式分解简便计算 【典例1】．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【变式1】．简便计算： (1)； (2)． 【变式2】．利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 题型05 公因式；求另一个因式 【典例1】．式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【变式3】．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 题型06 根据因式分解的结果求参数 【典例1】．把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 题型07 看错问题 【典例1】．甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解结果为，那么分解因式正确的结果为 ． 【变式1】．两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的多项式为 【变式2】．因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 题型08 因式分解的应用—求代数式的值 【典例1】．已知，则的值为 ． 【变式1】．已知：，求的值 ． 【变式2】．如果，那么 ． 【变式3】．若，，则代数式的值是 ． 题型09 因式分解的应用—配方法（完全平方公式法） 【典例1】．已知，，且，，则，的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【变式1】．若，则M的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【变式2】．无论、为任何实数，代数式的值总是（   ） A．非正数 B．非负数 C．0 D．正数 题型10 因式分解的几何应用 【典例1】．如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为 ． 【变式1】．四个长宽分别为，的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为、的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【变式3】．如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当 时，这个长方形的周长最长为 ． 题型11 分类讨论十字相乘法 【典例1】．二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 【变式1】．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 题型12 新定义题 【典例1】．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 【变式1】．如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是 ． 题型13 解答题 【典例1】．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【变式1】．在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【变式2】．【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 【知识应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)用配方法因式分解：； (3)求的最小值． 【变式3】．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式分解因式，其结果是________； (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 一、单选题 1．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（      ） A． B． C． D． 3．多项式 的公因式是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 6．已知，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．3 D．2 二、填空题 7．因式分解： ． 8．因式分解： ． 9．因式分解： 10．因式分解： ． 11．如果x-3是多项式2x2-11x+m的一个因式，则m的值 ． 12．如果，那么的值是 ． 13．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 （用含a、b的代数式表示） 14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 三、解答题 15．因式分解 (1)； (2)． 16．分解因式 （1）                （2）        （3） （4）      （5）      （6） 17．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．分解因式： 19．已知，用因式分解法求的值． 20．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设m2-4m=n， 原式=n（n+8）+16 （第一步） =n2+8n+16     （第二步） =（n+4）2 （第三步） =（m2-4m+4）2（第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解______． A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式 （2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？______（填“是”或“否”）．若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果 ． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 21．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 （1）写出由图2所表示的数学等式：_________________； （2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________； （3）已知实数满足．求： ①的值； ②的值． 22．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而 所以 而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式 例：分解因式 解：如图3，其中，， 而，， 所以 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式：① ． ② ． （2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 因式分解 教学目标 1. 了解因式分解的概念； 2. 会用提公因式法和公式法对整式进行因式分解； 3. 会用十字相乘法和分组分解法对整式进行因式分解； 4. 因式分解的应用。 教学重难点 1.重点 （1）判断是否属于因式分解； （2）选择合适的方法进行因式分解； （3）利用因式分解求参数。 2.难点 （1）因式分解有关化简、变形、求值等； （2）因式分解的综合应用； （3）分类讨论思想。 知识点1 因式分解的意义 提取公因式法 1.因式分解：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解. 如：x²+x=x(x+1); x⁴-1=(x²+1)(x²-1)=(x²+1)(x+1)(x-1). 2.因式：其中，x、x+1是x²+x的因式，x²+1、x+1、x-1是x⁴-1的因式. 要点： 因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，如在x⁴-1因式分解的过程中，因式x²+1不能继续因式分解，x²-1还能继续因式分解为 (x+1)(x-1). 3.公因式 ①观察：ma+mb+mc的每一项，你有什么发现? 我们把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式. 由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得ma+mb+mc=m(a+b+c). 这就将ma+mb+mc分解成两个整式的积.其中，m是ma+mb+mc各项的公因式. 要点： （1） 公因式必须是每一项中都含有的因式. （2） 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式. （3） 公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 4.提取公因式法 如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 要点： （1）提取公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即ma+mb+mc=m(a+b+c). （2）用提取公因式法分解因式的关键是准确找出整式各项的公因式. （3）当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时整式的各项都要变号. （4）用提取公因式法分解因式时，若整式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【即学即练】 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错． 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B．，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； C．，是因式分解，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法因式分解，结合题意判断各项是否有公因式即可． 【详解】解：A、中公因式为3，则A不符合题意； B、中公因式为，则B不符合题意； C、中各项没有公因式，则C符合题意； D、中公因式为，则D不符合题意； 故选：C． 3．把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式进行分解因式，根据的公因式是，则把分解因式，应提取的公因式是，即可作答． 【详解】解：的公因式为， ∴把分解因式，应提取的公因式是． 故选：C． 4．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将多项式因式分解，即可得到结果． 【详解】解：∵ = ∴另一个因式是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练应用提公因式法解题关键． 5．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． （3）原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 知识点2 公式法 1.平方差公式 平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解. 如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解. 要点： （1）当整式的各项含有公因式时，通常先提取公因式，然后再考虑是否能进一步因式分解. （2）因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止. 2.完全平方公式 完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解.如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解. 举例分析： 因式分解：9x²-12x+4 要点： （1）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （2）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. 3.公式法：根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法． 4.因式分解步骤 （1）如果整式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 5.因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是整式； （2）最终把整式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止 【即学即练】 1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式，解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：选项A：，为两平方项相加，无法用平方差公式分解； 选项B：，提取公因式后剩余部分非平方差形式，无法进一步分解； 选项C：，仍为两平方项相加，不符合平方差条件； 选项D：，符合平方差公式，可分解为； 故选：D． 2．多项式中，能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是完全平方公式：，需要熟练掌握公式及其变式．根据完全平方公式的特征即可得出答案． 【详解】解：能用完全平方公式分解因式； 不能用完全平方公式分解因式； 能用完全平方公式分解因式； 故选：C． 3．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 4．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点3 十字相乘法 1.十字相乘法 一般地，如果二次三项式x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), 那么这样的因式分解的过程可以表示为 像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法. 要点： 常数项的因数分解往往有多种情况，此时选择的关键在于判断哪两个因数的和恰好等于一次项的系数. 2.二次项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 要点： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【即学即练】 1．代数式因式分解的结果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【详解】． 故选：A 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 【答案】D 【分析】根据题意直接利用十字相乘法，进行分析判断即可． 【详解】解：∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴另一个因式是， 即， ∴k的值为． 故选：D． 【点睛】本题考查利用十字乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 4．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【详解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6， ∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1， ∴整数m的值有4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键． 知识点4 分组分解法 1.分组分解法 对于一个整式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个整式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 2.添、拆项法 把整式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原整式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【即学即练】 1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 2．因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 首先将原式变形为，然后利用分组分解法分别提公因式得到，进一步提公因式分解即可． 【详解】 ． 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用分组分解法进行因式分解．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，后三项可以利用完全平方公式分解因式，且与第一项可以继续利用平方差公式分解因式，所以应考虑为一组． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．已知，求m，n的值． 【答案】m的值为，n的值为3 【分析】本题考查了完全平方公式，分组法因式分解，熟练掌握性质，活用公式是解题的关键． 利用完全平方公式，分组配方进行因式分解，后根据乘方的非负性计算即可． 【详解】解：， ， 即， ，， 解得：，， 的值为，n的值为3． 题型01 判断是否属于因式分解 【典例1】．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解即可． 【详解】解：．不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是多项式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，解题的关键是掌握：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫多项式的因式分解．据此分析即可作出判断． 【详解】解：A．，从左到右的变形是整式的乘法，故此选项不符合题意； B．，从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意； C．，从左到右的变形是因式分解，故此选项符合题意； D．，从左到右的变形虽然是因式的积，但因式不全是整式，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，则①不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，则②不是因式分解； 是乘法运算，则③不是因式分解； 符合因式分解的定义，则④是因式分解； 符合因式分解的定义，则⑤是因式分解； 中对象不是整式，则⑥不是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 题型02 用合适的方法因式分解（Ⅰ） 【典例1】．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解： （1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （4）利用平方差公式、完全平方公式分解因式 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】用十字相乘法分解因式求解即可． 【详解】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【变式2】．分解因式： 【答案】 【分析】先把二次三项式利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把多项式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的关键． 【详解】解： ． 题型03 用合适的方法因式分解（Ⅱ） 【典例1】．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取后，再运用平方差公式 进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用提公因式、平方差公式进行因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式解题即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式2】．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法继续分解即可解答； （2）先根据完全平方公式进行分组，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解—分组分解法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 【变式3】．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型04 利用因式分解简便计算 【典例1】．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1)22500 (2)4 【分析】本题考查的是利用完全平方公式进行简便运算； （1）把原式化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式1】．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用因式分解进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】．利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)20260 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型05 公因式；求另一个因式 【典例1】．式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分解因式，先由平方差公式分解因式得到、再由提公因式法分解因式得到，从而确定答案，熟练掌握提公因式法分解因式、公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解：；， 式子与的公因式是， 故选：A． 【变式1】．多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 【变式2】．把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故选：D． 【变式3】．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将多项式因式分解，即可得到结果． 【详解】解：∵ = ∴另一个因式是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练应用提公因式法解题关键． 题型06 根据因式分解的结果求参数 【典例1】．把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算和因式分解．先将展开，再合并同类项，根据同类项系数相等即可求解． 【详解】解：， 由于多项式跟上式是同一个式子，所以同类项的系数相等， 可得：，， 解得：，， 故选：C． 【变式1】．若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，求出参数的值即可． 【详解】解：， ∵多项式因式分解后的结果是， ∴，， ∴， 故选：C． 题型07 看错问题 【典例1】．甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解结果为，那么分解因式正确的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据甲、乙看错的情况下得出、的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键． 【详解】解：因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， ， 又乙看错了的值，分解的结果为， ， 原二次三项式为， 因此，， 故答案为：． 【变式1】．两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的多项式为 【答案】 【分析】由于看错了一次项系数即值看错而与的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开求出与的值；同样，看错了常数项即值看错而与的值正确，可将运用多项式的乘法法则展开求出的值，进而得出答案．本题考查的是因式分解的应用，掌握求解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ，； 又， ． ∵二次三项式为： 原多项式为， 故答案为：． 【变式2】．因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲看错了a的值可以知道，甲的分解结果中b的值是正确的，根据乙看错了b的值可以知道，乙的分解结果中a的值是正确的，据此即可得到a、b的值，进而得到答案． 【详解】解：∵甲看错了a的值， ∴， ∴； ∵乙看错了b的值， ∴， ∴， ∴分解因式正确的结果为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义． 题型08 因式分解的应用—求代数式的值 【典例1】．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值、平方差公式分解因式，首先用平方差公式分解因式可得：原式，把整体代入可得：原式，所以可得代数式的值为． 【详解】解：， 故答案为： ． 【变式1】．已知：，求的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解及偶次幂的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意等式可变形为，则有，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式2】．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值，先把变形为，再把变形为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【变式3】．若，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的综合运用及整体代入思想，正确进行因式分解是解决问题的关键．将代数式因式分解然后整体代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 题型09 因式分解的应用—配方法（完全平方公式法） 【典例1】．已知，，且，，则，的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、作商法比较．利用作差法比较、的大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 故答案为：． 【变式1】．若，则M的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，将转化为完全平方的和的形式，进行判断即可． 【详解】解： ， ∵， 当且仅当：时，， ∴不能同时为0， ∴，即：M的值一定是正数； 故选：C． 【变式2】．无论、为任何实数，代数式的值总是（   ） A．非正数 B．非负数 C．0 D．正数 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把原式变形为，再利用完全平方公式分解因式得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选；B． 题型10 因式分解的几何应用 【典例1】．如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，长方形的面积公式，由题意得，，再将要求的式子变形为，代入求解即可，掌握提公因式法是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：． 【变式1】．四个长宽分别为，的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为、的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阴影部分的面积为大长方形去掉四个小长方形，再根据图形找到m=a+2b进行代换即可判断． 【详解】阴影部分的面积是：大长方形去掉四个小长方形为：，故A正确； 由图可知：m=a+2b，所以，故B错误； 由图可知：m=a+2b，所以，故C正确； 由图可知：m=a+2b，所以，故D正确． 故选：B 【点睛】本题考查的是列代数式表示阴影部分的面积，从图形中找到m=a+2b并进行等量代换是关键． 【变式2】．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【答案】84 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 【变式3】．如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当 时，这个长方形的周长最长为 ． 【答案】 13或7 【分析】本题考查了因式分解的应用.根据十字相乘法，进行分类讨论，得出相应周长，即可解答． 【详解】解：当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 即或7时，这个长方形的周长最长为． 故答案为：13或7；． 题型11 分类讨论十字相乘法 【典例1】．二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 【答案】无数 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 【详解】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 【变式1】．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 题型12 新定义题 【典例1】．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 【答案】8100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数字类的规律探索，利用平方差公式求出，据此得到是从8开始且能被4整除的正整数，再把代入中，计算出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是大于等于2的正整数， ∴是从8开始且能被4整除的正整数， ∴第2024个智慧优数是， 故答案为：． 【变式1】．如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键． 设整理成，分解的因数，列方程组求出和，即可求最大值； 【详解】解：设；整理得：； 将左右两边同时乘以， 则； 则 ； 要求最大值， 所以为正整数， ∵ ∴当时， 解得：； 当时 （舍去） 当时， 解得：(舍去）， 当时， 解得：， 故最大为； 故答案为： 题型13 解答题 【典例1】．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【变式1】．在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分组分解因式，掌握乘法公式，提取公因式法因式分解是关键． （1）先分组为，运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）先分组为，运用提取公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】．【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 【知识应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)用配方法因式分解：； (3)求的最小值． 【答案】(1)16 (2) (3)3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将16化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴横线上添上一个常数项16使之成为完全平方式； 故答案为：16 （2）解： ； （3）解：， ， ∵是非负数， ∴， ∴， 即的最小值为1， ∴的最小值为3． 【变式3】．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式分解因式，其结果是________； (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【答案】(1)2，3 (2) (3)作图见解析， 【分析】此题考查多项式乘以多项式计算法则，多项式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需需要2号卡片，3号卡片的数量；    （2）根据因式分解方法分解即可； （3）利用因式分解得，即可画出图形． 【详解】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∴需要2号卡片2张，3号卡片3张， 故答案为：2，3； （2）解： 故答案为； （3）利用拼图分解因式： 如图所示： ． 一、单选题 1．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：①，属于整式乘法，不属于因式分解； ②，等式从左到右的变形属于因式分解； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故A错误，不符合题意； B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误，不符合题意； C、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，C项符合，故C正确； D、不满足因式分解必须是整式的要求，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解． 3．多项式 的公因式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案． 【详解】解： = ∴多项式 的公因式为． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了公因式，利用了公因式的定义． 4．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】A. 只有两项，不符合完全平方公式；     B. 其中    、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式； C. ，其中与    不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式； D. 符合完全平方公式定义， 故选：D. 【点睛】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键. 5．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法等知识．等式右边利用多项式乘以多项式法则，将化简成形式即可解题． 【详解】解： ， ，， 故选：C． 6．已知，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解以及代数式求值，将转化为是解题关键．将转化为，然后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 二、填空题 7．因式分解： ． 【答案】 【分析】先把原式化为 再利用平方差公式分解因式，再把其中一个因式按照平方差公式继续分解，从而可得答案. 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，注意分解因式一定要分解到每个因式都不能再分解为止. 8．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法可进行分解因式． 【详解】解：原式； 故答案为． 9．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据平方差公式及提公因式进行因式分解． 【详解】解：原式； 故答案为． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】直接提取公因式整理即可． 【详解】解：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了提取公因式因式分解，解题的关键是找准公因式． 11．如果x-3是多项式2x2-11x+m的一个因式，则m的值 ． 【答案】15 【分析】如果x－3是多项式2x2－11x＋m的一个因式，即方程2x2－11x＋m＝0的一个解是3，代入方程求出m的值． 【详解】把x＝3代入方程2x2－11x＋m＝0中得18－33＋m＝0，解得：m＝15． 故答案为15． 【点睛】本题主要考查的是因式分解一的意义以及一元二次方程的解，因式分解法解方程，分解成两个因式相乘值为0的形式，每一个因式为0，即可求出其中一个解．本题用的是逆向思维求m的值熟练掌握方法是本题的解题关键． 12．如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】首先需要先将变形为 ，经过提公因式得到 ，将整体代入即可． 【详解】解： 将代入，得到． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，寻找公因式是解题的关键． 13．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 （用含a、b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解，解题的关键是掌握正方形，长方形的面积公式及因式分解．根据题意表示出长方形的面积，利用因式分解转化为多项式与多项式的积，即可确定长方形的长和宽，继而得到长方形的周长． 【详解】根据题意，长方形的面积为 ∴边长为和， ∴周长为； 故答案为： 14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第9个智慧优数是， 故答案为：． 三、解答题 15．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）直接提取公因式分解因式即可； （2）直接提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 16．分解因式 （1）                （2）        （3） （4）      （5）      （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）利用平方差公式分解即可； （2）首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解即可； （3）利用平方差公式分解即可； （4）首先提取公因式x-y，进而利用平方差公式分解即可； （5）首先提取公因式x2，进而利用平方差公式分解即可； （6）先分组，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解． 【详解】解：（1） =； （2） = =； （3） = = =； （4） = =； （5） = =； （6） = = = 【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法、分组分解法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 17．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解； （2）根据平方差公式计算即可求解； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 18．分解因式： 【答案】 【分析】先把二次三项式利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把多项式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的关键． 【详解】解： ． 19．已知，用因式分解法求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是因式分解和整体代入法求值，先将原式提公因式进行因式分解，最后整体代入求解． 【详解】解： ∵， ∴原式 20．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设m2-4m=n， 原式=n（n+8）+16 （第一步） =n2+8n+16     （第二步） =（n+4）2 （第三步） =（m2-4m+4）2（第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解______． A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式 （2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？______（填“是”或“否”）．若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果 ． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C；（2）否，；（3） 【分析】（1）从第三步的结果得出结论； （2）观察最后结果中的x2-4x+4是否还能因式分解，得出结论； （3）设，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解． 【详解】解：（1）由n2+8n+16=（n+4）2 得出运用了两数和的完全平方公式， 故选C． （2）该同学没有完成因式分解， ==， 故答案为：否，； （3）设， 则原式= = = = = 【点睛】本题考查了因式分解，主要是考查学生对于完全平方公式和换元法进行因式分解的掌握情况，要求学生在换元分解，回代之后还要再观察是否能够继续进行因式分解，很多学生会忘记继续分解，是一个易错点． 21．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 （1）写出由图2所表示的数学等式：_________________； （2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________； （3）已知实数满足．求： ①的值； ②的值． 【答案】（1）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；（3）①0；②1 【分析】（1）大正方形的面积等于6个长方形和3个小正方形的面积和； （2）图中阴影部分面积为正方形等于阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积； （3）①将（1）式子变形ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再结合已知条件，将式子逐步代入，得到1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解． 【详解】解：（1）大正方形的面积为（a+b+c）2， 9个长方形和小正方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， ∴（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）图中阴影部分面积为正方形，则有（a-c-b）（a-b-c）=（a-b-c）2， 阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积，即a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc， ∴（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc； （3）①由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 可得ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]， ∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1， ∴ab+bc+ca=0； ②∵（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc， ∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1， ∴1=a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc=a3+b3+c3+3[b（1-b2）+a（1-a2）+c（1-c2）]+6abc， 1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc， ∴1=3-2（a3+b3+c3）+6abc， ∴a3+b3+c3-3abc=1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用；根据一个图形面积的不同求法，利用面积相等，得到相应的表达式，再将表达式进行适当的变形，用代入法求值是解题关键． 22．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而 所以 而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式 例：分解因式 解：如图3，其中，， 而，， 所以 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式：① ． ② ． （2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】（1）；；（2）61或-82． 【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论； （2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可． 【详解】解：（1）①如下图，其中， 所以，； ②如下图，其中， 而， 所以，； （2）如下图，其中， 而 或， ∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82． 【点睛】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$