第14章 大招专题3 构造全等三角形的常用方法-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（人教版2024）

数 学 八年级上册 RJ 1 2 第十四章 全等三角形 3 大招专 题3 构造全等三角形的常用方法 4 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 难关 母题学大招14 倍长中线法 1.［中］如图，是的中线，点在的延长线上， ， ，试说明： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 6 【解】如图,延长至，使 . 因为是的中线，所以 . 在和中， 所以 ，所以 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 7 因为，所以 . 因为，所以，即 . 在和中， 所以，所以 . 因为，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 大招解读 倍长中线法 “倍长中线法”就是将三角形的中线延长一倍，构造出全等三角形，从而运用全 等三角形的有关知识来解决问题的方法. 基本模型 常见模型 _____________________________________________ ________________________________________ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 9 子题练变式 2.［2025江苏南京质检，较难］ （1）如图（1），在中，，，求边上的中线 的取值范围. 图（1） 【解】 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 10 图（1） 【解】 如图（1），延长到，使得，则 是 的中点，.在和 中， ， .在 中，由三角形的三边关系可得 ，即 ，， ， ，边上的中线的取值范围为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 11 （2）如图（2），是的中线，， ， ，试探究线段与 的数量和位置关系，并加以证明. 图（2） 【解】且 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 12 图（2） 【解析】且.证明如下：如图（2），延长 到，使得，延长交于点 .同（1）可证 ，， ， ， ， ， ， ， ， ，.在和 中， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 13 ， ， ， ， ,.综上所述，且 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 母题学大招15 截长补短法 3.［中］如图，已知四边形中，，若 的平分线 交于，连接，且恰好平分，求证: . 图（1） 【证明】补短法:如图（1），延长至点,使,连接 . 因为，所以 .因为平分， 平分，所以, ,所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 在和中，所以 ， 所以 ，,所以,,三点共线.因为 ,所以 . 在和中， 所以，所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 图（2） 截长法:如图（2），在上截取，连接.因为 ， 所以 .又因为平分，平分 ， 所以, ,所以 ，所以 ， 即 . 在和中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 又因为 ，所以 ，所以 . 在和中， 所以，所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 大招解读 截长补短法 “截长补短法”的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或 将某条线段延长，使之与特定线段相等，构造出全等三角形,再利用全等三角形的 有关性质解决问题.当题目中出现线段和差关系的时候，一般都可以用“截长补短 法”求解. 思路分析 由于与和之间没有什么直接的联系，所以必须通过作辅助线建立与 和之间的联系，进而求解.可以在上截取，连接 ，证明 ；也可延长至点，使,连接,证明 ， 进而得出三条线段之间的关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 19 子题练变式 4.［中］如图,已知：在正方形中，的平分线交于 ，试说明： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 图（1） 【解】方法一：（补短法）如图（1）,延长至，使 ,连 接.因为平分,所以 . 在和中， 所以，所以 .又因为 ,所以是等腰直角三角形，所以 ，所 以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 图（2） 方法二：（截长法）如图（2），在上截取，连接 .因 为是的平分线，所以 . 在和中， 刷有所得 截长法和补短法可以根据题目条件灵活应用. 所以 ， 所以， . 因为 ,所以 是等腰直角三角形，所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 $$