专题09 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题09 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训 （8大题型+15道拓展培优题） 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简的新定义问题 题型八 绝对值化简问题综合 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（24-25七年级上·四川宜宾·期中）若，则x的最大值与最小值的和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）当取最小值时，符合条件的整数x的和为 ． 3．（24-25七年级上·四川·单元测试）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，若，则为 ；当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是______；数轴上表示3和的两点之间的距离是______． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示______； (3)探究：当时，求的值？ (4)求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（24-25七年级上·四川内江·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合所学知识，下列说法中正确的个数是（    ） ①若，则或4；②若，则；③若，则；④若且，则式子的值为；⑤关于x的方程有3个解．⑥若，那么的最大值为7，最小值为； A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料，我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB，则，以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离，根据上述材料，探究下列问题： （1）式子的最小值是 ； （2）式子的最大值是 ； （3）式子的最小值是 ． 4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【经典例题三 多个绝对值的和的最值】 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例3】（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 1．（2025七年级上·四川·专题练习）我们可以把理解为数轴上表示x的点到表示y的点距离．若，则的最小值和最大值分别为（　　） A．4，8 B．4，9 C．5，8 D．5，9 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知． （1）的值为 ；   （2）的最小值为 ． 4．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【经典例题四 绝对值中最值问题的应用】 【例4】（24-25七年级上·重庆渝中·期中）已知，则的最大值是（      ） A．－12 B．20 C．－20 D．－6 1．（24-25七年级上·重庆·期中）下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知：都不为0，且的最大值为，最小值为，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ． 4．（2025七年级上·四川眉山·模拟预测）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【经典例题五 已知范围的绝对值化简】 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 【例5】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）已知|abc|＝﹣abc，则＝（　　） A．1或﹣3 B．﹣1或﹣3 C． D．无法判断 1．（24-25七年级上·四川简阳·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    【经典例题六 未知范围的绝对值化简】 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）当 时，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，化简 ． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果 ． 4．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 试化简：； 【经典例题七 绝对值化简的新定义问题】 【例7】（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）对于有理数，定义一种新运算“”，规定．当在数轴上的位置如图所示时，化简得（   ） A．0 B． C． D． 1．（24-25七年级上·河北·阶段练习）对于有理数、，定义一种新运算“*”，规定：，则3*的值为（  ） A．0 B．4 C．6 D． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·课后作业）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定：． （1）计算： ； （2）若a，b在数轴上的位置如图所示．则化简 ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）新定义如下：， ； 例如：， ；根据上述知识， 若， 则x的值为 ． 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定． (1)计算的值． (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，请举例说明． 【经典例题八 绝对值化简问题综合】 【例8】（2025·重庆·模拟预测）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，对多项式任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：，等，下列相关说法正确的数是（    ） ①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数； ②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式的和为0； ③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有9种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，化简 ．    4．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上表示的点一定在原点的左边 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．几个非零有理数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为负数． D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 2．（24-25七年级上·云南昆明·期末）数轴上表示数a，b，c，d的点如图所示，其中绝对值最小的数是（   ） A．a B．b C．c D．d 3．（24-25七年级上·青海西宁·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列选项中：①，且；②，且；③，且；④，且．其中正确的是（） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若a为有理数，且，则；③若，且，则，④若，，，则，⑤若三个有理数a，b，c满足，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数m、n、p、r所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（   ） A．M或N B．M或R C．N或P D．P或R 6．（24-25七年级上·四川遂宁·随堂练习）绝对值小于的整数有 个，它们分别是 ；绝对值大于且小于的整数是 ． 7．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 8．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列语句： ①相反数等于它本身的数0；②绝对值等于它本身的数是正数；③倒数等于它本身的数是；④立方等于它本身的数是0、1，其中正确的语句是 ．（填序号） 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知表示与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，的最小值为 ． 10．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 11．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，请回答下列问题： (1)比大小：___________ ； (2)用“”把a，b，， 连接起来． 12．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 13．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）定义：把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．可以理解为． 【运用】 （1）若，则_____； 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离；式子，所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离． （2）式子的几何意义为_____； （3）求的最小值． 14．（24-25七年级上·云南文山·期末）2024年9月1日是我国第18个“全民健康生活方式日”，这天，小明在一条东西向且笔直的公路上进行跑步锻炼，他从O点出发，规定向东为正方向，他跑步的记录依次为：，，，，，，．（单位：百米） (1)请通过计算说明小明最后是否回到出发点O？ (2)如果每跑1千米会消耗60卡热量，那么小明此次锻炼一共会消耗多少卡热量？ 15．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训 （8大题型+15道拓展培优题） 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简的新定义问题 题型八 绝对值化简问题综合 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（24-25七年级上·四川宜宾·期中）若，则x的最大值与最小值的和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据的符号分类讨论，根据绝对值的意义，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：当时， ， 当时， 当异号时，， ， ∴x的最大值与最小值的和为． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘除法法则，有理数的加法运算，分类讨论是解题的关键． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，， 则所有满足条件的整数的和为， 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）当取最小值时，符合条件的整数x的和为 ． 【答案】12 【分析】本题主要查了绝对值的几何意义．根据题意得：表示数x 对应的点到数，5对应的点的距离之和，从而得到当x位于，5之间时，取最小值，即可求解． 【详解】解：根据题意得：表示数x 对应的点到数，5对应的点的距离之和， ∴当x位于，5之间时，取最小值， ∴符合条件的整数x有，，0，1，2，3，4，5， ∴符合条件的整数x的和为． 故答案为：12 3．（24-25七年级上·四川·单元测试）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，若，则为 ；当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． 【答案】 -1或-3 -2≤x≤3 【分析】根据绝对值的意义和数轴的性质解答即可． 【详解】解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是，即； 若，即=1， 则为-1或-3； 代数式表示数轴上x与-2和3的距离之和， 则当x在-2和3之间，即-2≤x≤3时，取 最小值5， 故答案为：，-1或-3，-2≤x≤3． 【点睛】此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是______；数轴上表示3和的两点之间的距离是______． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示______； (3)探究：当时，求的值？ (4)求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】(1)3，5 (2) (3)5或 (4)最小值为4，可取1，2，3，4，5 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的性质，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据定义用代数式表示； （3）根据几何意义进行求解即可； （4）根据几何意义进行化简求值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是； 数轴上表示3和的两点之间的距离是； 故答案为：3，5． （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示； 故答案为：． （3）解：当时， ， 解得或； （4）解：表示数轴上和1两点之间的距离，表示数轴上和5两点之间的距离， 故当时，表示数的点到表示1和5的点的距离之和最小，此时距离为，故可取的整数有1，2，3，4，5． 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（24-25七年级上·四川内江·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，整式的加减运算，弄清题意是解本题的关键．分，，和四种情况，化简绝对值，计算比较即可． 【详解】解：当时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴； 当时， ； ∵，即， ∴， ∴； 综上，的最大值， 故选：B． 1．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合所学知识，下列说法中正确的个数是（    ） ①若，则或4；②若，则；③若，则；④若且，则式子的值为；⑤关于x的方程有3个解．⑥若，那么的最大值为7，最小值为； A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 解，得或4；可判断①的正误；解，得；可判断②的正误；若，与的大小无法确定；可判断③的正误；由且，可得，，则式子的值为；可判断④的正误；解，可得或；可判断⑤的正误；当时，，则，当时，，可得最大值为7，最小值为；可判断⑥的正误． 【详解】解：由题意知，∵， 解得或4；①正确，故符合要求； ∵， 解得；②正确，故符合要求； 若，与的大小无法确定；③错误，故不符合要求； ∵且， ∴，， ∴式子的值为；④正确，故符合要求； ∵， 当时，，解得，； 当时，，无解； 当时，，解得，； ∴方程有2个解，⑤错误，故不符合要求； 当时，， ∴， 当时，， ∴最大值为7，最小值为；⑥正确，故符合要求； 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 分三种情况：当点P在点A左边时，当点P在线段点上时，当点P在线段点上时，分别求解，再比较即可． 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B， 则，，， 当点P在点A左边时，如图， ∴ ． 当点P在线段点上时，如图， ∴ ， ∴； 当点P在点B右边时，如图， ∴ ． 综上，， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料，我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB，则，以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离，根据上述材料，探究下列问题： （1）式子的最小值是 ； （2）式子的最大值是 ； （3）式子的最小值是 ． 【答案】 3 3 7 【分析】（1）求式子的最小值，由线段的性质：两点之间，线段最短，可知当-1≤x≤2时，有最小值； （2）确定x的取值范围进行分类讨论即可得到答案； （3）由线段的性质：两点之间，线段最短，去绝对值符号可得解． 【详解】解：（1）当x<-1时，=； 当-1≤x≤2时，=； 当x>2时，=2x-1 ∴的最小值为3， 故答案为：3； （2）当x<-1时，=； 当-1≤x≤2时，=； 当x>2时，=x+1-x+2=3 ∴的最大值为3， 故答案为：3； （3）当x<-时，=； 当-≤x≤2时，=； 当2<x≤3时，=； 当x>3时，= 所以，的最小值是：7 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想． 4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)，，，， (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （3）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，利用数轴并结合即可得解； （4）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到、和所对应的点的距离之和，再结合数轴即可得解； （5）分情况讨论：当时，当时，当时，结合绝对值的意义计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为； （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且， ∴ 结合数轴可得，这样的整数有，，，，； （4）解：∵表示数轴上数所对应的点到、和所对应的点的距离之和， ∴结合数轴可得，当时，由最小值，最小值为； （5）解：当时，，，故； 当时，，，故，此时当时，的值最大，为； 当时，，，故； 综上所述，的最大值为． 【经典例题三 多个绝对值的和的最值】 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例3】（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 1．（2025七年级上·四川·专题练习）我们可以把理解为数轴上表示x的点到表示y的点距离．若，则的最小值和最大值分别为（　　） A．4，8 B．4，9 C．5，8 D．5，9 【答案】A 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减运算，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时， ， 当时，最小值为4， 当时，最大值为5； ②当时， 当时，最小值为5， 当时，最大值为8． 综上所述，的最小值和最大值分别为4，8． 答案：A． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 【答案】225 【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式表示的意义，确定或16时，有最小值，再代值计算即可． 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和， ∴当时，有最小值， 当时， ． 故答案为：225． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知． （1）的值为 ；   （2）的最小值为 ． 【答案】 3或 【分析】本题考查了数字的变化，熟练掌握绝对值的化简及分式取值的规律是解本题的关键． （1）根据绝对值的意义得出，然后分类讨论求解即可； （2）根据绝对值的意义，设，则，，…，，当，，，…，中第奇数个值为a，第偶数个值为时，代数式的值最小，不妨设，，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上，的值为3或； ∵ ∴ 设，则，，…，， ∵， ∴中至少有一个1， 则剩余2024个都是，可使得代数式的值最小， 例如当，，，…，中第奇数个值为a，偶数个值为时，代数式的值最小， 即，， ∴ （共有2025项） ， ∴取最小值为， 故答案为：3或；． 4．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， （1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出、、、中有1个或3个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b同号，即，或，， ∴或； ∴当时，； 故答案为：． （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个负数或两正一负， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有两正一负时，设，； ∴时，的值为或； 故答案为：或． （3）解：∵， ∴、、、中有1个或3个负数 设， 设， ∴的最大值是 【经典例题四 绝对值中最值问题的应用】 【例4】（24-25七年级上·重庆渝中·期中）已知，则的最大值是（      ） A．－12 B．20 C．－20 D．－6 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义，|4+a|+|a+2|可表示为a到-4与-2两点距离的和，|b-3|+|5-b|可表示为b到3与5两点距离的和，结合|4+a|+|a+2|+|b-3|+|5-b|=4即可求出ab的最大值. 【详解】∵|4+a|+|a+2|可表示为a到-4与-2两点距离的和，|b-3|+|5-b|可表示为b到3与5两点距离的和， ∴可变形为：|4+a|+|a+2|+|b-3|+| b -5 |=4， ∴-2≤a≤-4，3≤b≤5 ∴ab的最大值=-2×3=-6. 故选D. 【点睛】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离． 1．（24-25七年级上·重庆·期中）下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①由题意可得，，则中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由可得中有一个值为负数，求解即可；③根据化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得或，分别求解即可；⑤根据题意可得异号，分两种情况求解即可． 【详解】解：①由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时， 当时， 故①正确； ②由和得中有一个值为负数， ∴，， ∴， 故②错误； ③当时，，， 则，此时最大值为7，最小值为 当时，， 则 故③正确； ④由可得或 当时，与矛盾，舍去； 当时，，且 解得或 则， 故④正确； ⑤由题意可得异号， 当，时，，， 由可得，即符合题意，此时 则 当，时，， 由可得，即，与矛盾，舍去， 综上 故⑤正确； 正确的个数为4 故选：C 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知：都不为0，且的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据绝对值的性质求出m、n的值，再代入求值即可． 【详解】当时，可得最大值 当时，可得最小值 ∴ 故答案为：0． 【点睛】本题考查了绝对值的计算问题，掌握绝对值的性质是解题的关键． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ． 【答案】1119 【分析】要使取得最大值，则保证两正数之差最大，于是a＝1，d＝9，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答. 【详解】若使的值最大，则最低位数字最大为d＝9，最高位数字最小为a＝1即可，同时为使|c－d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，所以c为1，此时b只能为1，所以此数为1119，故答案为1119. 【点睛】此题考查了绝对值的性质，根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理是解题关键. 4．（2025七年级上·四川眉山·模拟预测）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 【经典例题五 已知范围的绝对值化简】 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 【例5】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）已知|abc|＝﹣abc，则＝（　　） A．1或﹣3 B．﹣1或﹣3 C． D．无法判断 【答案】A 【分析】先由|abc|＝﹣abc，abc≠0，得出abc＜0，再根据有理数的乘法法则得到a、b、c中负数有1个或3个，然后分情况讨论即可． 【详解】解：∵|abc|＝﹣abc，abc≠0， ∴abc＜0， ∴a、b、c中负数有1个或3个． 如果a、b、c中负数有1个时，＝﹣1+1+1＝1； 如果a、b、c中负数有3个时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3． 故选：A． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法法则和绝对值的化简，解题的关键是注意分情况讨论． 1．（24-25七年级上·四川简阳·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 2．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的几何意义是解题关键．根据绝对值的几何意义可得，当时，有最小值3；当时，有最小值6，再根据、的取值得出答案即可 ． 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案为：， 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据绝对值的性质得当时，则，由此可得出答案； （2）根据、、为非零有理数，可分为以下四种情况进行讨论：①当、、均为正时，则 ，， ，；②当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，；③当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，；④当、、均为负时，则 ，， ，；根据每一种情况求出式子的值即可得出答案． 【详解】（1）解：、、为非零有理数，且， ， ， 故答案为：； （2）解：、、为非零有理数， ∴有以下四种情况： 当、、均为正时，则 ，， ，， ； 当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、均为负时，则 ，， ，， ； 综上所述：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解答此题的关键；分类讨论是解答此题的难点，也是易错点． 4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    【答案】（1）x，4；（2）6；（3）或5；（4） 【分析】（1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）对的取值范围进行分类讨论，再比较，即可作答； （3）结合（2）中的讨论过程，且，即可作答 （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，，再结合绝对值的性质进行化简作答即可． 【详解】解：（1）依题意， ∵表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （3）结合（2）中的讨论过程，且， 故当时，则，即； 当时，则，即即 所以，则或5； （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，， 那么． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的性质内容，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． 【经典例题六 未知范围的绝对值化简】 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，整式的加减运算，根据数轴正确得出式子正负是解题关键．由数轴可得，，，再去绝对值符号化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，，， ， 故选：B． 1．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）当 时，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，判断，，化简计算即可． 本题考查了绝对值的计算，有理数的加法，熟练掌握绝对值的化简，有理数的加法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，化简 ． 【答案】b 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：b． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，绝对值，去括号和合并同类项有关知识，根据数轴所示得到，，再化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 试化简：； 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，数轴上的点表示有理数，有理数的加减法， 先根据数轴上的点的位置可知，且，进而得出，再去绝对值合并即可. 【详解】解：根据题意，得，且， ∴， ∴ ． 【经典例题七 绝对值化简的新定义问题】 【例7】（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）对于有理数，定义一种新运算“”，规定．当在数轴上的位置如图所示时，化简得（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与数轴，合并同类项等知识．根据数轴判断绝对值中式子的正负情况，然后去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴，， 则． 故选：B． 1．（24-25七年级上·河北·阶段练习）对于有理数、，定义一种新运算“*”，规定：，则3*的值为（  ） A．0 B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义得出运算式子，再根据绝对值运算求解即可． 【详解】由新运算的定义得： 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值运算，理解新运算的定义是解题关键． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·课后作业）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定：． （1）计算： ； （2）若a，b在数轴上的位置如图所示．则化简 ． 【答案】 8 -2a 【分析】（1）根据新定义列出绝对值式子计算即可； （2）先根据数轴的定义得出a、b的符号，再根据新定义即可即可． 【详解】解：（1） ； （2）由数轴的定义得： 则 ． 故答案为：8；-2a． 【点睛】本题考查了新定义下的绝对值运算、数轴，理解新定义，掌握绝对值运算是解题关键． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）新定义如下：， ； 例如：， ；根据上述知识， 若， 则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，化简绝对值，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键．根据得出含绝对值的方程，解方程可得答案． 【详解】解：由题可得：， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定． (1)计算的值． (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，请举例说明． 【答案】(1) (2) (3)不一定有或者，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算、绝对值的意义、数轴，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干的运算法则计算即可得解； （2）由数轴可得：，，从而得出，，再根据运算法则结合绝对值的意义求解即可； （3）举出反例即可得解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由数轴可得：，， ∴，， ∴； （3）解：不一定有或者，理由如下： 若，，， 则，， ∴，但此时或． 【经典例题八 绝对值化简问题综合】 【例8】（2025·重庆·模拟预测）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义．根据“非负差值运算”的定义逐项判断即可． 【详解】解：①， ∴对、5、9进行“非负差值运算”的结果是24，故①正确； ②当时，、、6的“非负差值运算”结果为，故②错误； ③∵x、y、z的“非负差值运算”结果为， ∴时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 同理，时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； ∴x、y、z的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③错误； ∴正确的有1个． 故选：B． 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，对多项式任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：，等，下列相关说法正确的数是（    ） ①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数； ②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式的和为0； ③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有9种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简、相反数的定义．“绝对领域”可以理解为加了绝对值符号后，符号内外仍然是大的数减小的数，因此符号不会因加了绝对值而改变． 【详解】解：， 只需，减去，，，，结果一定是非负数， 例如：，故①正确； 的相反数为， ， 加绝对值无法将变为，即不存在与原式互为相反数的可能，故②错误； 由，可得：与的符号不变，，，的符号会发生变化， 列举法得到化简后的结果为：，，，，，，，，共八种，故③错误． 综上，正确的说法有①，共1个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． 【答案】 【分析】从数轴上得到：，再根据绝对值运算结果的正负去掉绝对值符号，计算出结果．本题考查了绝对值和数轴的应用，关键根据数轴上的点来判断绝对值运算的结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，利用数轴判断式子的符号，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再进行化简即可，解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定式子的符号． 【详解】解：由题意可知， ， ∴，，，， ∴ ， 故答案为：． 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 【答案】(1)，的值为3 (2)满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想（根据绝对值内式子的符号分段化简），要求对绝对值的性质深度理解，且能严谨分类求解． 根据绝对值的几何意义与分类讨论思想展开，由x的取值范围化简绝对值求解． 【详解】（1）解：当时，， ． ， ， 解得，即的值为3． （2）解：当时，， 则，解得， 点表示的数为； 当时，，故不符合题意； 当时，由（1）可知，点表示的数为3． 综上所述，满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3． 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上表示的点一定在原点的左边 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．几个非零有理数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为负数． D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 【答案】D 【分析】题目主要考查绝对值的性质，有理数的乘法，结合绝对值、数轴及有理数乘法法则逐一分析各选项的正误即可 【详解】解：选项A：当时，，对应原点，不在左边，故A错误，不符合题意； 选项B：互为相反数的数绝对值相等（如与），但两数不相等，故B错误，不符合题意； 选项C：偶数个负因数相乘结果为正数，不是负数，故C错误，不符合题意； 选项D：设该数为，若，则必为负数（正数和零均满足），故D正确，符合题意； 故选：D 2．（24-25七年级上·云南昆明·期末）数轴上表示数a，b，c，d的点如图所示，其中绝对值最小的数是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟记定义． 根据绝对值的意义，即可判断； 【详解】解：根据数轴可得，数b到原点的距离最近，故绝对值最小的数是b； 故选：B． 3．（24-25七年级上·青海西宁·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列选项中：①，且；②，且；③，且；④，且．其中正确的是（） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数运算，解题关键是根据数轴确定数的正负、绝对值大小． 先依据数轴确定，：再根据有理数乘、加运算法则，分别判断各项符号即可． 【详解】解：根据数轴得，： ①（异号相乘），（绝对值大）原说法错误； ②（异号），（a绝对值大），原说法正确； ③（同号），（同正相加）原说法正确； ④（异号），（绝对值大），原说法错误； 综上，正确的有②③； 故选C． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若a为有理数，且，则；③若，且，则，④若，，，则，⑤若三个有理数a，b，c满足，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了相反数、绝对值、平方和大小比较的应用能力，运用相反数、绝对值、平方和大小比较的知识进行逐一辨别、求解，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：∵若a、b互为相反数，当时，； 当时，无意义， ∴说法①不正确； ∵若a为有理数，且， 则当时，； 当时，， ∴说法②不正确； ∵若，且，则， ∴说法③正确； ∵若，，， ∴，， 则， ∴说法④正确； ∵若三个有理数a，b，c满足，则． ∴说法⑤正确， ∴其中正确的有3个， 故选：C． 5．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数m、n、p、r所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（   ） A．M或N B．M或R C．N或P D．P或R 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴的定义以及绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．先利用数轴的特点确定的关系，从而确定的值，确定原点即可． 【详解】解：， ， ， ， 设数a对应的点为点A，数b对应的点为点B， ①当原点在或点时，， 和题意相互矛盾，故原点不可能在或点； ②当原点在时且时，， 故原点应该在M或R点． 故选B． 6．（24-25七年级上·四川遂宁·随堂练习）绝对值小于的整数有 个，它们分别是 ；绝对值大于且小于的整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：绝对值小于的整数有个，分别为；绝对值大于且小于的整数是， 故答案为：，；． 7．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列语句： ①相反数等于它本身的数0；②绝对值等于它本身的数是正数；③倒数等于它本身的数是；④立方等于它本身的数是0、1，其中正确的语句是 ．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了相反数，绝对值、倒数的定义和立方的运算，解题关键是准确理解并运用这些数学概念的定义； 根据相反数的定义、绝对值的性质以及立方的运算逐一分析判断即可． 【详解】①根据相反数的定义，的相反数是0，所以相反数等于它本身的数是0，所以该语句正确； ②绝对值的性质是，正数和0的绝对值等于它本身，所以绝对值等于它本身的数是正数和0，不只是正数，所以该语句错误； ③根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，，，所以倒数等于它本身的数是，所以该语句正确； ④分别计算，，，，所以立方等于它本身的数是、、，不只是和，所以该语句错误． 综上所述：正确的有：①③； 故答案为：①③． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知表示与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值等知识点，熟练掌握绝对值的意义并运用数形结合思想是解题的关键． 利用绝对值的意义解答即可． 【详解】解：表示数到数，，的距离之和， 只有当时，有最小值，其最小值为： ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 【答案】 1 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，绝对值的应用，读懂题意寻找规律，利用规律计算，得到的规律写出含有绝对值的等式，逐一分析得到规律，即可解答，解题的关键是掌握绝对值的意义，得到规律 【详解】解：和关于1的“单位数”， ， 当都小于等于1时，可得， 可得， 当都大于1时，可得， 可得， 当时，由于， 可得，此时和都取最小值时，相加最小，值为， 同理当时，相加最小值为1， 故有最小值1； 由题意可知：， 同理可得的最小值为3； 同理可得的最小值为7， 同理可得的最小值； 同理可得的最小值； ； 同理可得的最小值； 的最小值：． 故答案为：1；． 11．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，请回答下列问题： (1)比大小：___________ ； (2)用“”把a，b，， 连接起来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的大小．绝对值的意义等知识，准确识图，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴可知，进而可得出答案． （2）根据数轴可知，进而可得出答案． 【详解】（1）解：根据数轴可知：， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可知：， ∴． 12．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 【答案】(1) (2)5或 (3) 【分析】本题考查数轴上点与点之间的距离和绝对值的非负性，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由可得或，求解方程即可； （3）根据点与点之间的距离的概念确定x的范围，取整即可． 【详解】（1）若， 则，解得，，解得． （2）若， 则或， 解得或． （3）若， 表示数的点到数的点距离与到数的点的距离之和为5， ， x的值为整数， x值为． 13．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）定义：把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．可以理解为． 【运用】 （1）若，则_____； 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离；式子，所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离． （2）式子的几何意义为_____； （3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）数轴上表示数a的点与所对应的点的距离；（3） 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义： （1）仿照题意可得表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，据此可得答案； （2），再结合题意即可得到答案； （3）表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，则； （2）由题意得，表示的是数轴上表示数a的点与所对应的点的距离； （3）由题意得表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值为． 14．（24-25七年级上·云南文山·期末）2024年9月1日是我国第18个“全民健康生活方式日”，这天，小明在一条东西向且笔直的公路上进行跑步锻炼，他从O点出发，规定向东为正方向，他跑步的记录依次为：，，，，，，．（单位：百米） (1)请通过计算说明小明最后是否回到出发点O？ (2)如果每跑1千米会消耗60卡热量，那么小明此次锻炼一共会消耗多少卡热量？ 【答案】(1)回到出发点O，计算见解析 (2)312卡 【分析】此题主要考查有理数运算的应用，绝对值的应用，解题的关键是熟知正负数和绝对值的意义． （1）计算每次数据和即可得到答案； （2）计算每次记录的绝对值之和即可得到总路程，乘以60即可求解． 【详解】（1）解：， ∴小明最后回到出发点O； （2）（百米） 52百米千米， ∴卡， ∴小明此次训练一共可以消耗312卡热量． 15．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $$