专题10 有理数章末54道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题10 有理数章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 数轴上的动点问题综合 题型二 绝对值的几何意义综合 题型三 绝对值化简问题综合 题型四 有理数的简便运算 题型五 有理数的规律计算问题 题型六 正负数的实际应用 题型七 有理数四则混合运算的实际应用 题型八 有理数的新定义问题 题型九 新考向—材料阅读型问题 【经典例题一 数轴上的动点问题综合】 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）如图，数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动1个单位长度到达点C，点C表示的数为－1，若将A，B，C三点表示的数进行混合运算（每个数只能用一次），则可得到最大数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】先求出点B和点A对应的数，再将A，B，C三点表示的数进行混合运算得出结果进行判断即可． 【详解】解：数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动1个单位长度到达点C，点C表示的数为－1， ∴点B表示的数为－2，点A表示的数为2， ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查了数轴以及有理数的乘方，解题的关键是利用数轴确定A、B的值． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点．动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，．点在移动过程中，第 次移动与点A重合． 【答案】15 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题． 求出每次移动后点P对应点所表示的数，从而得到这些数的规律，再结合点A、B表示的数即可解答． 【详解】第一次移动P的对应点表示的数为， 第二次移动点P所得的对应点表示的数为， 第三次移动点P所得的对应点表示的数为， 第四次移动点P所得的对应点表示的数为， 第五次移动点P所得的对应点表示的数为， 第六次移动点P所得的对应点表示的数为， 第n次移动点P所得的对应点表示的数为， 观察发现：当n为奇数时，点P对应的数为奇数n； 当n为偶数时，点P对应的数为偶数， ∵，，且， ∴，解得 ∴点A表示的数是15，点B表示的数是， ∴当仅当时，点表示的数为15，第15次移动点P所得的对应点P与点A重合． 3．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、5，点P为数轴上一动点 ； (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)若点P到点A的距离为6，求点P对应的数； (3)若点P到点A、点B的距离之和为10，请求出点P对应的数． 【答案】(1) (2)或5 (3)或7 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，有理数的加减计算，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据题意可得点P为的中点，据此根据两点中点计算公式求解即可； （2）分点P在点A左边和点P在点A右边两种情况，根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）可求出，再分点P在上，点P在点A左边和点P在点B右边三种情况，根据点P到点A、点B的距离之和为10建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P到点A，点B的距离相等， ∴点P为的中点， ∵数轴上两点A、B对应的数分别为、5， ∴点P表示的数为； （2）解：当点P在点A左边时， ∵点P到点A的距离为6， ∴点P对应的数为； 当点P在点A右边时， ∵点P到点A的距离为6， ∴点P对应的数为； 综上所述，点P对应的数为或5； （3）解：∵数轴上两点A、B对应的数分别为、5， ∴， 当点P在上时，，不符合题意； 当点P在点A左边时，， ∴， ∴点P表示的数为； 当点P在点B右边时，， ∴， ∴点P表示的数为； 综上所述，点P表示的数为或7． 4．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“广益点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“广益点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点是关于点，两个点的“广益点”，请求出符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)点P的运动时间为1秒或10秒 (3)点P表示的数是： 【分析】本题考查了数轴，广益点的定义，掌握数轴上两点间距离公式，是解决本题的关键． （1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离，利用距离公式，即可得到结论； （2）根据题意可得，，再根据“广益点”的定义即可求解； （3）分两种情况进行讨论：当点A是关于的“广益点”时，当点A是关于的“广益点”时，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A，B对应的数分别为和4， ∴， ∵点P到点A、点B的距离相等， ∴P为的中点， ∴， ∴点P表示的数是； （2）解：根据题意可知：设点P运动的时间为t秒， ， ， 解得或， ∴点P的运动时间为1秒或10秒； （3）解：根据题意可知：设点P表示的数为n， 或， 分五种情况进行讨论： ①当点A是关于的“广益点”时， ， 即， 解得； ②当点A是关于的“广益点”时， ， 即，解得； 或，解得； 综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：． 5．（24-25七年级上·四川资阳·期中）点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，满足，且a是绝对值最小的有理数． (1) ， ， ． (2)数轴上标出点 A，B，C，并写出点 B，C 之间的距离． (3)已知点P，点Q是数轴上的两个动点，点P从点B出发，以2个单位/秒的速度向右运动，点Q从点C出发，速度为1个单位/秒． ①若在点P出发的同时点Q向左运动，几秒后点P和点Q在数轴上相遇？ ②若在点P出发的同时点Q向右运动，几秒后点P和点Q之间的距离为2个单位？（直接写出答案） 【答案】(1)0，，5 (2)见解析；8 (3)①秒；② 6秒或10秒 【分析】（1）利用非负性质求出b，c，利用绝对值最小的有理数是0，求出a即可； （2）①设时点P和点Q相遇，根据题意列出方程求解即可； ②设P点运动时，这两点之间的距离为2个单位，分点P追上点Q前或点P超过点Q后两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ，， 是绝对值最小的有理数， ， （2）解：数轴，如图所示： ； （3）解：①设时点P和点Q相遇， 根据题意得：， 解得； 故秒后点P和点Q在数轴上相遇； ②设P点运动时，这两点之间的距离为2个单位，点P表示的数为，点Q表示的数为， 在点P追上点Q前，两点之间的距离为2个单位， 得：， 解得， 在点P追上点Q后，两点之间的距离为2个单位， 得：， 解得， 故P运动秒或秒后这两点之间的距离为2个单位． 【点睛】本题主要考查的是绝对值，绝对值的非负性，数轴上两点间距离，偶次方的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论 6．（24-25七年级上·四川·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)①若点运动到原点时，此时点　　　关于的“好点”（填“是”或者“不是”）； ②若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)①不是；②或 (3)，，，，， 【分析】本题考查了数轴，好点的定义，熟练掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键；即若点表示，点表示时， （1）根据点到点的距离等于点到点的距离即可得到结论； （2）①先根据数轴上两点的距离表示出和的长，再根据好点的定义即可求解； ②根据题意可得，，再根据好点的定义即可求解； （3）分五种情况进行讨论：当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时，分别代入计算即可； 【详解】（1）解：数轴上两点，对应的数分别为和， ， 点到点、点的距离相等， 为的中点， ， 点表示的数是； （2）解：①当点运动到原点时，，， ， 点不是关于的“好点”； 故答案为：不是； ②根据题意可知：设点运动的时间为秒， ，， ∵， ， 解得或， 所以点的运动时间为秒或秒； （3）解：根据题意可知：设点表示的数为， 或，，， 分五种情况进行讨论： 当点是关于的“好点”时， ， 即， 解得：； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即或， 解得或 (不符合题意，舍去)； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：，，，，，． 【经典例题二 绝对值的几何意义综合】 7．（24-25七年级上·河南南阳·期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，有理数的运算，先根据点在数轴上的位置，判断出数的大小，进而判断出式子的符号，即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴；故A选项错误； ；故B选项正确； ；故C选项错误； ；故D选项错误； 故选B． 8．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了相反数定义，有理数的运算，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义，有理数运算法则． ①根据得出定a、b异号，不能判断，即可判断①错误； ②根据，分，时，，时，，时，，时，进行讨论，即可判断②正确； ③根据，得出，求出，即可判断③错误； ④根据，，得出，，得出，根据，得出，根据，得出要使成立必须使，根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：①若，只能判定a、b异号，不能判断，且c，b互为相反数与没有关系，故①错误； ②若， 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； ∴若，则是正数，故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴要使成立必须使， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有②④． 故答案为：②④． 9．（24-25七年级上·广东清远·期末）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0； (2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (3)若，求a，b，c的值． 【答案】(1)<；>；> (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了数轴的应用，相反数的概念，绝对值的性质等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）观察数轴，即可得出答案； （2）运用相反数的概念在数轴上表示出相应的点； （3）根据绝对值的性质即可得出答案． 【详解】（1）由图可知： 故答案为：， （2）如图所示： （3）， 又， 10．（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)5 (3)0 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义： （1）根据题意，得到互为相反数，进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，进行化简求值即可； （3）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，判断出式子的符号，进行化简即可． 【详解】（1）解：由图和题意可知，互为相反数且不为0， ∴，； （2）由图可知：， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴． 11．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 12．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 【经典例题三 绝对值化简问题综合】 13．（24-25七年级上·四川巴中·阶段练习）已知数，，在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④．其中正确结论序号是（   ） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，绝对值的意义，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键．根据数轴的性质，利用绝对值的意义，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，且，，，， ∴， 故①错误； 由，， 故即； 故②正确； ； 故③正确， ， 故④正确． 故选：C． 14．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 分三种情况：当点P在点A左边时，当点P在线段点上时，当点P在线段点上时，分别求解，再比较即可． 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B， 则，，， 当点P在点A左边时，如图， ∴ ． 当点P在线段点上时，如图， ∴ ， ∴； 当点P在点B右边时，如图， ∴ ． 综上，， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 15．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴化简：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，解题的关键是熟记数轴及绝对值的定义． （1）由绝对值的几何意义，参考数轴信息判定的正负，数形结合，去绝对值即可得到答案； （2）根据的正负性，由绝对值的代数意义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ， 则①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ， ，，． 16．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）（）如图是一个不完整的数轴，请将数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来； ，，，，． （）将上述各数按从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 【答案】（）数轴表示见解析；（） 【分析】（）先化简各数，再把各数在数轴上表示出来即可； （）根据数轴比较大小即可； 本题考查了利用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴各数在数轴上表示如下： （）由数轴可得，． 17．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)2或 (2)的值为1或； (3)的值为1或． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断，同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断，，全负或，，两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断，，两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，是有理数，当时， ∴，同号， 当，时， ， 当，时， ； 故答案为：2或； （2）解：∵ ∴，，全负或，，两正一负， ①当，，全负时， ②当，，两正一负时， 不妨设，，，， 综上所述，的值为1或； （3）解：∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴，，两正一负， Ⅰ）当，，时，， Ⅱ）当，，时，， Ⅲ）当，，时， ∴的值为1或． 18．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数 m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______；利用数轴找出所有符合条件的整数点 x，使得，这些点表示的数的和是______． (2)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______ (3)的最小值是______． (4)已知a，b、c在数轴上的位置如图所示，求______． 【答案】(1)5，或2，12 (2)12 (3)7 (4)0 【分析】（1）结合所给数轴，利用数形结合的数学思想即可解决问题． （2）根据题意，分别求出点A和点B所表示的数即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． （4）根据所给数轴，得出a，b，c的正负，再结合绝对值的性质即可解决问题． 本题主要考查了有理数的混合运算及数轴，绝对值的几何意义，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由题知，数轴上表示和2两点之间的距离是：， 由表示数a和的两点之间的距离是3得， ，， 所以或2， 如图所示， 当表示数x的点在点A和点B之间（包括端点）时，， 所以符合条件的整数x的和是：， 故答案为：5，或2，12； （2）解：由得， 或7 由得， 或1， 又因为A、B两点间的距离要最大， 则当，时， A，B两点间的距离最大，为：， 故答案为：12； （3）解：因为代数式的值可看成数轴上表示a的点与到表示，1，4三个点的距离之和，如图所示， 当表示数a的点在点P处时，此点到M，P，N三点的距离之和最小，且最小值为， 故答案为：7； （4）解：由所给数轴可知， ，，， 则， 所以原式 故答案为：0． 【经典例题四 有理数的简便运算】 19．（2025七年级上·四川遂宁·专题练习）计算（用简便方法计算）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算及其简便运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．将带分数转化为整数与真分数的和或差，然后进行计算． 【详解】解：原式 ． 20．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可； （2）原式逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：；     ； （2）解：．           ． 21．（24-25七年级上·河南周口·期中）用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数加减运算和加法运算律即可求解； （）先把除法转化为乘法，然后根据有理数乘法分配律即可求解； （）根据有理数乘法运算律即可求解； （）利用加法分配律逆运算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，有理数的运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 22．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小强和小华两位同学经过仔细思考，用不同的方法做了解答： 小强的解法：原式 ； 小华的解法：原式的倒数 ，故原式 ； 通过对比，发现小华的解法更简便、新颖，请你先完成以上填空，再用小华的解法计算下面的问题：． 【答案】；，，； 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，倒数，有理数的四则混合运算等知识点，明确题意，仿照例题解答是解题的关键． 先求出原式的倒数，再求原式即可． 【详解】解：小强的解法： 原式 ， 故答案为：； 小华的解法： 原式的倒数 ， 故原式， 故答案为：，，； 对于下面的问题：， 原式的倒数 ， 故原式． 23．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①______； ②______． (2)用合理的方法计算： ． (3)用简便方法计算： ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值的意义，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用题干中的方法解答即可； （2）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可； （3）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 24．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）阅读与思考 下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律的逆运算： （1）把原式变形为，再计算求解即可； （2）把原式变形为，再计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题五 有理数的简便运算】 25．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）观察下列等式找出规律①；②；③；④；…则的值是（    ） A．14400 B． C．14300 D． 【答案】D 【分析】根据前面式子的特点，通过变形可以求得的结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、数字的变化类，解题的关键是找出题目中给出的算式的运算规律，明确有理数混合运算的计算方法． 26．（24-25七年级上·四川眉山·期中）观察下列等式： ； ； ； … 已知按照一定规律排列的一组数，若 则 （结果用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．由题意可得，再将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 27．（24-25七年级上·四川达州·期末）观察下列计算 ，，，…… 从计算结果中找规律，利用规律计算：． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，发现变化规律并灵活运用是关键．根据前几个式子的变化规律得到第n个式子为，进而运用求解即可． 【详解】解：观察计算结果，得第n个式子为， ∴ ． 28．（24-25七年级上·广东东莞·期中）【阅读理解】 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时例如：，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把式子写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ______． 【拓广应用】 （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的加减计算： （1）先比较出，再化简绝对值即可； （2）先化简绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2） ． 29．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． (2) (3)存在，，． 【分析】本题主要考查了定义新运算、平方数的非负性以及分类讨论的思想．熟练掌握根据所给示例归纳新运算规则，以及根据新规则进行计算和分类讨论是解题的关键． （1）通过观察所给运算的多个例子，分析和进行“”运算时与、各自平方的关系，以及参与运算的特殊情况，从而归纳出运算规则． （2）根据（1）中归纳出的“*”运算规则，将和代入规则进行计算． （3）先根据（1）中规则将转化为关于和的等式，再分情况讨论和的值． 【详解】（1）解：通过观察所给运算式： ； ； ； ． 可以发现两数，进行“”运算时，当，同号时结果为正，异号时结果为负，且结果都是，平方和的绝对值形式，所以归纳出两数，进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把两数平方相加； 由；；，可知和任何数进行“”运算，或任何数和进行“”运算，结果是这个数的平方． 故答案依次为：同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴且， ∴，． 30．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 【经典例题六 有理数的简便运算】 31．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A．﹣0.6 B．+0.7 C．﹣1 D．+1 【答案】A 【分析】本题主要考查正数与负数，根据正数与负数表示的意义结合绝对值越小越接近标准可判定求解． 【详解】解：∵|﹣0.6|＝0.6，|+0.7|＝0.7，|﹣1|＝1，|+1|＝1， 而0.6最小， ∴﹣0.6最接近标准， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键． 32．（2025七年级上·四川遂宁·模拟预测）某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为 分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为 分钟． 【答案】 14（答案不唯一） 12 【分析】根据规则解答即可． 本题的关键在于每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 【详解】解：每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 该组同学完成项目所需的时间规划可以为：甲、乙拿接力棒一起过桥（计时2分钟），甲拿接力棒返回（计时1分钟）；丙、丁拿接力棒过桥（计时5分钟），丙拿接力棒返回（计时3分钟）；甲、丙拿接力棒过桥（计时3分钟），此时全部过桥，所用时间为：（分钟）；该组完成项目需要的最短时间为：甲、乙一起过桥（计时2分钟），甲返回（计时1分钟），甲、丙一起过桥（计时3分钟），甲返回（计时1分钟），最后甲、丁再一起过桥（计时5分钟），共需要：（分钟） 故答案为：14，12． 33．（24-25七年级上·四川内江·期中）小华同学记录了本小组同学的身高（单位：cm）数据：158，163，154，160，165，162，157，160． (1)如果规定以160cm标准身高，高于标准身高的记为正数，低于标准身高的记为负数，请你表示出这个小组同学的身高； (2)请你计算这个小组学生的平均身高． 【答案】(1)，，，，，，， (2) 【分析】此题考查正数和负数的应用，有理数的混合运算； （1）设定为标准，然后根据正与负相对进行解答即可． （2）根据（1）中的数据，将各数相加求平均数，再加上标准身高即可． 【详解】（1）解：设定为标准，则该组同学的身高可表示为：，，，，，，，； （2） ， 答：这个小组同学的平均身高为． 34．（24-25七年级上·广西百色·期末）水是生命之源．某社区的居民积极响应政府的号召“珍惜水资源、节约用水”．原来每天的用水总量超过，现在每天的用水量在原来的基础上大幅度地下降，小武记录了这个社区的居民一周的用水量情况（以为基准，超出为正，低于为负）是，，，，，，，解答下列问题： (1)这个社区的居民这一周每天的用水量分别是多少？ (2)这个社区的居民这一周的总用水量是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据题意分别求出一周的用水量即可； （2）根据每天的用水量，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 周一的用水量为：； 周二的用水量为：； 周三的用水量为：； 周四的用水量为：； 周五的用水量为：； 周六的用水量为：； 周日的用水量为：． （2）解：居民这一周的总用水量是： ． 答：这个社区的居民这一周的总用水量是． 35．（24-25七年级上·四川攀枝花·期末）为了增强体质，小明给自己设定：以每天跳绳数量个为基准，超过的部分记为正，不足的部分记为负．手机应用程序记录小明一周跳绳数量情况记录如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与基准的差/个 小明周六和周日共跳了1160个． (1)求的值． (2)小明本周共跳绳多少个？ 【答案】(1) (2)3720个 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意，列出方程或运算式是解本题的关键． （1）由小明周六和周日共跳了1160个，列出方程，解答即可； （2）先计算记录数据的代数和，再加上每天的基准数据，从而可得答案． 【详解】（1）解：有题意得， 解得． （2）解：由题意得， ∴小明本周共跳了3720个． 36．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【答案】(1)五；39 (2)见解析 (3)米，下降了，下降了0.8米 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）找到表格中数据的最大数据，进行判断和求解即可； （2）根据题意，列出算式，填表即可； （3）利用周一的实际水位减去变化量求出上一星期日的水位，求出图（2）表格中数据的和，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，该水库这星期水位最高的一天是星期五，这一天的实际水位是米 （2），，， 填表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （3）上一星期日的水位为（米）． （米）， 所以与上一星期日相比，这一星期日该水库水位是下降了，下降了0.8米． 【经典例题七 有理数的简便运算】 37．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）某停车场的收费标准如图，一辆汽车付停车费22元，那么它的停车时间可能是（    ）． A．8：55~11：05 B．7：45~12：25 C．9：20~13：25 D．12：25~15；35 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是明确停车时间，然后再进一步解答．首先确定各选项停车时间，然后根据收费标准进行计算，即可获得答案． 【详解】解：A. 8：55~11：05，时间为2小时10分钟，按照收费标准应付停车费元，故不符合题意； B. 7：45~12：25，时间为4小时40分钟，按照收费标准应付停车费元，故不符合题意； C. 9：20~13：25，时间为4小时5分钟，按照收费标准应付停车费元，故不符合题意； D. 12：25~15；35，时间为3小时10分钟，按照收费标准应付停车费元，符合题意． 故选：D． 38．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）甲、乙两人参加射击比赛，若命中，甲得6分，乙得5分，若不中，甲失2分，乙失1分，每人各发射10次，共命中15发，结算分数时，甲比乙多得12分，甲、乙各射中 发和 发． 【答案】 8 7 【分析】假设甲命中10发，乙就命中了（发），则甲的得分是（分），乙的得分是（分），此时甲比乙多得了（分），这比实际的甲比乙多得12分多了（分），乙将多得（分），即甲比乙将少得（分），所以实际甲比假设的情况少命中了（发），所以甲实际命中了（发），乙命中了（发）．本题主要考查了有理数的混合运算，用假设法一步步推理．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：假设甲命中10发，则乙中：（发）． 甲的得分：（分） 乙的得分： （分） （分） 甲比假设的情况少命中： （发） 甲命中：（发） 乙命中：（发） 答：甲射中 8发，乙射中7发． 故答案为：8；7． 39．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）张叔叔去年参加医疗保险．今年1月，张叔叔生病住院15天，共需医疗费8500元．按照规定，张叔叔本人需要支付多少元医药费？（根据有关规定，住院医疗费设起付线（500元），起付线以下的医疗费用由参保人自费，起付线以上的医疗费用参保人只需要支付） 【答案】张叔叔本人需要支付2500元医药费． 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，应总费用减去起付线，再乘以，然后再加上起付线即需支付的医药费，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：（元） 答：张叔叔本人需要支付2500元医药费． 40．（24-25七年级上·四川乐山·期中）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 甲种 乙种 进价（元/千克） 5 9 售价（元/千克） 8 13 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ 【答案】(1)甲种水果购进千克，乙种水果购进千克 (2)获得的利润是元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设购进甲种水果x千克，根据表格中的数据和意义列出方程并解答； （2）根据总利润甲的利润乙的利润解答即可． 【详解】（1）解：设甲种水果购进x千克， 则， 解得， ∴乙种水果购进千克， 答：甲种水果购进千克，乙种水果购进千克； （2）解：获得利润是元， 答：获得的利润是元． 41．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）每年的4月7日是世界卫生日——（翻译为中文也叫世界健康日），旨在引起世界对卫生、健康工作的关注，提高人们对卫生、健康领域的素质和认识、强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性．为了迎接世界健康日的来临，小明决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，小明从家出发，沿着家门口的东西方向道路开始跑步（家到路的距离忽略不计），如果规定向东跑步为正，向西跑步为负，小明七次跑步记录如下（单位：m）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -400 +700 -900 +800 +600 -500 -200 (1)求跑步结束时小明距离家多远？ (2)在第几次记录时小明距离家最远？ (3)若每千米消耗60千卡的热量，则小明跑步共消耗多少千卡热量? 【答案】(1) (2)第五次 (3)246千卡 【分析】（1）将七次跑步记录相加即可； （2）第一次小明距家400米，第一次跑步记录加第二次跑步记录为小明第二次距家的米数，结果加第三次的得数为第三次小明距家的米数，以此类推，然后结果的绝对值作比较即可； （3）将七次跑步记录的绝对值相加，结果变成千米，然后乘60即可． 【详解】（1）． 答：跑步结束时小明距离家100米． （2）第一次记录时距离家：（米）； 第二次记录时距离家：（米）； 第三次记录时距离家：（米）； 第四次记录时距离家： （米）； 第五次记录时距离家： （米）； 第六次记录时距离家： （米）； 第七次记录时距离家： （米）． 第五次记录时小明距离家最远． （3）． （千卡）． 答：小明跑步共消耗246千卡热量． 【点睛】本题考查正负数和数轴，能够理解正负数的含义解答本题的关键． 42．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费.一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米） 第1批 第2批 第3批 第4批 (1)送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； (2)若王师傅的车平均每千米消耗天然气0.3元，则送完第4批客人后，王师傅共消耗了多少元天然气？ (3)在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1)西，6 (2)送完第4批客人后，王师傅共消耗了4.8元天然气 (3)在整个过程中，王师傅共收到车费38元 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用．熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键． （1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答； （2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以单价即可解答； （3）根据表格中的数据是超过3千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第4批客人后，王师傅共收到的车费． 【详解】（1）， 即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司6千米； 故答案为：西，6； （2）解： （元）， 答：送完第4批客人后，王师傅消耗了4.8元的天然气； （3）解： (元)， 故在整个过程中，王师傅共收到车费38元． 【经典例题八 有理数的简便运算】 43．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【分析】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规则，准确的计算和推理是本题的关键． 根据新运算‘除方’的定义，即为个相除，进行计算．运算时注意指数运算、相反数的性质、倒数的概念的应用即可． 【详解】A.，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）． 故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与． 则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意． 故选：B． 44．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【定义新运算】如果规定，那么 ． 【答案】47 【分析】本题考查新定义运算，有理数四则混合运算，理解新运算的定义是解题的关键． 根据定义新的运算法则计算，得到，再按先做乘法，后计算减法的计算顺序即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：47． 45．（24-25七年级上·宁夏固原·阶段练习）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定：.例如：.计算的值． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算“”的定义计算即可． 【详解】解： 46．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）七年级（1）班的小明同学借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： (1)求 (2)求 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新定义和有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据新定义和有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：依题意可得： ； （2）解： ． 47．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）对任何数，规定一种新运算，例如： (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)按照这个规定，请你计算当，满足时，的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数新运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握题意，，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据绝对值的非负性，求出，，再根据，进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵ ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 48．（24-25七年级上·广东中山·期中）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：， 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”， (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）； ①，；②，；③， (2)计算： 【答案】(1)①② (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照新定义定义运算：，，分别进行计算即可判断； （2）结合（1）和定义新运算：，进行计算即可． 【详解】（1）解：①，； ，， ，则①是“隔一数对”； ②； ，， ，则②是“隔一数对”； ③，； ，， ，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ． 【经典例题九 有理数的简便运算】 49．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读下面材料，回答问题：已知点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB．数轴上A、B两点的距离，如数轴上表示和的两点之间的距离是5，利用上述结论，回答以下问题： (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是________； (2)若表示数和的两点之间的距离是5，那么________； (3)若x表示一个有理数，且，则有理数的取值范围________． 【答案】(1)7 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，绝对值的意义，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离公式计算即可求解； （2）根据数轴上两点距离列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）由题意，分三种情况：当时, 当时，当时，分别求得两点距离，根据，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示3和的两点之间的距离是， 故答案为：7； （2）解：依题意， ∴或， 解得：或 故答案为：或； （3） 解：由题意，分三种情况： 当时，则数轴上，表示的点到与的距离之和大于与的距离， 当时，则数轴上，表示的点到与的距离之和等于与的距离，不符合题意，舍去； 当时，则数轴上，表示的点到与的距离之和大于与的距离， 综上，有理数的取值范围为或； 故答案为：或． 【点睛】． 50．（24-25七年级上·山西大同·期中）请阅读以下材料，并完成相应的任务： 出租车司机小李某天上午营运时，在东西走向的大街上行驶．如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下，，，，，．问： (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为，这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ 【答案】(1)小李在起始位置的西方 (2)升 【分析】（1）运用正负数的意义，把六位乘客的行车里程用有理数的加法列式子进行计算即可； （2）把这天上午小李接送乘客所有的行车里程加起来，然后乘上汽车耗油量即可作答． 【详解】（1）解：（）， 答：小李在起始位置的西方； （2）解：（）， （升）， 答：出租车共耗油升． 【点睛】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，正负数的实际应用是重点又是难点． 51．（24-25七年级上·山西运城·期中）阅读下面解答过程． 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)上面解题过程存在错误，是从第______步开始错误的； (2)上面解题第二步运算的依据是______； (3)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)有理数的乘法分配律 (3)30 【分析】本题主要查了有理数的混合运算： （1）根据有理数的乘方计算，即可求解； （2）根据有理数的乘法分配律解答，即可求解； （3）根据有理数的混合运算计算步骤计算，即可． 【详解】（1）解：上面解题过程存在错误，是从第一步开始错误的； 故答案为：一 （2）解：上面解题第二步运算的依据是有理数的乘法分配律； 故答案为：有理数的乘法分配律 （3）解： 解：原式 ． 52．（24-25七年级上·山东日照·期中）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式：①；②；③；把①、②、③三个等式相加，于是．阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现_____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 53．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）【阅读材料】 当有理数不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； … 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______； (2)求； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据运算的定义即可得到答案； （）根据运算的定义计算即可得到答案； （）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解； 本题考查了有理数的除法新运算，有理数的乘除混合运算，理解新运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：原式 ， ． 54．（24-25七年级上·四川简阳·期中）如下图所示为王阿姨手机中记账软件显示的一周（2024．9．16至2024．9．22）收支信息，阅读信息并解决问题．（手机软件中用“”表示收入，用“”表示支出） (1)王阿姨本周买了一件衣服但因为尺寸不合适又马上退款了，这件衣服的价格可能是 元． (2)2024年9月17日为我国传统佳节——中秋节，当天王阿姨收到了一些红包，也发出了一些红包．王阿姨当天收发红包是赚了还是亏了？具体多少金额？ (3)本周支出一共有五项，只要手机向下滑动就能看到最后一项的具体金额．那么聪明的你能否通过目前显示的信息也得出最后一项的具体金额呢？ 【答案】(1)68.00 (2)王阿姨中秋节当天亏了162.40元 (3)元 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，有理数混合运算的应用，理解正负数的实际应用是解题的关键． （1）根据收支信息即可解答； （2）将王阿姨收红包的收入减去发红包的支出，若为负数，则亏了，若为正数，则赚了，据此即可解答； （3）将本周收支变化量减去收入再减去前四项支出，即可解答． 【详解】（1）解：由信息可得，退款收入元， 所以这件衣服的价格可能是元． 故答案为： （2）解：本周王阿姨收红包收入：（元）， 发红包支出：（元） （元） 答：王阿姨当天收发红包是亏了元． （3）解： （元）， 所以最后一项支出为38.60元，即元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 有理数章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 数轴上的动点问题综合 题型二 绝对值的几何意义综合 题型三 绝对值化简问题综合 题型四 有理数的简便运算 题型五 有理数的规律计算问题 题型六 正负数的实际应用 题型七 有理数四则混合运算的实际应用 题型八 有理数的新定义问题 题型九 新考向—材料阅读型问题 【经典例题一 数轴上的动点问题综合】 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）如图，数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动1个单位长度到达点C，点C表示的数为－1，若将A，B，C三点表示的数进行混合运算（每个数只能用一次），则可得到最大数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 2．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点．动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，．点在移动过程中，第 次移动与点A重合． 3．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、5，点P为数轴上一动点 ； (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)若点P到点A的距离为6，求点P对应的数； (3)若点P到点A、点B的距离之和为10，请求出点P对应的数． 4．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“广益点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“广益点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点是关于点，两个点的“广益点”，请求出符合条件的点表示的数． 5．（24-25七年级上·四川资阳·期中）点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，满足，且a是绝对值最小的有理数． (1) ， ， ． (2)数轴上标出点 A，B，C，并写出点 B，C 之间的距离． (3)已知点P，点Q是数轴上的两个动点，点P从点B出发，以2个单位/秒的速度向右运动，点Q从点C出发，速度为1个单位/秒． ①若在点P出发的同时点Q向左运动，几秒后点P和点Q在数轴上相遇？ ②若在点P出发的同时点Q向右运动，几秒后点P和点Q之间的距离为2个单位？（直接写出答案） 6．（24-25七年级上·四川·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)①若点运动到原点时，此时点　　　关于的“好点”（填“是”或者“不是”）； ②若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【经典例题二 绝对值的几何意义综合】 7．（24-25七年级上·河南南阳·期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 9．（24-25七年级上·广东清远·期末）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0； (2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (3)若，求a，b，c的值． 10．（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 11．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 12．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【经典例题三 绝对值化简问题综合】 13．（24-25七年级上·四川巴中·阶段练习）已知数，，在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④．其中正确结论序号是（   ） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 14．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 15．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴化简：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； (2)若，求的值． 16．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）（）如图是一个不完整的数轴，请将数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来； ，，，，． （）将上述各数按从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 17．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 18．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数 m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______；利用数轴找出所有符合条件的整数点 x，使得，这些点表示的数的和是______． (2)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______ (3)的最小值是______． (4)已知a，b、c在数轴上的位置如图所示，求______． 【经典例题四 有理数的简便运算】 19．（2025七年级上·四川遂宁·专题练习）计算（用简便方法计算）． 20．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）简便计算： (1)； (2)     21．（24-25七年级上·河南周口·期中）用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小强和小华两位同学经过仔细思考，用不同的方法做了解答： 小强的解法：原式 ； 小华的解法：原式的倒数 ，故原式 ； 通过对比，发现小华的解法更简便、新颖，请你先完成以上填空，再用小华的解法计算下面的问题：． 23．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①______； ②______． (2)用合理的方法计算： ． (3)用简便方法计算： ． 24．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）阅读与思考 下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2) 【经典例题五 有理数的简便运算】 25．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）观察下列等式找出规律①；②；③；④；…则的值是（    ） A．14400 B． C．14300 D． 26．（24-25七年级上·四川眉山·期中）观察下列等式： ； ； ； … 已知按照一定规律排列的一组数，若 则 （结果用含的代数式表示） 27．（24-25七年级上·四川达州·期末）观察下列计算 ，，，…… 从计算结果中找规律，利用规律计算：． 28．（24-25七年级上·广东东莞·期中）【阅读理解】 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时例如：，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把式子写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ______． 【拓广应用】 （2）计算：． 29．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 30．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【经典例题六 有理数的简便运算】 31．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A．﹣0.6 B．+0.7 C．﹣1 D．+1 32．（2025七年级上·四川遂宁·模拟预测）某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为 分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为 分钟． 33．（24-25七年级上·四川内江·期中）小华同学记录了本小组同学的身高（单位：cm）数据：158，163，154，160，165，162，157，160． (1)如果规定以160cm标准身高，高于标准身高的记为正数，低于标准身高的记为负数，请你表示出这个小组同学的身高； (2)请你计算这个小组学生的平均身高． 34．（24-25七年级上·广西百色·期末）水是生命之源．某社区的居民积极响应政府的号召“珍惜水资源、节约用水”．原来每天的用水总量超过，现在每天的用水量在原来的基础上大幅度地下降，小武记录了这个社区的居民一周的用水量情况（以为基准，超出为正，低于为负）是，，，，，，，解答下列问题： (1)这个社区的居民这一周每天的用水量分别是多少？ (2)这个社区的居民这一周的总用水量是多少？ 35．（24-25七年级上·四川攀枝花·期末）为了增强体质，小明给自己设定：以每天跳绳数量个为基准，超过的部分记为正，不足的部分记为负．手机应用程序记录小明一周跳绳数量情况记录如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与基准的差/个 小明周六和周日共跳了1160个． (1)求的值． (2)小明本周共跳绳多少个？ 36．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 【经典例题七 有理数的简便运算】 37．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）某停车场的收费标准如图，一辆汽车付停车费22元，那么它的停车时间可能是（    ）． A．8：55~11：05 B．7：45~12：25 C．9：20~13：25 D．12：25~15；35 38． （24-25七年级上·四川成都·开学考试）甲、乙两人参加射击比赛，若命中，甲得6分，乙得5分，若不中，甲失2分，乙失1分，每人各发射10次，共命中15发，结算分数时，甲比乙多得12分，甲、乙各射中 发和 发． 39．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）张叔叔去年参加医疗保险．今年1月，张叔叔生病住院15天，共需医疗费8500元．按照规定，张叔叔本人需要支付多少元医药费？（根据有关规定，住院医疗费设起付线（500元），起付线以下的医疗费用由参保人自费，起付线以上的医疗费用参保人只需要支付） 40．（24-25七年级上·四川乐山·期中）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 甲种 乙种 进价（元/千克） 5 9 售价（元/千克） 8 13 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ 41．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）每年的4月7日是世界卫生日——（翻译为中文也叫世界健康日），旨在引起世界对卫生、健康工作的关注，提高人们对卫生、健康领域的素质和认识、强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性．为了迎接世界健康日的来临，小明决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，小明从家出发，沿着家门口的东西方向道路开始跑步（家到路的距离忽略不计），如果规定向东跑步为正，向西跑步为负，小明七次跑步记录如下（单位：m）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -400 +700 -900 +800 +600 -500 -200 (1)求跑步结束时小明距离家多远？ (2)在第几次记录时小明距离家最远？ (3)若每千米消耗60千卡的热量，则小明跑步共消耗多少千卡热量? 42．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费.一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米） 第1批 第2批 第3批 第4批 (1)送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； (2)若王师傅的车平均每千米消耗天然气0.3元，则送完第4批客人后，王师傅共消耗了多少元天然气？ (3)在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 【经典例题八 有理数的简便运算】 43．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 44．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【定义新运算】如果规定，那么 ． 45．（24-25七年级上·宁夏固原·阶段练习）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定：.例如：.计算的值． 46．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）七年级（1）班的小明同学借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： (1)求 (2)求 47．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）对任何数，规定一种新运算，例如： (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)按照这个规定，请你计算当，满足时，的值． 48．（24-25七年级上·广东中山·期中）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：， 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”， (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）； ①，；②，；③， (2)计算： 【经典例题九 有理数的简便运算】 49．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读下面材料，回答问题：已知点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB．数轴上A、B两点的距离，如数轴上表示和的两点之间的距离是5，利用上述结论，回答以下问题： (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是________； (2)若表示数和的两点之间的距离是5，那么________； (3)若x表示一个有理数，且，则有理数的取值范围________． 50．（24-25七年级上·山西大同·期中）请阅读以下材料，并完成相应的任务： 出租车司机小李某天上午营运时，在东西走向的大街上行驶．如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下，，，，，．问： (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为，这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ 51．（24-25七年级上·山西运城·期中）阅读下面解答过程． 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)上面解题过程存在错误，是从第______步开始错误的； (2)上面解题第二步运算的依据是______； (3)写出正确的解答过程． 52．（24-25七年级上·山东日照·期中）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式：①；②；③；把①、②、③三个等式相加，于是．阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现_____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 53．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）【阅读材料】 当有理数不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； … 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______； (2)求； (3)计算：． 54．（24-25七年级上·四川简阳·期中）如下图所示为王阿姨手机中记账软件显示的一周（2024．9．16至2024．9．22）收支信息，阅读信息并解决问题．（手机软件中用“”表示收入，用“”表示支出） (1)王阿姨本周买了一件衣服但因为尺寸不合适又马上退款了，这件衣服的价格可能是 元． (2)2024年9月17日为我国传统佳节——中秋节，当天王阿姨收到了一些红包，也发出了一些红包．王阿姨当天收发红包是赚了还是亏了？具体多少金额？ (3)本周支出一共有五项，只要手机向下滑动就能看到最后一项的具体金额．那么聪明的你能否通过目前显示的信息也得出最后一项的具体金额呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $$