第1章 重难专题2 等腰三角形中的分类讨论-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（苏科版2024）

数 学 八年级上册 苏科版 1 2 第1章 三角形 3 重难专 题2 等腰三角形中的分类讨论 4 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 难关 类型1 遇边或角需讨论 1.［2024山东济南期末,中］等腰三角形的周长为,其中一边长为 ,则该 等腰三角形的腰长为( ) C A. B. C.或 D. 【解析】分情况考虑：当是腰长时，则底边长是 ，长为 ,,的线段能组成三角形.当 是底边长时，腰长是 ，长为,, 的线段能组成三角形.故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 2.［2024浙江绍兴期中,中］若一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的一半， 则此三角形底角度数为__________. 或 思路分析 设这个三角形的底角的度数为 ，分两种情况：①底角是顶角的2倍；②顶角是底 角的2倍,再根据三角形的内角和定理求解即可. 【解析】设这个三角形的底角的度数为 .由题意分以下两种情况：①这个三角形 的三个角的度数分别为,,，由三角形的内角和定理得 ，解得 ；②这个三角形的三个角的度数分别为,, ，由三角形的内角和定理 得 ，解得 ，故答案为 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 类型2 遇中线、高或垂直平分线需讨论 3.［中］等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角形底角的度 数为( ) C A. B. C. 或 D. 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 【解析】由题意得在等腰中，，为腰上的高， . 当在内部时，如图（1）.， ， ， .当在 外部时，如图（2）. ， ， 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 ， ， .综上所述， 这个等腰三角形底角的度数为 或 ．故选C． 关键点拨 注意分两种情况讨论：①当在内部时；②当在 外部时． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.［2024湖北武汉武昌区校级期中，较难］已知等腰三角形中， ， 两腰的垂直平分线交于点， ，则等腰三角形的顶角为( ) C A. B. C. 或 D. 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 图（1） 【解析】分两种情况：当点在 内部时，如图（1），连接 ，， . 因为和的垂直平分线交于点，所以 ，所以 ，， .因为 ，所以 .因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 图（2） 当点在外部时，如图（2），连接，，.因为 和 的垂直平分线交于点，所以 ，所以 ，.因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .综 上所述，等腰三角形的顶角为 或 .故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 5.［中］已知等腰三角形的底边长为 ，一腰上的中线把三角形的周长分为两 部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的腰长为____ . 15 易错警示 设等腰三角形的腰长是,根据周长的其中一部分比另一部分长 列方程求解 即可,注意分类讨论，不要漏解. 【解析】如图，设等腰的腰长是 ．当 时， ，解得 .长为15，15，10的线段能够组成三角形.当 时， ，解得 .长为5，5，10的线段不能组成三角形．故这个三角形的腰长为 ．故答 案为15． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 类型3 遇动点、动线段需讨论 6.［2025陕西西安期中，中］如图，在 中， ， .点为直线 上一动点，若以 点与 三个顶点中的两个顶点为顶点的三角形是等腰三 角形，那么满足条件的点 的位置有( ) C A.4个 B.6个 C.8个 D.9个 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 【解析】 在中， ， 时， 为等腰三角形.当 时， 为等腰三角形.当 时，为等腰三角形.当与重合时， 为等 腰三角形.当与重合时，为等腰三角形.当 时， ， 。 . 如图，当 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 为等腰三角形.当 时， 为等腰三角形.当 时， 为等腰三角形. 综上，满足条件的点 的位置有8个.故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.［较难］如图，在中，， ，边 绕 点顺时针旋转得到线段，连接, .若 为等腰三角形，则 所有可能的取值是_______________. 130或100或160 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 【解析】由旋转的性质得为等腰三角形， 分三种情况： ①当时，易得 , ，；②当 时，易 得, ，；③当 时，易 得, ， ，.综上所述, 所有可能的取值 为130或100或160.故答案为130或100或160． 关键点拨 根据为等腰三角形,分,, 三种情况讨论. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 类型4 构造等腰三角形时需讨论 8.［2025贵州贵阳期末，中］如图，在 中 ， ，以为边作等腰，使点 落在 的边上，则点 的位置有( ) C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 方法技巧 “两圆一中垂”构造等腰三角形 已知两点,，找点使得 为等腰三角形： 分类讨论: 若,则点在以点为圆心,线段 的长为半径的圆上; 若,则点在以点为圆心,线段 的长为半径的圆上; 若,则点在线段的垂直平分线 上.以上简称“两圆一中垂”. “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点, ,还要除去因 共线无法构成三角形的点,,以及线段的中点 （共除去5个点）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 【解析】如图，①以为腰时，以为圆心、长为半径画圆，与 有一个交点 ； 以为圆心、长为半径画圆，与有一个交点，与有一个交点，分别为 ， .②以为底时，作的垂直平分线，与有一个交点.综上可知，点 的 位置有4个，故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 9.［中］如图，有一个三角形纸片，为最长边, ，点是 边上 一点，沿方向将三角形纸片剪开后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则 的 度数可以是__________. 或 思路分析 分,,三种情况讨论，先求出,再求出 ,然后 根据等腰三角形的性质列式计算即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 【解析】由题意知与均为等腰三角形，对于 可能有 ，此时 ， ， ; ，此时 ， ， ; ，此时 ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 ， . 此时 ，则为最长边，与为最长边矛盾，故舍去.综上所述， 的度数可以为 或 ．故答案为 或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$