专题 14.5 角平分线几何模型（ 模型梳理 +题型精析 + 同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 14.5 角平分线几何模型 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 模型（一）垂直两边模型 1 【题型1】垂直两边模型 1 模型（二）垂直角平分线模型 2 【题型2】垂直角平分线模型 2 模型（三）截取角两边相等模型 3 【题型3】截取角两边距离相等模型 3 模型（四）平行于角一边模型 4 【题型4】平行于角一边模型 5 模型（五）对角互补模型 5 【题型5】对角互补模型 6 二．同步练习​ 7 一.知识梳理与题型分类精析 模型（一）垂直两边模型 名称 基本图形 条件 结论 垂直两 边模型 【题型1】垂直两边模型 【例题 1】 （24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，，平分交于点，过点作，垂足为． （1）求证：；（2）若的周长为20，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）在中，已知，是的角平分线，，垂足为点E，． （1）求证； （2）如果，，求的面积． 【变式2】 （24-25七年级下·山西运城·期末）问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 模型（二）垂直角平分线模型 名称 基本图形 条件 结论 垂直两 边模型 【题型2】垂直角平分线模型 【例题 2】 （24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 模型（三）截取角两边相等模型 名称 基本图形 条件 结论 垂直两 边模型 【题型3】截取角两边距离相等模型 【例题 3】 （24-25八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则 ． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是 ．（填序号） 【变式2】 （24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 【变式3】（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图所示，为的角平分线，且，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 模型（四）平行于角一边模型 名称 基本图形 条件 结论 垂直两 边模型 是等 腰三角形 【题型4】平行于角一边模型 【例题 4】 （2025·江苏苏州·二模）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，是角平分线，交于，交于，若，则 ． 【变式2】 （24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是 ． 模型（五）对角互补模型 名称 基本图形 条件 结论 对角互 补模型 【题型5】对角互补模型 【例题 5】 （24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）知识回顾：如图1，若，则可得．请说明理由． （2）问题解决：如图2，请说明． 二．同步练习​ 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在中，，平分，于点E，若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 2．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ） A．30 B．15 C． D． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（   ） 甲   ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙   ①利用圆规截取，； ②连接，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙      ①在上取点，利用圆规截取； ②过点M，N作； ③作射线，即为所求． A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 5．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列所作平分的方案，说法正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 6．（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 二、填空题 7．（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，已知，在和上分别截取，，使，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，过射线上一点作，交于点，若，则 ． 8．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 9．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）如图，平分于点D，，则等于 ． 10．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ． 11．（24-25八年级上·北京·期中）已知，如图，平分，，，，，，则的面积为： ， ． 12．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，． （1）若，则 ； （2）已知，，则的长是 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，M是的中点，平分， （1）试说明：平分．（2）试说明为直角． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，点C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． （1）求证：； （2）若，，求的长． 15．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，点在上，． （1）如图1，，请利用尺规作图作出的角平分线，交于点，交于点；并求出的度数； （2）如图2，若是的角平分线，，求的度数． 16．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 14.5 角平分线几何模型 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 模型（一）垂直两边模型 1 【题型1】垂直两边模型 1 模型（二）垂直角平分线模型 5 【题型2】垂直角平分线模型 5 模型（三）截取角两边相等模型 8 【题型3】截取角两边距离相等模型 8 模型（四）平行于角一边模型 11 【题型4】平行于角一边模型 12 模型（五）对角互补模型 15 【题型5】对角互补模型 15 二．同步练习​ 19 一.知识梳理与题型分类精析 模型（一）垂直两边模型 名称 基本图形 条件 结论 垂直两 边模型 【题型1】垂直两边模型 【例题 1】 （24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，，平分交于点，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若的周长为20，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先证明，根据全等三角形的性质即可得到； 根据角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得的周长等于，即可求出的长． 解：（1）证明：，， ∴， 平分， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：平分交于点，，， ∴， ∴， ，， ∴， 的周长为， 的周长为， ． 【变式1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）在中，已知，是的角平分线，，垂足为点E，． （1）求证； （2）如果，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）18 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质，结合证得，进而可证得结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式求解即可． 解：（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，，又， ∴， ∴，又， ∴，又，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式2】 （24-25七年级下·山西运城·期末）问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 【答案】（1）相等，理由见分析；（2）①3；②6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）①由角平分线的性质可得，求得，因此； ②根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长． 解：∵是直角三角形，， ∴， ∵平分，且，， ∴． （2）①∵是的角平分线，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：3． ②∵为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 解得． 模型（二）垂直角平分线模型 名称 基本图形 条件 结论 垂直两 边模型 【题型2】垂直角平分线模型 【例题 2】 （24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（1），证明见分析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 模型（三）截取角两边相等模型 名称 基本图形 条件 结论 垂直两 边模型 【题型3】截取角两边距离相等模型 【例题 3】 （24-25八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】先由三角形的内角和定理得，又是的角平分线，则，从而证明，再由全等三角形的性质可得，然后通过三角形的外角性质即可求解． 解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．证明，由全等三角形的性质可推出，证明，由全等三角形的性质可推出．，，则可得出答案． 解：①∵为角平分线， ∴， ∵于点D，于点E， ∴°， ∵， ∴， ∴． 故①正确； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故②正确； ③∵， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， 故④正确． 故答案为：①②③④． 【变式2】 （24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，全等三角形的判定，根据图形的变化规律总结出全等三角形对数的变化规律是解题的关键． 根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果． 解：如图1所示，∵D为的角平分线上面一点， ∴ 又∵， ∴ ∴图1中有1对三角形全等； 同理可证，图2中，， ∴图2中有3对三角形全等； 以此类推，图3中有6对三角形全等； ∵，，，…， ∴由规律可得第9个图中有对全等三角形． 故选：D． 【变式3】（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图所示，为的角平分线，且，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先证明，得到，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 模型（四）平行于角一边模型 名称 基本图形 条件 结论 垂直两 边模型 是等 腰三角形 【题型4】平行于角一边模型 【例题 4】 （2025·江苏苏州·二模）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据平行线的性质、角平分线的定义，对每个选项逐一进行分析判断．本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、角平分线的定义以及三角形的性质（等角对等边、三边关系）．解题的关键在于熟练运用这些性质，通过角与角之间的等量代换，以及边与边关系的推导，对每个选项进行准确判断． 解：选项A： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴，该选项成立． 选项B： 仅由，平分，无法得出． 例如，当时，，，的度数取决于的形状，不一定等于 ，该选项不一定成立． 选项C： ∵， ∴，又平分，即， ∴． 在中，等角对等边， ∴，该选项成立． 选项D： 在中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边， ∵（已证）， ∴，即，也就是，该选项成立． 故选：B． 【变式1】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，是角平分线，交于，交于，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 解：是的平分线， ， ， ， ， 是等腰三角形 ， ， ． 故答案为： 【变式2】 （24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质，掌握定理及性质是解题的关键．①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据角平分线的性质即可得出结论；④连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 解：①和的平分线相交于点G， ， ， ，， ，， ，， ，故正确； ②和的平分线相交于点G， ， ，故错误； ③和的平分线相交于点G， 点G是的内心， 点G到各边的距离相等，故正确； ④连接， 点G是的内心，，， ，故正确． 故答案为：①③④． 模型（五）对角互补模型 名称 基本图形 条件 结论 对角互 补模型 【题型5】对角互补模型 【例题 5】 （24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 【变式2】 （24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）知识回顾：如图1，若，则可得．请说明理由． （2）问题解决：如图2，请说明． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）直接根据角平分线的性质，进行判断即可； （2）作交延长线于E，于F，得到，同角的补角相等，得到，证明，即可得证． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴， 又因为平分． 所以（角平分线上的点到角的两边距离相等）； （2）如图2，作交延长线于E，于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 二．同步练习​ 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在中，，平分，于点E，若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】此题考查角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等，解题的关键是将角转化为垂直，得到与角平分线有关的垂线段． 由得，因为角平分线上的点到角两边的距离相等，而，平分，所以，可以求出的长． 解：∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为6， 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ） A．30 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解． 解：作于点， ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上中线， ∴， 故选：C． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 解：∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 4．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（   ） 甲   ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙   ①利用圆规截取，； ②连接，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙     ①在上取点，利用圆规截取； ②过点M，N作； ③作射线，即为所求． A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，甲：根据平行线的性质得到，根据等边对等角得到，则，由此即可求解；乙：根据题意可证，得，证明，得，再证明，得，即可求解；丙：条件不足，不能证明，得不到是的平分线，即可得解． 解：甲：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线， 故甲的方案正确； 乙：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线， 故乙的方案正确； 丙：∵， ∴， ∵， ∴， 不能证明，得不到是的平分线， 故丙的方案不正确． 综上所述，只有甲、乙正确， 故选：A． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列所作平分的方案，说法正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，由角平分线的判定定理可判定甲；由可证，得到，即可判定乙，综合即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：由甲的作法可知，点到的距离相等， ∴点在的角平分线上， 即平分，故甲对； 由乙的作法可知，，， ， ∴， ∴即平分，故乙对； 综上，甲、乙都对， 故选：． 6．（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定， 作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可． 解：过点D作，于点H， ∵是的角平分线，， ∴． 在和中， ， ∴， 同理． 设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得 ， 解得， 所以的面积是11． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，已知，在和上分别截取，，使，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，过射线上一点作，交于点，若，则 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的作法、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的作法成为解题的关键． 由平行线的性质可得、，由作图可知平分，即，进而完成解答． 解：∵，， ∴，， 由作图可知：平分， ∴， ∴． 故答案为：25． 8．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）如图，平分于点D，，则等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 解：如图，过点P作于E， ∵平分，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 10．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ． 【答案】14 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积公式求解即可． 解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∴； 故答案为：14． 11．（24-25八年级上·北京·期中）已知，如图，平分，，，，，，则的面积为： ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理． 过点作于点，根据角平分线的性质可知，再利用三角形的面积公式计算即可； 首先根据判定，利用全等三角形的性质可得，根据四边形内角和定理可得． 解：如下图所示，过点作于点， 平分， ， 又， ； ，， ， 在和中， ， ， ， 在四边形中，， ， 故答案为：；． 12．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，． （1）若，则 ； （2）已知，，则的长是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键． （1）先证明得到平分，由三角形内角和定理计算出，即可得到答案； （2）先计算出，证明得到，最后由即可得到答案． 解：（1），， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：6． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，M是的中点，平分， （1）试说明：平分． （2）试说明为直角． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可说明结论． 解：（1）解：作于，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的平分线． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴为直角． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，点C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】本题考查的是角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到； （2）证明，得到，进而求解即可． 解：（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，点在上，． （1）如图1，，请利用尺规作图作出的角平分线，交于点，交于点；并求出的度数； （2）如图2，若是的角平分线，，求的度数． 【答案】（1）见分析，；（2） 【分析】本题考查了尺柜作图，角平分线的定义，三角形外角的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可；由角平分线的定义得，由直角三角形两锐角互余得，然后根据对顶角相等即可求解； （2）先由三角形内角和求出，然后根据三角形外角的性质即可求解． 解：（1）如图，射线即为所求 ，平分， ， ， ， ， （2）由（1）知， ， ， 又， ， ． 16．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见分析；模型运用：；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 解：模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$