1.5.1 等腰三角形的性质-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（苏科版2024）

数 学 八年级上册 苏科版 1 2 第1章 三角形 3 1.5 等腰三角形 课时1 等腰三角形的性质 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 等边对等角 1.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路 ，道路 与的夹角 ．城市规划部门想新修一条道路 ，要求，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】， ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 2. ［2025江苏苏州质检］我们定义：等腰三角形的顶角与一个底角度数的 比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作，若 ，则该等腰三角形的顶角为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】如图.在中，， ， .又 , ， ， 故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 （第3题图） 3.［2024湖南岳阳期末］已知锐角 ，如图，按下列 步骤作图：①在边上取一点，以为圆心， 长为半径画 弧，交于点，连接.②以为圆心， 长为半径画弧，交 于点，连接，则 的度数为____. 【解析】由作图步骤①可知， 在 中， ， ， .由作图步骤②可知 ，是 的一个外角， ， .故答案 为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （第4题图） 4.如图，中，， ，点是 内一点， 连接，，若，则 的度数是______． 【解析】中，， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 5.［2024江苏常州新北区期中］如图，，是的边 上的两点，并且 ，则 的度数是______. 【解析】， ， ，.又， ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点2 三线合一 （第6题图） 6.［2025福建厦门质检］如图，在中，， ， 若，则 的长是( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】，，， ，故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 7.［2025江苏苏州期中］如图，在等腰中，，为 延长线上一 点，且，垂足为，连接，若，则 的面积为___. 9 （第7题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 【解析】如图,过作于，过作于， , ， ， .在 与 中，， ， 的面积为 ，故答案为9． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 思路分析 过作于，过作于 ，利用等腰三角形的性质与全等三角形的 判定和性质解题即可． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 8.如图，在中， ，为边 上的点，且 ，为线段的中点，过点作，过点 作 ，且，相交于点 . （1）求证： . 【证明】，为线段的中点， ， ， . （2）求证： . 【解】，，， . 又 ，，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 刷易错 易错点 忽略对等腰三角形中的顶角和底角进行分类讨论导致错误 9.等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少 ，则等腰三角形顶角的度数为____ _____________. 或 或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 【解析】设另一个角的度数是，则这个角的度数是 . ①当度数为的角是顶角，度数为 的角是底角时， ，解得 ，所以顶角的度数是 ； ②当度数为的角是底角，度数为 的角是顶角时， ，解得 ，所以顶角的度数是 ； ③当度数为与 的角都是底角时， ，解得 ，所以 顶角的度数是 . 综上所述，这个等腰三角形顶角的度数是 或 或 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 易错警示 本题没有明确说明顶角和底角，故要分情况讨论，再根据三角形内角和定理列方 程解题即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 1.［2025江苏南通质检，中］已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 ，那么这个等腰三角形的顶角等于( ) D A. 或 B. C. D. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 【解析】如图,，.如图（1）， ，则 ； 如图（2）， ， ， ．故这个等腰三角形的顶角等于 或 ． 图（1） 图（2） 易错警示 注意分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 （第2题图） 2.［2024江苏泰州靖江质检，中］如图，在 中， ，是边上一点，将沿翻折，使点 落到 点的位置，边与边交于点，如果 ，那 么 的度数为_ ______. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解析】，.令 ，由折叠的性质可得 ， ， ， .由翻折可知 ， .在 中， ，即 ，解得 ， .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 （第3题图） 3.［中］如图，在中，点为 边上一点， 垂直平分，交于点，交于点 ，连接 ,.当 ， 时， 的度数为___ . 45 【解析】， ， ， ，垂直平分 ， ， ， .故答案为45. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 4.［2024陕西西安临潼区期中，中］如图，等腰底边 的长 为，面积是，腰的垂直平分线交于点，交 于点，若为边上的中点，为线段上一个动点，则 周长的最小值为___ . 9 【解析】连接,是等腰三角形，点是 边的中点， ，， ， .是线段的垂直平分线，, 的周长为 .又, 当,, 三点共线时， 周长有最小值，为 .故答案为9. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 5.［2024江苏无锡质检，较难］在中，的垂直平分线分别交， 于 点，，的垂直平分线分别交，于点，，若 ，则 ___________. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 【解析】当为锐角时，如图（1）.设 ， ， ， ，， 分别垂直平 分，，， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 当为钝角时，如图（2）.，分别垂直平分， ， ， ， ， ， ， .综上所述， 或 .故答案为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 易错警示 此题中， 可能为锐角，也可能为钝角，需要分两种情况进行讨论求解， 注意不要漏解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 6.［中］如图，在中，，点在高上，且，连接 并 延长交于点 . （1）求证： . 【证明】，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 （2）若是等腰三角形，求 的度数. 【解】①当时, ， .设 ，则 ， ， ， ， , . ②当时,，.设 ，则 ， ， ， ， ， ， . 综上所述，的度数为 或 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 思路分析 （1）根据等腰三角形的性质得到，由 ，得到 ，于是得到结论； （2）分两种情况：； .运用等腰三角形的性质、三角形外 角的性质及三角形内角和定理即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 7.［2024湖南娄底期中，中］如图，在等腰 中， ，点在上，且 . （1）若 ， ，求 的度数. 【解】 ， ， . ，， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （2）若， ，求 的度数. 【解】 ，, ， , ， ， ，即 的度数 是 . （3）猜想与 的数量关系.（不必证明） 【解】与的数量关系是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 刷素养 走向重高 8.思想方法 数形结合［2025江苏扬州质检，较难］某数学兴趣小组开展了一次活 动，过程如下：如图,已知 .现把等长的小棒依次摆放在 射线,之间，并使小棒两端分别落在射线,上. 为第一根小棒，且 ，若只能摆放4根小棒，则 的范围为_______________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 【解析】， ， ， ， ， ， .同理, 只能摆放4根小棒， 且 ，解得 ，故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 $$