专题04 有理数的加法与减法重难点题型专训（4个知识点+9大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题04 有理数的加法与减法重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法运算律 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数加减混合运算 题型六 有理数加减中的简便运算 题型七 有理数加法在生活中的应用 题型八 有理数减法的实际应用 题型九 有理数加减混合运算的应用 拓展训练一 有理数加减法的规律计算 拓展训练二 有理数加减法与数轴结合 拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算 拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合 拓展训练五 有理数加减法的新定义运算 知识点一：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川南充·期末）计算：，其结果为（） A．6 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数加法的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．根据有理数加法的运算方法，求出的结果即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算：（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 知识点二：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·河北邢台·期末）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 【答案】A 【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律，． 【详解】解：是应用了加法交换律， 故选：A 2．（24-25七年级上·四川眉山·课堂例题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据加法的结合律计算，即可作答． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，掌握加法的结合律，是解答本题的关键． 知识点三：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）1与的差是（   ） A． B．2023 C． D．2025 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法，掌握有理数减法法则是解题关键．根据题意列出算式，计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，直接根据有理数的减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点四：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川巴中·期中）下列变化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的加减运算法则计算可得． 【详解】A. ，此选项等式成立； B. ，该选项错误； C. ，该选项错误； D. ，该选项错误； 故本题选A． 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则． 2．（24-25七年级上·四川简阳·期中）规定：，计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键，理解定义新运算的规则是解题的关键． 【详解】解： ． 【经典例题一 有理数的加法运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟悉掌握加法运算法则是解题的关键．根据加法运算法则运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）计算等于（   ） A． B．1 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故选A． 2．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）大于的所有负整数的和为 ． 【答案】 【分析】首先根据有理数大小比较的方法，判断出大于所有负整数有哪些；然后根据有理数加法的运算方法，把大于所有负整数相加，求出它们的和是多少即可． 【详解】解：大于所有负整数有：、、、， 大于所有负整数的和是： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 3．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）一个大于2的整数可分解成若干个1或2的和，也可有1又有2出现，现做如下变换：1可能异变成2，2也可能异变成1，例如：，可能异变成：；，共计七种形式（不考虑加数的顺序），那么9可以分解异变成 个形式． 【答案】40 【分析】首先理解题意，再根据探索出的异变数据的规律，得到异变的形式的个数，即可得到答案． 【详解】解：由题意，得 ， ， ， ， ； 第1个等式可以异变成6种形式； 第2个等式可以异变成7种形式； 第3个等式可以异变成8种形式； 第4个等式可以异变成9种形式； 第5个等式可以异变成10种形式． 共计个形式． 故答案为：40． 【点睛】本题考查有理数的加法，理解能力、规律发现能力等． 4．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）杭州的九溪十八洞是一处非常著名的景点，曾有一首是描写其妙处： 重重叠叠山，曲曲环环路 叮叮咚咚泉，高高下下树 这首诗的结构有一特点：每句是的形式． 现在有等式的形式，其中相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，每个字母表示从1到9的某个数字：问一共有多少个这样的算式，说明理由． 【答案】4个；理由见解析 【分析】由等式可以看出，、相差1，、两个数字的和一定大于10，由此联立，求得、的取值范围，结合数字特点解答即可． 【详解】解：由，列竖式得， 可知， 解得，， 所以正整数，6，7，8；相应的，7，8，9； 因此这样的算式共有4个． 【点睛】此题主要利用算式的特点，结合进位数字的特点，找出里面蕴含的数字之间的关系解决问题． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 1．（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则化简，再判断即可． 【详解】原式=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，即括号前是“+”，去掉后，括号内不变号，括号前是“－”，去掉后，括号内变号． 2．（24-25七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则 0．（用＞，＜或＝填空） 【答案】 【分析】绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，再结合，，可得答案. 【详解】解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算中的符号确定，掌握“绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同”是解本题的关键. 4．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【经典例题三 有理数加法运算律】 【例3】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算的值等于（    ） A．－1012 B．－1011 C．1012 D．1013 【答案】A 【分析】从第二个数开始，相邻两个数的和为，再确定的个数，最后求解． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 1．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】有理数的加减混合运算，运用加法交换律和结合律，将同分母的结合即可简便计算． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加减法混合运算，涉及加法交换律和加法结合律的运用，注意到题目的特征是解决问题的关键． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）计算： 【答案】111092 【分析】根据凑整法简算即可． 【详解】解： 故答案为：111092． 【点睛】解答此题，应仔细观察，认真分析式中数据，运用运算技巧或运算定律合理简算． 3．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】（1）； ． 故答案为：． （2）； ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 4．（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）运用有理数的加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）运用有理数的加法的交换律和结合律进行计算即可． 本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解题的关键．注意运用加法运算律简便运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】（2024·贵州六盘水·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选A． 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）若，，且，那么的值是（    ） A．5或1 B．1或 C．5或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查有理数的减法，能够根据题意分析出与的值是解题的关键．根据，可以分析出是负数，再根据可以分析出与的值，最后再进行计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴或． ∴或． 故选：D． 2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）若，，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，先根据绝对值的意义求出，然后分，讨论即可． 【详解】解∶∵， ∴， 当时，， ∴， ∴或； 当时，，不符题意，舍去， 综上，或6， 故答案为∶2或6． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）用符号表示，两数中的较大者，用符号表示，两数中的较小者，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的大小比较，有理数的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义，比较两数大小，找到较大者即可； （2）分别根据定义得到答案，然后计算有理数的减法即可． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）， ， 故答案为：． 4．（2024七年级上·四川眉山·专题练习）比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． (1)你能对照上述方法比较与的大小吗？ (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据与的大小得出结论即可； （2）根据与的大小得出结论即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ， ． 【经典例题五 有理数加减混合运算】 【例5】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）能与相加得0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，属于基础题，要熟练掌握．将各个选项与题目式子相加看结果为多少即可． 【详解】解：， A. ，该选项错误； B. ，该选项错误； C. ，该选项正确； D. ，该选项错误， 故选：C． 1．（2025·河北保定·模拟预测）下面算式与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接计算每个算式，对比答案即可． 【详解】解：； A、； B、； C、； D、， 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，熟记有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课堂例题）中考新趋势·新定义 规定一种新运算“*”，即，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义运算法则是解题的关键． 根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：12． 3．（24-25七年级上·北京·期末）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有：，这里“+”号表示数的加法．例如：．则 （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算． （1）先根据题意得到推出，据此求解即可； （2）将所求式子变形为，得出，得到，据此计算可得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查有理数加减法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加法即可； （2）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加减法． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【经典例题六 有理数加减中的简便运算】 【例6】（24-25七年级上·广东深圳·期中）再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【详解】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 1．（2025七年级上·四川眉山·模拟预测）式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是对从所给的数字中找到存在的规律，把两个数看成一组，从而可求解． 【详解】解： ． 则1012不可能是奇数． 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）找规律计算： ． 【答案】 【分析】先将原式转化为，再进一步变形为，然后计算即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，将裂项折成是解答本题的关键． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．利用加法运算律计算求解是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是∶ （1）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可； （2）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解∶ ． 【经典例题七 有理数加法在生活中的应用】 【例7】（24-25七年级上·广东深圳·期末）甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如同一时刻北京为时，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为．已知卡塔尔与北京的时差为，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行，此时卡塔尔卢塞尔的时间为（　　） A．11月20日05时 B．11月20日19时 C．11月21日05时 D．11月21日19时 【答案】B 【分析】卡塔尔与北京的时差为，根据有理数的加法运算法则进行计算即可． 【详解】解：卡塔尔与北京的时差为，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行， ， 卡塔尔卢塞尔的时间为11月20日19时． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则并理解时差的概念是解题的关键． 1．（24-25七年级上·广西河池·期中）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有6排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加2个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有8排，则该礼堂的座位总数是（   ）    A．390个 B．402个 C．540个 D．780个 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法的应用，根据题意正确列出加法算式是解题关键．由题意可以得到每排的座位数，求出它们的和即可得到答案． 【详解】解：∵前区共有6排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加2个座位， ∴前区座位总数为：， ∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有8排， ∴后区座位总数为：， ∴该礼堂的座位总数是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）青龙县城某天早晨气温是，到中午气温上升了，这天中午气温是 ℃． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，关键是能根据题意列出算式． 根据题意列算式求解即可； 【详解】解：根据题意列算式得：， 故答案为： 3．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）宸宸的背包最多可以装12千克的物品，现有六件物品重量与价值如下表所示： 宸宸想把六件物品中的若干件装入背包，使得背包中物品的价值最大，则背包中所装物品是 ，最大总价值为 百元． A B C D E F 重量（千克） 2 3 4 3 6 8 价值（百元） 12 19 22 14 40 45 【答案】 A、C、E 74 【分析】本题考查了推理计算，有理数的加法，根据“背包最多可以装12千克”，列出可能出现的组合，分别计算总价值，即可得到答案． 【详解】解：背包最多可以装12千克， 最有可能的组合有： 物品 总重量（千克） 总价值（百元） A、B、C、D 12 67 A、B、E 11 71 A、C、E 12 74 B、D、E 12 73 C、F 12 67 装A、C、E三件物品能使背包中物品的价值最大，总价值为（百元）， 故答案为：A、C、E，74． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）2024年国庆节，四川眉山放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【答案】(1)5.9 (2)4，6.8，1，1.2 (3)该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客 【分析】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法计算是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）分别计算2日到7日的游客人数即可判断； （3）将1日到7日的游客人数相加即可． 【详解】（1）解：10月3日的接待游客人数为万人次， 故答案为：； （2）解：因为10月2日的游客人次：（万） 10月3日的游客人次：（万） 10月4日的游客人次：（万） 10月5日的游客人次：（万） 10月6日的游客人次：（万） 10月7日的游客人次：（万） ∴国庆假期里，游客人数最多的是10月4日，达到6.8万人次；游客人数最少的是10月1日，达到1.2万人次， 故答案为：4，6.8，1，1.2； （3）解：（万） 答：该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客． 【经典例题八 有理数减法的实际应用】 【例8】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）温度从下降后为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：温度从下降后为， 故选：A． 1．（24-25七年级上·北京西城·阶段练习）某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示： 志愿者 可参与值守时间段1 可参与值守时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最最长为（    ）小时．（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查简单的极端原理，关键是理解清楚每个人至少参加一个时间段的值守，同一时间值守的人不能超过两个的含义． 【详解】要使时间最长，即每人尽量都参加两次值守，且同一时间值守的人不能超过两个， 时间段，同时有三个人值守，不符合题意，去掉时间段最短的丁， 最长时间． 故选B． 2．（24-25七年级上·四川简阳·期中）一般情况下，海拔每上升1千米，气温下降约一座山海拔高度为2千米，如果小明在山脚下测得的气温是，那么小明乘缆车到山顶后测得的气温约是 ． 【答案】 【分析】根据有理数加减混合运算计算即可，本题考查了有理数加减乘法混合运算，，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川乐山·期末）仔细观察资料卡中的信息，可以发现水银的凝固点比酒精的凝固点高 ℃． 【答案】 【分析】根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：水银的凝固点比酒精的凝固点高：（℃）， 故答案为：78.43． 【点睛】此题考查有理数的减法的应用，解题的关键是有理数减法的熟练计算． 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲从A地出发，先后经过B、C两地，最终到达M地；然后从M地原路返回至A地．甲在从A地去往M地的路上一开始匀速行驶，在BC两地之间某处，甲提速了，并且以后一直保持着这个速度直至返回到A地．已知在从A地去M地的过程中，A地到B地、B地到C地、C地到M地都用时12分钟；返程的路上，从C地到B地用时10分钟．如果甲再次以最开始的速度出发，在相同的地点加速，但这回加速，请问，他从A地出发到M地再返回A地需要多少分钟？ 【答案】54分钟 【分析】本题考查行程问题，理解题意是解题的关键． 设加速点为D，列比例式有，段往返时间差2分钟，， 段原速行驶6分钟，加速行驶4分钟，段加速行驶6分钟，则 则加速后，去时 返回时即可解答． 【详解】解：如图，设加速点为D，列比例式有，段往返时间差2分钟， ， ∴段原速行驶6分钟，加速行驶4分钟，段加速行驶6分钟，则 ， ∴． 则加速后，去时 返回时 ∴（分钟）． 答：他从A地出发到M地再返回A地需要54分钟． 【经典例题九 有理数加减混合运算的应用】 【例9】（24-25七年级上·广东河源·阶段练习），，的和比它们绝对值的和小 A． B． C．20 D． 【答案】C 【分析】先求得这个三个数的和，然后再求得它们的绝对值的和，最后用它们绝对值的和减去这三个数的和即可． 【详解】， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是有理数的加减、绝对值的性质，根据题意列出算式是解题的关键． 1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，就是把 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个数字，分别填入九个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，现在小刚模仿九宫图，将 －3，－2，－1 ，0，1，2，3，4，5这九个数字分别填如图的九个方格中，其中a、b、c分别表示其中的一个数，则a－b＋c的值为（     ） a 5 0 3 1 b c -3 4 A．－1 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据“九宫图”中每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，得出b和c的关系，再根据未填的数得到a、b、c的值． 【详解】解：由题意可得： c-3+4=b+1+3， ∴c-b=3， ∵-2，-1，2三个数未填， ∴c=2，b=-1，a=-2， 填图如下： -2 5 0 3 1 -1 2 -3 4 ∴a－b＋c的值为2-1-2=-1， 故选A． 【点睛】本题考查了有理数加减运算，熟知“九宫图”的填法是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）对种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是含甲的种，含乙的种，含丙的种；含甲、乙的种，含甲、丙的种，含乙、丙的种；含甲、乙、丙的种仅含维生素甲的有 种，不含甲、乙、丙三种维生素的有 种 【答案】 3 9 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算的应用，解题关键是读懂题意，找出数量关系，根据容斥原理列式计算即可． 根据题意和容斥原理，知含维生素甲的食物的种数=含维生素甲的食物种数-含维生素甲、乙的食物种数-含维生素甲、丙的食物种数+含维生素甲、乙、丙的食物种数；再求出含维生素甲或乙或丙的食物种数，即可求出不含维生素甲、乙、丙的食物种数． 【详解】解：仅含维生素甲的有种， 不含甲、乙、丙三种维生素的有种． 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）“十一”黄金周期间，某市外出旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 如果将9月30日外出旅游人数记为a，请用含字母a的代数式表示“十一”黄金周期间该市外出旅游的总人数： ． 【答案】万人 【分析】本题考查了有理数的混合运算和列代数式，关键用字母表示出每天出游的人数．分别用含有a的代数式表示出“十一”这七天的旅游人数，最后相加化简便可． 【详解】解：1日：万人， 2日：万人， 3日：万人， 4日：万人， 5日：万人，， 6日：万人， 7日：万人， 万人， 故答案为：万人． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期中）随着2024年1月哈尔滨旅游的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好地服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒，每天售出礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的实际游园人数以及售出礼盒数量的变化情况． 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际游园人数相对于标准人数/万人 +0.5 +0.8 -0.3 +0.7 -0.1 +0.6 +0.3 售出礼盒的数量相对于实际游园人数/万盒 -0.3 +0.4 0 +1.5 +0.8 +1.1 +1.8 (1)求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数； (2)如果门票为每人100元，那么本周内门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？ (3)在（2）的条件下，如果礼盒每盒50元，那么这一周冰雪大世界在门票和礼盒上的总收入是多少钱？ 【答案】(1)星期二的游客人数最多为万人 (2)门票收入最高的一天比最低的一天多110万元 (3)总收入为1690万元 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数加减法的混合运算的实际应用及乘法运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）由超过标准人数最多的1天可得答案； （2）由星期二门票收入减去星期三的门票收入即可得到答案； （3）由门票收入加上礼盒收入可得总收入． 【详解】（1）解：∵星期二超过标准人数最多， ∴星期二的游客人数最多为：（万人） （2）解：星期二人数最多，收入最高，为：（万元）， 星期三人数最少，收入最低，为：（万元）， ∴门票收入最高的一天比最低的一天多（万元） （3）解：∵游客总人数为：（万人）， ∴门票总收入为：（万元） ∵购买礼盒总数量为： （万盒）， ∴购买礼盒收入为：（万元）， ∴总收入为：（万元）． 【拓展训练一 有理数加减法的规律计算】 1．（2022七年级上·浙江·专题练习）（1）有1，2，3，…，11，12共12个数字，请在每两个数字之间添上“+”或“﹣”，使它们的和为0； （2）若有1，2，3，…，2007，2008共2008个数字，请在每两个数字之间添上“+”或“﹣”，使它们的和为0； （3）根据（1）（2）的规律，试判断能否在1，2，3，…，2012，2013，共2013个数字的每两个数字之间添上“+”或“﹣”，使它们的和为0？若能，请说明添法；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）1到6的数字奇数前面加正号，偶数前面加负数，7到12的数字奇数前面加负号，偶数前面加正号，可得到它们的和为0； （2）1到1004的数字奇数前面加正号，偶数前面加负数，1005到2008的数字奇数前面加负号，偶数前面加正号，可得到它们的和为0； （3）1到2013的总个数为奇数，则2013个数字的每两个数字之间添上“+”或“﹣”，它们的和不能为0． 【详解】解：（1）1﹣2+3﹣4+5﹣6﹣7+8﹣9+10﹣11+12＝0； （2）1﹣2+3﹣4+…+1003﹣1004﹣1005+1006+﹣2007﹣2008＝0； （3）不能．因为1到2013的总个数为奇数，每两个数字之间添上“+”或“﹣”，不能使它们的为和0． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算：有理数加减法统一成加法，熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)独立思考：解答王老师提出的问题：第个式子为__________，第个式子为_____． (2)实践探究：利用（1）中的规律计算：； (3)问题拓展：某小组同学对上述问题进行了研究之后，设计了一个分母中的两个因数的差为的题目，请你解答：求； (4)问题解决：求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了数字变化类—规律型，根据例子总结出规律是解题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）利用（1）的规律进行求解即可； （3）仿照（2）的解答方式进行求解即可； （4）把各项进行整理，再利用题目中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第个式子为，第个式子为， 故答案为：，； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式， ， ， ， ， ． 3．（24-25七年级上·广东珠海·期中）（1）请观察下列算式，找出规律并填空． 则第10个算式是__________； （2）第个算式是__________； （3）根据以上规律解答下题：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）按照式子规律即可写出第10个算式； （2）按照式子规律可可写出第个算式； （3）根据算式规律进行替换，然后中间项可以加减相消，最后化简结果即可． 【详解】解：（1） （2） （3）原式 【点睛】本题考查了规律探究，认真观察已知所给的式子关系，大胆猜想，仔细分析，并得出相应的规律，发现规律并会应用是解题关键． 【拓展训练二 有理数加减法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若与互为相反数，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题考查相反数，绝对值的非负性，有理数的混合运算，掌握新定义的法则，是解题的关键： （1）根据相反数的定义和绝对值的非负性，求出的值，再利用新运算的法则，进行计算即可； （2）根据两点间的距离求出的值，相反数的定义求出的值，再利用新运算的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，且A，B两点的距离是7， ∴或， ∵y是的相反数， ∴， ∴当时： ； 当时： ． 2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示：    (1)试确定数a，b； (2)A，B两点相距多少个单位长度？ (3)点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2023次后，求P点表示的数． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点之间的距离，点的运动规律，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴得出，结合a和b的绝对值，即可解答； （2）用点B表示的数减去点A表示的数，即可解答； （3）先根据题目所给的移动方法，归纳出每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度，结合数轴上两点之间距离的表示方法，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：将向右平移记为正，向左平移记为负， ∴向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，可表示为：， 向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，可记为：， ∴每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度， ， ∴操作2023次后，求P点表示的数为． 3．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）归纳： (一)在数轴上，点表示数，点表示原点，求点之间的距离． 解：根据绝对值的定义：一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，可知点之间的距离为． (二)在数轴上，点分别表示数，分别计算下列情况中点之间的距离． (1)当时，　　； (2)当时，　　； (3)当时，　　； (4)当时，　　； (5)当时，　　； 总结： (6)点分别表示数，点之间的距离为　　； 应用： (7)数轴上分别表示和的两点和之间的距离为，那么　　； (8)计算：　； (9)的最小值是　． 【答案】（1）3；（2）5；（3）7；（4）3；（5）；（6）；（7）或；（8）；（9） 【分析】（1）根据数轴上两点的距离进行计算即可求解； （2）根据数轴上两点的距离进行计算即可求解； （3）根据数轴上两点的距离进行计算即可求解； （4）根据数轴上两点的距离进行计算即可求解； （5）根据数轴上两点的距离进行计算即可求解； （6）根据数轴上两点的距离进行计算即可求解； （7）根据数轴上两点的距离进行计算即可求解； （8）根据绝对值的意义，化简绝对值，然后根据有理数的加减进行计算即可求解； （9）可以看作到与的距离，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）； 故答案为：； （5）； 故答案为： （6）； 故答案为：； （7）； ∴， ∴或； 故答案为：或； （8）原式= ； 故答案为： （9）可以看作到与的距离， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，有理数的加减混胡运算，掌握绝对值的意义以及数轴上两点的距离是解题的关键． 【拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算】 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）列式并计算： (1)，，的绝对值的和比它们的代数和的绝对值大多少？ (2)设表示不超过的最大整数，例如：，，求的值； 【答案】(1)20； (2)． 【分析】本题考查了有理数的大小比较和混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解答本题的关键． （1）分别求出绝对值的和与和的绝对值，两者相减即可； （2）根据规定，先化简，再根据有理数加减混合运算法则运算即可． 【详解】（1）解：，，的绝对值的和为：， ，，代数和的绝对值为：， ，，的绝对值的和比它们的代数和的绝对值大：． （2）解：根据题意可得 ． 2．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）根据绝对值的概念，我们在一些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．请根据以上规律计算：． 【答案】 【分析】先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质正确化简即可． 【详解】解： = = = 【点睛】此题考查了绝对值，有理数的加减混合运算，根据绝对值的非负性去掉绝对值符号是解题关键． 3．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）阅读材料： 因为一个正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，，如；当时，，如． 根据以上信息完成下列问题： (1)___________；___________； (2)计算：． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加减混合计算： （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）先根据绝对值的意义去绝对值，然后根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：；， 故答案为：2；； （2）解： ． 【拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）某一出租车司机一天下午以榆中一中为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：，，，，，，，，， (1)出租车司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车离一中出发点多远？在一中的什么方向？ (2)若2千米以内都是6元，每超过1千米每千米加价元，出租车司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)离一中，在一中的什么方向西边 (2)120元 【分析】（1）向东为正，向西为负，将收工时行走记录相加，如果是正数，在一中东边；如果是负数，在一中西边；如果为0在一中处； （2）将每次记录的2千米以内收6元，共10次，超过2千米的部分×1.5，即可解答． 【详解】（1）解： 答：离一中，在一中的西边； （2） （元） 答：营业额120元． 【点睛】本题考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 2．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ (2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后是回到了出发点O (2)12厘米 (3)54粒 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 【详解】（1）解： ， ∴小虫最后是回到了出发点O； （2）解：① 厘米， ② 厘米， ③ 厘米， ④ 厘米， ⑤ 厘米， ⑥ 厘米， ⑦ 厘米， ∴小虫离开出发点O最远时12厘米． （3）解：（厘米） （粒） 答：小虫一共得到54粒芝麻． 3．（24-25七年级上·云南保山·阶段练习）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (2)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有 (2)青蛙在第25次跳出了井口 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数加减法的实际应用； （1）以井底为起点可以计算出青蛙距离井底的距离，用井深减去青蛙第七次跳完以后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （2）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口； 【详解】（1）解∶， 即在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有； （2）解：∵每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完3周以后，距离井底的距离（厘米），此时青蛙完成了21次跳跃，， 即第21次后，距离井口：， 第22次后，距离井口：， 第23次后，距离井口：， 第24次后，距离井口：， 第25次后，，此时跳出井口， 故青蛙在第25次跳出了井口． 【拓展训练五 有理数加减法的新定义运算】 1．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）对于有理数a，b，定义一种新运算“@”，规定．如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则逐步计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 【答案】(1) (2)，和， 【分析】本题考查新定义运算，有理数的加减运算，理解“”的运算法则是解题的关键． （1）根据“”的运算法则计算即可； （2）分别列举实例，再推广到一般情况，分和两种情况，令即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 综上可知，当，和，两种条件下，． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整； 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用__________________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得__________________． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 【答案】(1)正；负；都得0；这个数的绝对值 (2)①0；②不成立，理由见解析 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可； ②设，，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正；负；都得0；这个数的绝对值； （2）解：① ， 故答案为：0； ②不成立，理由如下： ，，， 左边， 右边， 因为左边右边， 所以不成立． 1．（2025·浙江·模拟预测）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据有理数的加减运算进行计算即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意；     D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）下列各式中正确使用了加法运算律的是(　　) A．(＋5)＋(－7)＋(－5)＝(＋5)＋(－5)＋(－7) B．＋＝＋ C．(－1)＋(－2)＋(＋3)＝(－3)＋(＋l)＋(－2) D．(－1.5)＋(＋2.5)＝(－2.5)＋(＋1.5) 【答案】A 【分析】根据加法的交换律和结合律逐项判断即得答案． 【详解】解：A、(＋5)＋(－7)＋(－5)＝(＋5)＋(－5)＋(－7)，正确运用了加法运算律，故本选项符合题意； B、＋＝＋，交换加数的位置时，改变了加数的符号，故本选项不符合题意； C、(－1)＋(－2)＋(＋3)＝(－3)＋(＋l)＋(－2)，交换加数的位置时，改变了加数的符号，故本选项不符合题意； D、(－1.5)＋(＋2.5)＝(－2.5)＋(＋1.5)，交换加数的位置时，改变了加数的符号，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了加法的运算律，加法的交换律是：，结合律是：，熟练掌握基础知识是关键． 3．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 4．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减的运算法则．由有理数的加减的运算法则和加法交换律进行计算，即可进行判断． 【详解】解： ，故甲正确； ，故乙正确． 故选A． 5．（2025·福建福州·模拟预测）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 S 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） A．195 B．2B C．6E D．C3 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，十进制数与十六进制数的转换，根据十进制求出的乘积，再把结果转化成十六进制，即可求解．理解十进制和十六进制之间的换算是解题的关键． 【详解】解：由表格得 对应的十进制的数是，对应的十进制的数是， ， 由十进制表示得：， 在十六进制中为， ， 故选：D． 6．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算： ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．先去括号再进行加减运算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 7．（24-25七年级上·陕西·阶段练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 8．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）运用加法交换律和结合律计算： （1） 7 ； （2） ． 【答案】 + + 0 + + + -2 【分析】（1）可以先把正数结合在一起，然后再利用有理数的加法法则计算即可解决本题； （2）可以先把负数结合在一起，然后再利用有理数的加法法则计算即可解决本题． 【详解】解：根据加法交换律和结合律 （1）； （2） 故答案为：（1）+、+、0；（2）+、+、+、-2． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算规律，熟记有理数的加法交换律和结合律是解决本题的关键． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空： ． 【答案】2500 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题中材料可知规律为：第一个数与最后一个数的和再乘以第一个数与最后一个数的和的一半，再除以2． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：2500． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 ． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出算式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴色， ∴红， 故答案为：9． 11．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）计算：． 【答案】 【分析】观察式子中的分数，发现有互为相反数和分母相同的分数，利用加法交换律和结合律将它们分别结合在一起，简化计算过程．本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律和结合律是解题的关键． 【详解】解：原式． 12．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）有理数在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“＜”或“＞”填空：　　0； 　 　0；　 　0 （2）化简： 【答案】（1）＜；＞；＜；（2）. 【分析】（1）有根据数轴上点的位置关系可得，，再根据有理数的加减法即可判断符号； （2）根据（1）判断的式子符号，结合绝对值的性质进行化简计算. 【详解】解：（1）由数轴可得，， ∴，， 故答案为：＜，＞，＜； （2）∵，， ∴ = = = 【点睛】本题考查根据数轴上点的位置判断式子的符号，以及绝对值的化简，熟练掌握数轴特点以及绝对值的性质是解题的关键. 13．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考出来简便运算，解题的关键是∶ （1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是老师写在黑板上的一道例题． 计算： ……步骤① ……步骤② (1)步骤①的运算依据是________，步骤②的运算依据是________；（以上两空均填“加法交换律”或“加法结合律”） (2)请仿照例题的计算方法，将算式“”进行简便计算． 【答案】(1)加法的交换律；加法结合律 (2) 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，熟练的使用运算律是解本题的关键； （1）根据加法的交换律与结合律可得答案； （2）先使用交换律把原式化为：，再利用结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：     利用的是加法的交换律，   利用加法结合律； （2）解： ； 15．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10m（不包括10m），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)26米； (3)4次，理由见解析． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，即可作出判断； （2）求出每次离球门的距离，判断即可； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， 则守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线米； 第三次跑距离开球门线米； 第四次跑距离开球门线米； 第五次跑距离开球门线米； 第六次跑距离开球门线米； 第七次跑距离开球门线米； 第八次跑距离开球门线米．                                则守门员离开球门线的最远距离为26米； （3）解：由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10，8，13，26，19，10，14，0，则符合题意的有：13，26，19，14． 故对方球员有4次挑射破门的机会． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的加法与减法重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法运算律 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数加减混合运算 题型六 有理数加减中的简便运算 题型七 有理数加法在生活中的应用 题型八 有理数减法的实际应用 题型九 有理数加减混合运算的应用 拓展训练一 有理数加减法的规律计算 拓展训练二 有理数加减法与数轴结合 拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算 拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合 拓展训练五 有理数加减法的新定义运算 知识点一：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川南充·期末）计算：，其结果为（） A．6 B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算：（1） ； （2） ． 知识点二：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·河北邢台·期末）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 2．（24-25七年级上·四川眉山·课堂例题）计算的结果是 ． 知识点三：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）1与的差是（   ） A． B．2023 C． D．2025 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算的结果等于 ． 知识点四：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川巴中·期中）下列变化正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川简阳·期中）规定：，计算： ． 【经典例题一 有理数的加法运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）计算等于（   ） A． B．1 C．0 D．4 2．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）大于的所有负整数的和为 ． 3．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）一个大于2的整数可分解成若干个1或2的和，也可有1又有2出现，现做如下变换：1可能异变成2，2也可能异变成1，例如：，可能异变成：；，共计七种形式（不考虑加数的顺序），那么9可以分解异变成 个形式． 4．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）杭州的九溪十八洞是一处非常著名的景点，曾有一首是描写其妙处： 重重叠叠山，曲曲环环路 叮叮咚咚泉，高高下下树 这首诗的结构有一特点：每句是的形式． 现在有等式的形式，其中相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，每个字母表示从1到9的某个数字：问一共有多少个这样的算式，说明理由． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 1．（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则 0．（用＞，＜或＝填空） 4．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）计算 (1)； (2)． 【经典例题三 有理数加法运算律】 【例3】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算的值等于（    ） A．－1012 B．－1011 C．1012 D．1013 1．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）计算： 3．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 4．（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）计算： (1)； (2) 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】（2024·贵州六盘水·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．5 C． D．1 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）若，，且，那么的值是（    ） A．5或1 B．1或 C．5或 D．或 2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）若，，则 ． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）用符号表示，两数中的较大者，用符号表示，两数中的较小者，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 4．（2024七年级上·四川眉山·专题练习）比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． (1)你能对照上述方法比较与的大小吗？ (2)比较与的大小． 【经典例题五 有理数加减混合运算】 【例5】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）能与相加得0的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·河北保定·模拟预测）下面算式与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课堂例题）中考新趋势·新定义 规定一种新运算“*”，即，则 ． 3．（24-25七年级上·北京·期末）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有：，这里“+”号表示数的加法．例如：．则 （1） ； （2） ． 4．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题六 有理数加减中的简便运算】 【例6】（24-25七年级上·广东深圳·期中）再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 1．（2025七年级上·四川眉山·模拟预测）式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 2．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）找规律计算： ． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题七 有理数加法在生活中的应用】 【例7】（24-25七年级上·广东深圳·期末）甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如同一时刻北京为时，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为．已知卡塔尔与北京的时差为，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行，此时卡塔尔卢塞尔的时间为（　　） A．11月20日05时 B．11月20日19时 C．11月21日05时 D．11月21日19时 1．（24-25七年级上·广西河池·期中）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有6排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加2个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有8排，则该礼堂的座位总数是（   ）    A．390个 B．402个 C．540个 D．780个 2．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）青龙县城某天早晨气温是，到中午气温上升了，这天中午气温是 ℃． 3．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）宸宸的背包最多可以装12千克的物品，现有六件物品重量与价值如下表所示： 宸宸想把六件物品中的若干件装入背包，使得背包中物品的价值最大，则背包中所装物品是 ，最大总价值为 百元． A B C D E F 重量（千克） 2 3 4 3 6 8 价值（百元） 12 19 22 14 40 45 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）2024年国庆节，四川眉山放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【经典例题八 有理数减法的实际应用】 【例8】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）温度从下降后为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·北京西城·阶段练习）某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示： 志愿者 可参与值守时间段1 可参与值守时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最最长为（    ）小时．（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（24-25七年级上·四川简阳·期中）一般情况下，海拔每上升1千米，气温下降约一座山海拔高度为2千米，如果小明在山脚下测得的气温是，那么小明乘缆车到山顶后测得的气温约是 ． 3．（24-25七年级上·四川乐山·期末）仔细观察资料卡中的信息，可以发现水银的凝固点比酒精的凝固点高 ℃． 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲从A地出发，先后经过B、C两地，最终到达M地；然后从M地原路返回至A地．甲在从A地去往M地的路上一开始匀速行驶，在BC两地之间某处，甲提速了，并且以后一直保持着这个速度直至返回到A地．已知在从A地去M地的过程中，A地到B地、B地到C地、C地到M地都用时12分钟；返程的路上，从C地到B地用时10分钟．如果甲再次以最开始的速度出发，在相同的地点加速，但这回加速，请问，他从A地出发到M地再返回A地需要多少分钟？ 【经典例题九 有理数加减混合运算的应用】 【例9】（24-25七年级上·广东河源·阶段练习），，的和比它们绝对值的和小 A． B． C．20 D． 1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，就是把 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个数字，分别填入九个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，现在小刚模仿九宫图，将 －3，－2，－1 ，0，1，2，3，4，5这九个数字分别填如图的九个方格中，其中a、b、c分别表示其中的一个数，则a－b＋c的值为（     ） a 5 0 3 1 b c -3 4 A．－1 B．0 C．1 D．3 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）对种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是含甲的种，含乙的种，含丙的种；含甲、乙的种，含甲、丙的种，含乙、丙的种；含甲、乙、丙的种仅含维生素甲的有 种，不含甲、乙、丙三种维生素的有 种 3．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）“十一”黄金周期间，某市外出旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 如果将9月30日外出旅游人数记为a，请用含字母a的代数式表示“十一”黄金周期间该市外出旅游的总人数： ． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期中）随着2024年1月哈尔滨旅游的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好地服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒，每天售出礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的实际游园人数以及售出礼盒数量的变化情况． 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际游园人数相对于标准人数/万人 +0.5 +0.8 -0.3 +0.7 -0.1 +0.6 +0.3 售出礼盒的数量相对于实际游园人数/万盒 -0.3 +0.4 0 +1.5 +0.8 +1.1 +1.8 (1)求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数； (2)如果门票为每人100元，那么本周内门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？ (3)在（2）的条件下，如果礼盒每盒50元，那么这一周冰雪大世界在门票和礼盒上的总收入是多少钱？ 【拓展训练一 有理数加减法的规律计算】 1．（2022七年级上·浙江·专题练习）（1）有1，2，3，…，11，12共12个数字，请在每两个数字之间添上“+”或“﹣”，使它们的和为0； （2）若有1，2，3，…，2007，2008共2008个数字，请在每两个数字之间添上“+”或“﹣”，使它们的和为0； （3）根据（1）（2）的规律，试判断能否在1，2，3，…，2012，2013，共2013个数字的每两个数字之间添上“+”或“﹣”，使它们的和为0？若能，请说明添法；若不能，请说明理由． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)独立思考：解答王老师提出的问题：第个式子为__________，第个式子为_____． (2)实践探究：利用（1）中的规律计算：； (3)问题拓展：某小组同学对上述问题进行了研究之后，设计了一个分母中的两个因数的差为的题目，请你解答：求； (4)问题解决：求的值． 3．（24-25七年级上·广东珠海·期中）（1）请观察下列算式，找出规律并填空． 则第10个算式是__________； （2）第个算式是__________； （3）根据以上规律解答下题：． 【拓展训练二 有理数加减法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若与互为相反数，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示：    (1)试确定数a，b； (2)A，B两点相距多少个单位长度？ (3)点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2023次后，求P点表示的数． 3．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）归纳： (一)在数轴上，点表示数，点表示原点，求点之间的距离． 解：根据绝对值的定义：一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，可知点之间的距离为． (二)在数轴上，点分别表示数，分别计算下列情况中点之间的距离． (1)当时，　　； (2)当时，　　； (3)当时，　　； (4)当时，　　； (5)当时，　　； 总结： (6)点分别表示数，点之间的距离为　　； 应用： (7)数轴上分别表示和的两点和之间的距离为，那么　　； (8)计算：　； (9)的最小值是　． 【拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算】 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）列式并计算： (1)，，的绝对值的和比它们的代数和的绝对值大多少？ (2)设表示不超过的最大整数，例如：，，求的值； 2．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）根据绝对值的概念，我们在一些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．请根据以上规律计算：． 3．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）阅读材料： 因为一个正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，，如；当时，，如． 根据以上信息完成下列问题： (1)___________；___________； (2)计算：． 【拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）某一出租车司机一天下午以榆中一中为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：，，，，，，，，， (1)出租车司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车离一中出发点多远？在一中的什么方向？ (2)若2千米以内都是6元，每超过1千米每千米加价元，出租车司机一个下午的营业额是多少？ 2．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ (2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 3．（24-25七年级上·云南保山·阶段练习）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (2)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【拓展训练五 有理数加减法的新定义运算】 1．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）对于有理数a，b，定义一种新运算“@”，规定．如． (1)计算的值； (2)计算的值． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整； 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用__________________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得__________________． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 1．（2025·浙江·模拟预测）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）下列各式中正确使用了加法运算律的是(　　) A．(＋5)＋(－7)＋(－5)＝(＋5)＋(－5)＋(－7) B．＋＝＋ C．(－1)＋(－2)＋(＋3)＝(－3)＋(＋l)＋(－2) D．(－1.5)＋(＋2.5)＝(－2.5)＋(＋1.5) 3．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 5．（2025·福建福州·模拟预测）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 S 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） A．195 B．2B C．6E D．C3 6．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算： ． 7．（24-25七年级上·陕西·阶段练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 8．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）运用加法交换律和结合律计算： （1） 7 ； （2） ． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空： ． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 ． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 11．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）计算：． 12．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）有理数在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“＜”或“＞”填空：　　0； 　 　0；　 　0 （2）化简： 13．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 14．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是老师写在黑板上的一道例题． 计算： ……步骤① ……步骤② (1)步骤①的运算依据是________，步骤②的运算依据是________；（以上两空均填“加法交换律”或“加法结合律”） (2)请仿照例题的计算方法，将算式“”进行简便计算． 15．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10m（不包括10m），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由．                   学科网（北京）股份有限公司 $$