考点01 集合4类常见考点全归纳讲义——备战2026年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点01 集合4类常见考点全归纳 1． 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． 2． 理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3． 理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集． 4．能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算． 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合的概念 考向1 根据元素与集合的关系求参数 考向2 利用集合中元素的性质求集合个数 考向3 根据集合中元素的个数求参数 考向4 集合的表示(列举法、描述法) 考点二 集合间的基本关系 考向1 集合间基本关系的判定 考向2 （真）子集的列举与个数的计算 考向3 根据子集、真子集的个数求参数 考向4 根据集合相等求参数 考向5 根据集合的包含关系求参数 考点三 集合的基本运算 考向1 集合的运算 考向2 利用集合的运算求参数 考点四 Venn图的应用及创新性问题 考向1 Venn图的应用 考向2 集合新定义 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号∈和表示． (3)集合的三种常用表示方法：列举法、描述法和图示法． (4)五个特定的数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或(B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AÞB或(BÞA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集． 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 表示 集合 表示 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝ {x|x∈U，且x∉A} [常用结论] 1．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A． 2．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 考点一 集合的概念 考向1 根据元素与集合的关系求参数 【典例】(2025·广东深圳中学模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为(　　) A．－1，2 B．－3 C．－1，－3，2 D．－3，2 【巩固训练】 1．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 考向2 利用集合中元素的性质求集合个数 【典例】(2024·江苏南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________． 【巩固训练】 1．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 2．（24-25高二下·北京·期中）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 3．【多选】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（    ） A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17 C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9 考向3 根据集合中元素的个数求参数 【典例】（2024·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 【巩固训练】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 2．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 3．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 考向4 集合的表示(列举法、描述法) 【典例1】【多选】（2024·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·高三课时练习）已知集合，用列举法表示M＝______． 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 2．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 . 考点二 集合间的基本关系 考向1 集合间基本关系的判定 【典例】(2024·江苏南通三模)已知集合M＝，N＝，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·云南·阶段练习）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 考向2 （真）子集的列举与个数的计算 【典例】（2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【巩固训练】 1．（24-25高二下·湖北荆州·期末）已知集合，则在的所有子集中，恰有2个元素的集合个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．15 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 考向3 根据子集、真子集的个数求参数 【典例】若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 【巩固训练】 1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是 考向4 根据集合相等求参数 【典例】（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）若，，，且，求的值． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，若集合，则的值为 ． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）若由组成的集合与由组成的集合相等，则的值为 ． 考向5 根据集合的包含关系求参数 【典例】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． 【变式1】在本例中，若把B⊆A改为BÞA，则实数m的取值范围是________． 【变式2】本例中若把B⊆A改为A⊆B，则实数m的取值范围是________． 　已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加． 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 【巩固训练】 1．（广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题）设集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，若，则的取值范围为 ． 考点三 集合的基本运算 考向1 集合的运算 【典例1】(1)(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1，4} (2)(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A． B． C． D． (3)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________． 【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽安庆·期末）若全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 考向2 利用集合的运算求参数 【典例1】（2024·高三课时练习）已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围. 【典例2】已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－2] C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4] 解决集合运算问题的注意点 (1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值． (2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了． (3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图． (4)端点值验证． 【巩固训练】 1．（22-23高二下·黑龙江鸡西·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 考点四 Venn图的应用及创新性问题 考向1 Venn图的应用 【典例1】（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【典例2】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（    ） A．365 B．256 C．484 D．516 2．（2025高一上·全国·专题练习）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 考向2 集合新定义 【典例】定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－的子集个数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 【巩固训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知非空集合满足以下四个条件： ①； ②； ③中的元素个数不是中的元素； ④中的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数是 ． 3．【多选】（25-26高一上·全国·单元测试）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 一、单选题 1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 2．用符号“”或“”填空： 0 N； N；0.5 Z； Z； Q； R. 3．若集合P={x|3<x≤22}，非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值集合为 . 4．规定与是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数有:,.若且,则用列举法表示集合 ． 三、解答题 5．用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． 6．已知，且，求的取值范围. 7．用区间表示下列集合： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 8．写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 9．已知集合，且，求的值. 10．图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示： （1）； （2）. 11．已知，，，求，. 12．请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 13．已知全集，试求集合B. $$考点01 集合4类常见考点全归纳 1． 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． 2． 理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3． 理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集． 4．能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算． 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合的概念 考向1 根据元素与集合的关系求参数 考向2 利用集合中元素的性质求集合个数 考向3 根据集合中元素的个数求参数 考向4 集合的表示(列举法、描述法) 考点二 集合间的基本关系 考向1 集合间基本关系的判定 考向2 （真）子集的列举与个数的计算 考向3 根据子集、真子集的个数求参数 考向4 根据集合相等求参数 考向5 根据集合的包含关系求参数 考点三 集合的基本运算 考向1 集合的运算 考向2 利用集合的运算求参数 考点四 Venn图的应用及创新性问题 考向1 Venn图的应用 考向2 集合新定义 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号∈和表示． (3)集合的三种常用表示方法：列举法、描述法和图示法． (4)五个特定的数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或(B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AÞB或(BÞA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集． 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 表示 集合 表示 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝ {x|x∈U，且x∉A} [常用结论] 1．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A． 2．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 考点一 集合的概念 考向1 根据元素与集合的关系求参数 【典例】(2025·广东深圳中学模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为(　　) A．－1，2 B．－3 C．－1，－3，2 D．－3，2 【解析】集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，4∈A，∴a2－a＋2＝4或1－a＝4， 当a2－a＋2＝4时，a＝－1或a＝2， 若a＝－1，则1－a＝2，不满足集合中元素的互异性，故a≠－1； 若a＝2，则集合A＝{2，4，－1}，满足题意； 当1－a＝4时，a＝－3，a2－a＋2＝14，集合A＝{2，14，4}，满足题意，综上所述，a＝2或a＝－3．故选D． 【巩固训练】 1．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可. 【详解】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 3．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 考向2 利用集合中元素的性质求集合个数 【典例】(2024·江苏南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________． 【解析】当x＝1，y＝1，2，4时，x－y分别为0，－1，－3，均不能满足x－y∈A， 当x＝2，y＝1时可满足x－y＝1∈A， 当x＝2，y＝2时，x－y＝0，当x＝2，y＝4时，x－y＝－2均不满足x－y∈A， 当x＝4，y＝2时可满足x－y＝2∈A，当x＝4，y＝1时，x－y＝3，当x＝4，y＝4时，x－y＝0均不满足x－y∈A， 所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2个． 【巩固训练】 1．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【分析】解一元二次不等式，找出其中的正整数即可得解. 【详解】解不等式得，包含的正整数有，故的元素个数为. 故选：C. 2．（24-25高二下·北京·期中）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设B中的最大元素为2025， 将其余元素分组，，..，，共1012组， 若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾. 所以B中元素不能多于1013个. 所以当时， B中元素个数最多为. 故选：D 3．【多选】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（    ） A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17 C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9 【答案】ACD 【分析】用表示有限集的元素个数,由题意，知非空集合满足,,得到或，根据集合的定义利用分类讨论结合举反例及穷举法对各选项逐一验证即可. 【详解】用表示有限集的元素个数,由题意，知非空集合满足,, 对于A，由，得或，因为， 当时，； 当时，，故A正确； 对于B，当，，此时，则，故B不正确； 对于C，∵中元素最大为，最小为，∴，，当取等号时，必有，而2只能为，只能为，故，这与矛盾.所以，即的最大值为18，故C正确； 对于D，∵非空，且，∴且中至少有1个元素不在中，∴，当，时取等号，所以D正确. 故选：ACD. 考向3 根据集合中元素的个数求参数 【典例】（2024·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 【答案】C 【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解. 【详解】集合有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解， 则，解得：， 综上可得：或， 故选：C. 【巩固训练】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 2．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 3．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 【答案】 【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解. 【详解】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 考向4 集合的表示(列举法、描述法) 【典例1】【多选】（2024·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断 【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确； 表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误； 集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确； 由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确． 故选：ACD． 【典例2】（2024·高三课时练习）已知集合，用列举法表示M＝______． 【答案】 【分析】由直接求解. 【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，. 又，所以的值分别为：4，3，2. 故集合. 故答案为： 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【答案】 【分析】利用迭代法，将所得的数依次代入，即可求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 开始循环， 综上，． 2．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素. 【详解】12的所以正因数有，所以. 故选：B. 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 . 【答案】 【分析】由题可得为小于40的完全平方数，据此可得答案. 【详解】因，又，则为小于40的完全平方数. 则，从而. 故答案为： 考点二 集合间的基本关系 考向1 集合间基本关系的判定 【典例】(2024·江苏南通三模)已知集合M＝，N＝，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ 【解析】M＝＝， N＝＝， 因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M⊆N．故选A． 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】是有理数，所以，①正确；是实数，所以，②错误； 中含有元素0，所以不是空集，③错误；自然数集真包含于整数集，所以，④正确．综上，正确结论的个数为2． 故选：B. 2．（25-26高三上·云南·阶段练习）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数，对数函数的性质求得集合,进而进行集合的运算求得集合的补集，然后判定相关集合的包含关系是否成立. 【详解】集合 ，集合. 因为全集 （所有实数）,所以 . 选项 A: 取（因为 )，但 （因为 仅包含正实数），因此，，选项 A 错误； 选项 B: 取（当 时，)，但 （因为 )，因此，，选项 B 错误； 选项 C: ，，对于任意 ，有 ，所以 ，因此，，选项 C 正确； 选项 D: ，，取 ，但 ，所以 ，因此，，选项 D 错误. 故选： C. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可. 【详解】显然，，①③正确； 集合中的元素为一个式子，集合中的元素为数，②错误 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：C 考向2 （真）子集的列举与个数的计算 【典例】（2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可. 【详解】因为， 所以集合可以为：， 共8个， 故选：C. 【巩固训练】 1．（24-25高二下·湖北荆州·期末）已知集合，则在的所有子集中，恰有2个元素的集合个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．15 【答案】A 【分析】根据交集求出，再根据题意求解即可. 【详解】因为，所以， 在的所有子集中，恰有2个元素的集合为，，. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD. 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由题意可知，集合中一定包含元素, 且是的真子集， 所以或或或或或或， 即满足条件的集合有7个. 故答案为：7. 考向3 根据子集、真子集的个数求参数 【典例】若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 【答案】 【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论. 【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素. 当即时，，符合题意. 当即时， 解得. 故答案为： 【巩固训练】 1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】根据题意可知集合A有2个元素，结合一元二次方程的判别式即可求得答案. 【详解】因为集合A恰有3个非空子集，所以集合A有2个元素， 则有两个不相等的实数解， 则，解得，结合选项可知a的值可能为， 故选：ABC． 2．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期中）已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是 【答案】 【分析】根据条件得，再利用子集的个数得，即可求解. 【详解】因为，又有且仅有个子集， 所以有两个元素，则， 若时，，此时满足题意， 若，则，此时违反互异性， 所以， 故答案为： 考向4 根据集合相等求参数 【典例】（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）若，，，且，求的值． 【答案】或． 【分析】分类讨论的取值，根据二次函数的性质化简集合，即可根据两集合相等的充要条件列方程求解. 【详解】由于，所以， 当时，， 若，则，解得， 当时，， 若，则，此时不存在， 当时，， 若，则，解得 综上可得或． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故答案为： 3．（23-24高一上·全国·课后作业）若由组成的集合与由组成的集合相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到和且，求得，的值，将其代入，进行计算求值，即可得到答案. 【详解】由题意知，集合，可得，所以， 此时，则且，所以， 所以． 故答案为：. 考向5 根据集合的包含关系求参数 【典例】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． 【解析】∵B⊆A，∴①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2； ②当B≠∅时，解得－1≤m≤2． 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．] 【变式1】在本例中，若把B⊆A改为BÞA，则实数m的取值范围是________． 【解析】∵BÞA，∴①当B＝∅时，2m－1>m＋1，所以m>2； ②当B≠∅时， 或解得－1≤m≤2． 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)． 【变式2】本例中若把B⊆A改为A⊆B，则实数m的取值范围是________． 由A⊆B可知∴m∈∅． 　已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加． 提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 【巩固训练】 1．（广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题）设集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为，，且， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，可得，进而结合，讨论求解即可． 【详解】由，可得， 若，即，则，符合题意； 若，则，此时要使，则解得，因此． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 考点三 集合的基本运算 考向1 集合的运算 【典例1】(1)(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1，4} (2)(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A． B． C． D． (3)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________． 【解析】(1)由题意知，A∩B＝{0，1}．故选C． (2)因为A＝，B＝{x|∈A}， 所以B＝，则A∩B＝{1，4，9}， ∁A＝．故选D． (3)由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图如图所示． 由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}． 【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为， 由可得，解得，则， 因此，. 故选：D. 【巩固训练】 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式可化简集合B，然后由交集定义可得答案. 【详解】因为集合，，且， 所以． 故选：C． 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得集合，结合基本并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 又由集合，可得. 故选：B. 3．（24-25高一下·安徽安庆·期末）若全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集、交集运算求解即可. 【详解】依题意，， 故. 故选：C 考向2 利用集合的运算求参数 【典例1】（2024·高三课时练习）已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】. 【分析】由可得，由此列出不等式求出的取值范围． 【详解】若，则， ∵，， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 【典例2】已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－2] C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4] 【解析】集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图． 可知－≥2，即a≤－4．故选D． 解决集合运算问题的注意点 (1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值． (2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了． (3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图． (4)端点值验证． 【巩固训练】 1．（22-23高二下·黑龙江鸡西·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，求解出集合，再讨论的范围，解出集合，结合，最后得出的范围. 【详解】由，得到，则； 当时，则，此时， 当时，由，解得或，此时， 当时，由，解得或， 因为，则； 综上所述，. 故选：C. 2．（22-23高一上·四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：D 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 考点四 Venn图的应用及创新性问题 考向1 Venn图的应用 【典例1】（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为且，根据集合和集合即可求出结果. 【详解】因为， 易知图中阴影部分对应的集合为且，选项D正确， 故选：D 【典例2】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． 【解析】设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（    ） A．365 B．256 C．484 D．516 【答案】C 【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可. 【详解】设敲钟持续的时间为秒， 则甲乙丙钟敲响次数分别为，，， 由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为， 由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为， 由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为， 由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为， 由容斥原理易知， 解得，则． 故选：C． 2．（2025高一上·全国·专题练习）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 3．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合韦恩图求出集合. 【详解】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 考向2 集合新定义 【典例】定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－的子集个数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}， 所以A－＝，有2个元素，则A－(A－B)的子集个数是22＝4．故选B． 【巩固训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】A 【分析】结合集合新定义得，去绝对值结合的取值范围分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 故，化简得. 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，； 当时，，. 综上，满足条件的有序数对共有12对. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知非空集合满足以下四个条件： ①； ②； ③中的元素个数不是中的元素； ④中的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数是 ． 【答案】10 【分析】根据题意，得到集合中元素个数的情况，根据这几种情况分别讨论，即可得出结果； 【详解】当集合中有1个元素时，集合中有5个元素，，，所以，此时，有序集合对为1个； 当集合中有2个元素时，集合中有4个元素，，，所以，此时，，，，共四种情况，对应的，，，，有序集合对为4个； 当集合中有3个元素时，集合中也有3个元素，，，不符合题意； 当集合中有4个元素时，集合中有2个元素，，，故，，此时，，，，共四种情况，对应的，，，，有序集合对为4个； 当集合中有5个元素时，集合中有1个元素，此时，故，此时，有序集合对为1个． 综上，满足题意的有序集合对共有（个）． 故答案为：10 3．【多选】（25-26高一上·全国·单元测试）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】ABD 【分析】对于A，设，，根据运算可验证，，；对于B，易得时，；对于CD，可举特例说明； 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：ABD. 一、单选题 1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】求解一元二次方程，得 ，易知. 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合的子集个数，即有个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高. 二、填空题 2．用符号“”或“”填空： 0 N； N；0.5 Z； Z； Q； R. 【答案】 【解析】根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断. 【详解】是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则； 是有理数，则；是无理数，则 故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 【点睛】本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题. 3．若集合P={x|3<x≤22}，非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值集合为 . 【答案】 【分析】由能使成立，根据集合的运算，得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，能使成立，可得，即， 则满足，解得，即实数的取值集合为. 答案：. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，以及利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中把题设条件转化为集合间的关系，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．规定与是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数有:,.若且,则用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】根据所定义运算可知，根据取值范围可分别在和两种情况下确定的取值，进而求得的不同取值，得到所求集合. 【详解】由题意得： 且 当时，，此时；当时，，此时 集合 故答案为 【点睛】本题考查列举法表示集合、集合中的新定义运算问题，关键是能够充分理解所定义运算所表示的含义，通过分类讨论求得集合中的元素. 三、解答题 5．用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据描述直接列举出集合中的元素即可； （2）求出一元二次方程的解，即可得出结果； （3）解一元一次不等式组，进而结合整数集的概念即可得出结果. 【详解】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） 6．已知，且，求的取值范围. 【答案】 【分析】 先求出，然后根据并集的结论得出不等关系． 【详解】，又，如图，结合数轴分析知. 故的取值范围为. 【点睛】本题考查集合的运算，对于以区间给出的集合，它们的运算或它们之间的关系可通过在数轴上表示这些集合，从而分析出其中的关系，得出结论． 7．用区间表示下列集合： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（3）；（4）；（5）. 【解析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间. 【详解】集合中六个集合对应的区间分别为（1），（2），（3），（4），（5），（6）. 【点睛】本题考查集合的区间表示，属于基础题. 8．写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【答案】子集为，，，.真子集为，，. 【解析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可. 【详解】集合的所有子集为,,,.真子集为,,. 【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型. 9．已知集合，且，求的值. 【答案】或 【解析】由得，根据子集的定义求解．但要注意检验． 【详解】或， 或或， 当时，，不符合元素的互异性，或. 【点睛】本题考查集合间的包含关系．由集合间关系求参数时要注意检验，检验是否满足集合元素的互异性，是否满足题中其他条件． 10．图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示： （1）； （2）. 【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析. 【分析】根据补集、交集和并集的定义，利用图表示出来即可. 【详解】如下图阴影部分所示. 【点睛】本题考查图表示集合，涉及到集合的交集、并集和补集运算，属于基础题. 11．已知，，，求，. 【答案】，. 【解析】根据补集定义首先求得和，由交集定义可求得结果. 【详解】， ， 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，属于基础题. 12．请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）直接根据集合相等得到答案. （2）根据集合的包含关系得到得到答案. 【详解】（1）由于，所以，且，. （2），且， 如图所示.    【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力. 13．已知全集，试求集合B. 【答案】 【解析】计算，根据计算得到答案. 【详解】，， .故. 【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力. $$