第2章 全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年八年级上册数学同步课件（鲁教版 五四制）
2025-09-05
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学鲁教版（五四制）（2012）八年级上册 |
| 年级 | 八年级 |
| 章节 | 本章复习与测试 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 山东省 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 4.08 MB |
| 发布时间 | 2025-09-05 |
| 更新时间 | 2025-09-05 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2025-08-05 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/53343728.html |
| 价格 | 4.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
内容正文：
数 学
八年级上册 LJ
1
2
第二章 分式与分式方程
3
全章综合训练
4
刷中考
刷章测
目 录
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5
中考
考点1 分式有（无）意义及分式值为0的条件
1.［2024湖南长沙中考］要使分式有意义，则 需满足的条件是_______.
【解析】由题可知，当时，分式有意义，解得.故答案为 .
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2.［2024甘肃甘南州中考］若分式的值为0，则 的值为____.
【解析】 分式的值为0，且 ，解得
.
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易错警示
分式的值为0，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0.
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考点2 分式的化简求值
3.［2024天津中考］计算 的结果等于( )
A
A.3 B. C. D.
【解析】原式 .故选A.
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4.［2024河北中考］已知为整式，若计算的结果为，则
( )
A
A. B. C. D.
【解析】 计算的结果为， ，
， .故选A.
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5.［2024黑龙江绥化中考］化简： ____.
【解析】原式.故答案为 .
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6.［2024四川内江中考］已知实数，满足的两根，则 ___.
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【解析】.，
原式 .
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关键点拨
先将 进行通分是解题的关键.
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7.［2024山东烟台中考］利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如
下： ，若是其显示结果的平方根，先化简： ，再
求值.
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【解】
.
，的平方根为 .
，.又为的平方根，， 原式
.
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8.［2024山东滨州中考改编］欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他
不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹.设
，，为两两不同的数，称
为欧拉分式.
（1）当,,均不为0时，写出 对应的表达式；
【解】由题意，得
.
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（2）化简 对应的表达式.
【解】由题意，得 .
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考点3 解分式方程
9.［2024江苏无锡中考］分式方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
【解析】，解得.检验，当时，， 是原分式
方程的解.故选A.
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10.［2024四川遂宁中考］分式方程的解为正数，则 的取值范围
( )
B
A. B.且
C. D.且
【解析】去分母得，解得 .由方程的解为正数，得到
，且，则的取值范围为且 ．故选B．
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11.［2024黑龙江龙东地区中考］已知关于的分式方程无解，则 的
值为( )
A
A.或 B. C.或 D.
【解析】，化为整式方程为 关于 的分式方程
无解，，解得，则，解得 ;
，解得.综上,或 .故选A.
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思路分析
先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解的两种情况：①整式方程的解
是分式方程的增根；②整式方程无解，列出关于 的方程，解之即可．
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12.［2024北京中考］方程 的解为________.
【解析】，方程两边同乘，得，解得 .
经检验，是原方程的解，故答案为 .
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13. 开放性试题 ［2024四川广元中考］若点满足 ，则称点
为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标______________________．
（答案不唯一）
【解析】等号两边都乘，得.令，则， “美好点”的坐
标为，故答案为 （答案不唯一）.
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14.［2024重庆中考B卷］若关于的一元一次不等式组 的解集为
，且关于的分式方程 的解均为负整数，则所有满足条件的整
数 的值之和是____.
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【解析】解不等式①，得，解不等式②，得 .
由题意得，解得.解方程，得，且
为负整数,则有以下几种情况:当时，；当 时，
（不合题意，舍去）；当时， .综上,符合条件
的的值有8，4，， 所有满足条件的整数 的值之和是12.
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思路分析
先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再将 的
值进行相加求解.
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15.［2024陕西中考］解方程： .
【解】去分母得，去括号得 ，移项、合
并同类项得 .
检验：把代入，得， 是
原方程的解.
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考点4 分式方程的应用
16.［2024宁夏中考］数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6
个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数
量的2倍.设乙每小时做 个盒子，根据题意可列方程( )
C
A. B. C. D.
【解析】乙每小时做个盒子，则甲每小时做个盒子.由题意，得 .故
选C.
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17.［2024内蒙古呼和浩特中考］2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的
专属汉字“辰”为名.某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单
价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2 400元购进小号“龙辰辰”的数量是用
2 200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为____元.某
网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不
超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”
的售价比小号“龙辰辰”的售价多 .若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该
网店所获最大利润为_______元.
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【解析】设小号“龙辰辰”的单价为元，则大号“龙辰辰”的单价为 元.
根据题意，得，解得.经检验, 是原方程的解，且符
合题意，所以 ，即大号“龙辰辰”的单价为55元.设该网店购进大号
“龙辰辰”个，则购进小号“龙辰辰”个.由题知， ，
解得 .因为小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号
“龙辰辰”的售价多，所以大号“龙辰辰”的售价为
（元）.设该网店获得的利润为 ，则
.又因为 ，所以当
时，取得最大值,为 ，所以该网店所获最大利润为1 260元.故答案
为55， .
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18.［2024四川雅安中考］某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3 000
米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的
工效比原计划增加 ，结果提前15天完成铺设任务.
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米.
【解】设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道 米.
根据题意，得，解得 .
经检验,是原分式方程的解，且符合题意，， 原计划与实际
每天铺设管道各为40米，50米.
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（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每
天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应
安排多少名工人施工？
【解】设该公司原计划应安排名工人施工， （天）.
根据题意，得，解得， 该公司原计划最多应安排8名
工人施工.
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19.［2024山东青岛中考］为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计
划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多
35元，用2 000元购买航空模型的数量是用1 800元购买航海模型数量的 .
（1）求航空和航海模型的单价；
【解】设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为 元.根据题意，得
，解得.经检验， 是原分式方程的解，且符合题
意，， 航空模型的单价为125元，航海模型的单价为
90元.
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（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠.若购买航
空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的 ，请问分别购买
多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【解】设购买航空模型个，购买航海模型个,学校花费元. 航空模
型数量不少于航海模型数量的，，解得 .根据题意,得
.
， 当时，取最小值，最小值为 ，
此时， 购买航空模型40个，航海模型80个，学校花费
最少.
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章测
一、选择题（每小题4分，共24分）
1.［2024山东济南历下区期中］下列分式中，是最简分式的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】，不是最简分式，A不符合题意； ，不是
最简分式，B不符合题意；是最简分式，C符合题意； ，不是
最简分式，D不符合题意.故选C.
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2.［2025山东东营期末］若把分式中的和 都扩大为原来的3倍，则分式的值
( )
B
A.不变 B.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的 D.扩大为原来的9倍
【解析】将，都扩大为原来的3倍后，原分式变为，
分式的值扩大为原来的3倍.故选B.
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另解
特殊值法，如：取， ，分别计算扩大前、后分式的值，即可得出结论.
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3.［2025山东泰安质检］若分式的运算结果为，则在“ ”中添加的运
算符号为( )
D
A. B.- C.或× D.-或
【解析】，， ，
.故选D.
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4.［2025河北石家庄质检］已知关于的方程 ，下列说法错误的是( )
C
A.当时， B.当 时，原方程无解
C.当为正数时， D.当为负整数时， 有4个整数值
【解析】原方程整理，得.当时，，解得 ，经
检验，是原方程的解， 原方程的解为 ，故选项A正确，不符合题意.
当时，原方程无解，故选项B正确，不符合题意.当为正数时， ，
且，且，故选项C错误，符合题意.当 为负整数，
且为整数时，或3或2或1，或6或5或4， 有4个整数值，故
选项D正确，不符合题意.
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5.商家常将单价不同的A,B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为
A,B两种糖的总价与A,B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相
同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种
糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什
锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为( )
B
A.50元/千克 B.60元/千克 C.70元/千克 D.80元/千克
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【解析】设A种糖的单价为元/千克，则B种糖的单价为 元/千克，“什锦
糖”甲的单价为元/千克，“什锦糖”乙的单价为 元/
千克.根据题意，得，解得 ，经检验，
是原分式方程的解，且符合题意，所以A种糖的单价为60元/千克．故选B．
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6.［2023山东济宁中考］已知一列均不为1的数，，， ， 满足如下关
系：，，， ，，若，则 的
值是( )
A
A. B. C. D.2
【解析】由题意得，，， ，
，， ，的值以2，，， 为
一个循环周期的规律出现.，的值是 .故选A.
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关键点拨
通过计算出，，，，的值归纳出 的值出现的规律是解题关键.
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二、填空题（每小题4分，共16分）
7. 开放性试题 ［2024河南焦作期末］写出一个分式，并保证无论字母取何
值分式均有意义：___________________.
（答案不唯一）
【解析】 无论字母取何值，，， 无论字母 取何值，
分式均有意义.故答案为 （答案不唯一）.
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8.［2025山东威海期中］如果关于的方程有增根，那么 的值为
____.
【解析】方程两边同乘，得， 原分式方程有增
根，，，.故答案为 .
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9. 传统文化 ［2024陕西西安雁塔区调研］我国古代著作《四元玉鉴》记载
“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱
准与一株椽.”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽
的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
6 210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为 株，则可列分式方程为___________
____.
【解析】由题意可得.故答案为 .
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10.若正数，，满足，，，则 ___.
【解析】，，，都为正数，.， .
，.② 由①②解得，， ，
， .
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三、解答题（共60分）
11.［2024山东泰安泰山区期中］解方程：
（1） ；
【解】，去分母，得，解得 .检验：当
时，， 是原分式方程的解.
（2） .
【解】，去分母，得，解得 .检验：
当时，， 是原分式方程的增根，故原分式方程
无解.
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12.［2025山东东营期中］先化简，再求值：
（1）已知，求 的值；
【解】原式 .
因为，即，所以原式 .
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（2），从的范围内选取一个合适的 的整
数值代入求值.
【解】原式 .
因为在中的整数的值有，，0，当 ，1时,分式无意义，
所以令，原式或令,原式 .
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13.阅读下面材料，解答后面的问题.
解方程： .
解：设，则原方程化为 ，方程两边同时乘，得 ，解
得 .
经检验,都是方程的解， 当时， ，解得 ；
当时，，解得.经检验,, 都是原分式方程的解，
原分式方程的解为或 ．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
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（1）若在方程中，设 ，则原方程可化为
_ ________________________________________________________________；
【解】将代入方程，则原方程化为.故答案为.
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（2）若在方程中，设 ，则原方程可化为
_ ____________________________________________________________；
将代入方程，则原方程可化为.故答案为.
（3）模仿上述换元法解方程 ．
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【解】原方程化为.设，则原方程化为 ，方程两边同
时乘得，解得.经检验，都是方程 的解，分情
况求解如下：
①当时， ，该方程无解；
②当时，，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解.
综上所述，原分式方程的解为 ．
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本题介绍的方法实质上仍是运用整体代换的思想.
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14.［2024四川绵阳中考］为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、
乙两种花卉布置公园走廊.预算资金为2 700元，其中1 200元购买甲种花卉，其余
资金购买乙种花卉.已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购
买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株.
（1）求甲、乙两种花卉每株的价格；
【解】设甲种花卉每株的价格为元，则乙种花卉每株的价格为 元.由题意得
，解得.经检验， 是原分式方程的解，且符合题
意，， 甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价
格为30元.
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（2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售.已知该部门需
购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1 000
元.求购买这两种花卉有几种方案,并计算所需费用的最小值.
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【解】设该部门需购买甲种花卉株，则需购买乙种花卉 株.由题意，得
解得 .
为正整数，，46，47，48，49，50， 购买这两种花卉有6种方案.
设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为 元.由题意得
，随 的增大而
减小， 当时，有最小值,为 .故购买这两种花
卉有6种方案，所需费用的最小值为2 680元.
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15.定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“ 阶分式”．
例如，分式与 互为“3阶分式”．
（1）分式 与 ______________________________________________________
________________________ 互为“5阶分式”.
【解】设另外一个分式为，则 ，解得
．故答案为 ．
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（2）设正数，互为倒数，求证：分式与 互为“2阶分式”.
【证明】由题意得，则 ．
把代入 ，得
原式 ,
分式与 互为“2阶分式”．
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（3）若分式与互为“1阶分式”（其中，为正数），求 的值．
【解】与 互为“1阶分式”，
, ,
， ．
又，为正数， ．
思路分析 将未知分式这个整体设为 ，根据题意列出方程，求解即可.
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