专题 4.1 函数（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.1 函数 目 录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾： 1 新知引入： 1 知识点一：函数 2 【题型1】函数的概念 2 【题型2】函数图形的识别 3 知识点二：函数自变量取值范围 5 【题型3】函数自变量取值范围——代数式有意义的条件 5 【题型4】求几何图形中函数的解析式，并求出自变量取值范围 6 【题型5】求实际生活中函数的解析式，并求出自变量取值范围 8 知识点三：函数值 9 【题型6】求函数值 9 【题型7】求自变量的值 11 知识点四：从函数图象中读取信息 12 【题型8】从函数图象中直观得出结论 12 【题型9】函数图象与几何性质得出结论 14 【题型10】函数图象结合行程问题得出结论 16 二．同步练习​ 19 【基础巩固（12题）】 19 【能力提升（12题）】 27 【真题专练10题】 35 一.知识梳理与题型分类精析 知识回顾： 1. 如果变量时间随高度的变化而变化，则自变量是高度，因变量是时间； 2. 两个变量之间的表示形式有:表格法、图象法、关系式法（解析法） 新知引入： 1（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习） （1）某厂有煤800t，每天需烧煤，求工厂余煤量与烧煤天数（天）之间的关系式； （2）已知正方形的边长为，若边长增加，则周长增加，求与之间的函数关系式． 解：（1）依题意得：，即； （2）由题意可知，． 由此：我们得到了两个关系式：， 从以上两个关系式中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应就确定了另一个变量的值。这样我们就得到了函数的定义： 知识点一：函数 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量。 函数定义解读：构成函数的条件：①一个变化过程；②两个变量；③唯一性． 【题型1】函数的概念 【例题１】 （25-26八年级上·全国·单元测试）下列四个选项中，不是关于的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义：若为的函数，则对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，利用定义进行判断即可． 解：、，例如：当时，，不满足函数定义，故选项符合题意． 、在定义域内，对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故选项不符合题意． 、对于的任意一个值，都有唯一确定的值与其对应，故选项不符合题意． 、对于的任意一个值，都有唯一确定的值与其对应，故选项不符合题意． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列变化过程中，两变量间存在函数关系的是（    ） A．和是变量， B．人的身高与年龄 C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，根据函数的定义逐项判断即可． 解：A：对于任意的，一个x的值，有两个y的值与之对应，不符合函数定义； B：人的身高与年龄之间没有一个确定的关系，故不存在函数关系； C：三角形的面积公式为：面积底高，即面积还与高有关，故三角形的底边长与面积不存在函数关系； D：路程速度时间，速度一定，则对于给定的任意一个时间，均有且仅有一个确定的路程与之对应，这符合函数关系的定义． 故选：D． 【变式2】（23-24）八年级下·湖南益阳·期末）下列关于变量，的关系：①；②；③；④．其中是的函数的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； ④不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，是的函数的是①②， 故答案为：①②． 【题型2】函数图形的识别 【例题2】 （2025八年级上·全国·专题练习）下列各图给出了与自变量之间的对应关系，其中能表示是的函数的是（   ） A．②④ B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，函数图象的识别，根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 解：①对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故①符合题意； ②对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故②不符合题意； ③对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故③不符合题意； ④对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故④符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的定义，正确理解函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义可知，满足对于的每个值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项判断即可． 解：选项A、对于的每个值，都有唯一确定的值与之对应，且，符合题意； 选项B、对于的每个值，都有唯一确定的值与之对应，符合题意； 选项C、对于的每个值，不是都有唯一确定的值与之对应，不符合题意； 选项D、对于的每个值，都有唯一确定的值与之对应，符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【答案】（1） 【分析】本题考查了函数的定义，理解并掌握函数的定义是关键． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就把称为自变量，把称为因变量，是的函数，根据定义，结合图形分析即可． 解：图（1）中，任意一个确定的值，都有唯一确定的值对应，故是的函数，符合题意； 图（2）中，任意一个确定的值，值不唯一，故不是的函数，不符合题意； 故答案为：（1） ． 知识点二：函数自变量取值范围 函数自变量取值范围类型：①符合数学的运算性质，避免无意义运算；②符号几何图形的性质和存在的条件；③符合实际意义． 【题型3】函数自变量取值范围——代数式有意义的条件 【例题3】 （24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）函数的自变量取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量，二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点．熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须非负即可解答． 解：根据题意可知：， 解得：， 故选 ：D． 【变式1】（23-24八年级下·四川内江·期末）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件即可求得自变量的取值范围． 解：根据题意，得，解得且． 故答案为：且． 【点拨】本题考查了自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键． 【题型4】求几何图形中函数的解析式，并求出自变量取值范围 【例题4】 （25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以是解答的关键．根据是长方形知，，，若设，则，在梯形中，上底为，下底为，高为，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据不与、重合求出的范围． 解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，三角形三边关系； 根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三角形的三边关系可得出x的取值范围． 解：∵， ∴， 又∵， 解得：， 故答案为：；． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 ． 【分析】本题考查了二次函数、矩形的周长和面积，因为矩形的周长为，一边长为，则另一边可以表示为，根据矩形的面积公式可以得到与的函数关系式；根据矩形的周长公式可以得到自变量的取值范围． 解：矩形的周长为，设其一边长为， 则矩形的另一边长为， ， 整理得：； 矩形的周长为， 矩形的长与宽的和为， ． 故答案为：； ． 【题型5】求实际生活中函数的解析式，并求出自变量取值范围 【例题5】 （2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出的耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，从而得出关系式． 解：每行驶耗油，则每行驶耗油为：，由余油量=原有油量耗油量得， ， 油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，． 【变式1】已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出不等式组是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围． 解：根据三角形的三边关系得： ， 解得：． 故选：B． 【变式2】（2024八年级上·浙江·专题练习）一辆汽车加满油后，油箱中有汽油，汽车行驶时正常的耗油量为，则油箱中剩余的汽油量关于加满后已驶里程的函数表达式是 ，自变量的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意，找到等量关系，求出函数关系，即可求解． 解：原有油量，用油量， 由题意得：油箱中剩余的汽油两关于加满后已驶里程的函数表达式是， 自变量d的取值范围为：． 故答案为：，． 【点拨】此题考查了函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出函数关系式． 知识点三：函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于时的函数值，反过来，我们也可以由函数值求自变量的值. 【题型6】求函数值 【例题6】 （24-25六年级下·山东济宁·期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据： 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为千克，烤制时间为．当千克时，的值约为（    ） A．168 B．170 C．172 D．174 【答案】C 【分析】本题考查了的是函数关系式，解题的关键是根据题目的已知及图表条件得到相关的信息．观察表格数据可知，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，即可得到烤制时间与质量的关系式，再代入计算即可． 解：由表格数据可知，质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟， 则烤制时间与质量的关系式为， 当时， （分钟）． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图．则小明打了6分钟需付费 元． 【答案】1.8 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，分段函数，是解决问题的关键． 根据函数图象，当时，得；当时，根据与代求得，把代入即得． 解：由图形可得： 当时，元． 当时，设y与x的解析式为． 将与代入， 得：． 解得：． ∴． ∵， ∴小明打了6分钟应付费为元． 故答案为：1.8． 【变式2】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知水池中有的水，现用一台抽水机抽水，每小时抽水． （1）写出剩余水的体积与抽水时间之间的关系式（不必写出的范围）； （2）6h后池中还有多少水？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量减去抽水量等于剩余水量是解题关键． （1）根据抽水时间乘以抽水速度，可得抽水量，根据蓄水量减去抽水量，可得剩余水量； （2）根据自变量与函数值的对应关系，将代入可得函数值． 解：（1）解：∵池中有水，每小时抽出 ∴剩余水的体积与时间之间的关系式是； （2）当时， 答：6小时后，池中还有的水． 【题型7】求自变量的值 【例题7】 （24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）1—6个月的婴儿生长发育得很快，如果一个婴儿出生时的体重为3300克，那么他的体重y（克）和月龄x（月）之间的关系可以近似用来表示.当y的值为7500时，自变量x的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了函数值，将y的值代入函数解析式解方程即可． 解：当时，， 解得， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查程序框图，解题的关键是根据题意得到的值． 根据条件可先求得，再根据的值分情况讨论即可． 解：当输入， ， ，解得， 当输出的值为时，有两种情况， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， 故选：A． 知识点四：从函数图象中读取信息 解题思路：（1）拟清横轴与纵轴表示的含义；（2）认清图形关键点的涵义；（3）从横纵轴含义结合趋势线解读出图形的意义. 【题型8】从函数图象中直观得出结论 【例题8】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题： （1）自变量是 ． （2）这位病人的最高体温是 摄氏度，最低体温是 摄氏度． （3）他在12时的体温是 摄氏度． 【答案】 时间 38 【分析】本题考查函数的图象，正确分析并弄清横纵坐标代表的量是解题的关键． （1）观察横轴即可确定自变量； （2）通过观察图象进行回答即可； （3）通过观察图象进行回答即可． 解：（1）观察横轴和纵轴，自变量是时间， 故答案为：时间； （2）观察图象可知：这位病人的最高体温是摄氏度，最低体温是摄氏度； 故答案为：， ． （3）他在12时的体温是38摄氏度， 故答案为：38． 【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）下图是某物体的抛射曲线图，其中s表示物体与抛射点之间的水平距离，h表示物体的高度，那么此次抛射过程中，物体达到的最大高度是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了从函数的图像获取信息的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据函数图像的信息，仔细作答，然后即可求解 解：由函数图像可得，当时，有最大值3， ∴此次抛射过程中，物体达到的最大高度是， 故答案为：3． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数的图象是解题的关键．根据函数图像可直接进行求解． 解：A、从早上6时开始气温逐渐下降，至9时以后才逐渐升高，该选项错误，不符合题意； B、当日温度为的时间点有3个，该选项错误，不符合题意； C、当日气温均在以上，该选项正确，符合题意； D、当日气温在以下的时长约为个小时，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【题型9】函数图象与几何性质得出结论 【例题9】 （23-24七年级下·福建三明·期末）如图1，在四边形中，，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，它们之间的关系如图2所示，请问： （1）在这个变化中，自变量是 、因变量是 ； （2）当点运动的路程时，的面积为 ； （3）求四边形的周长和面积 【答案】（1），；（2）48；（3）四边形的周长为40，面积为72 【分析】（1）的面积随着点运动的路程的变化而变化，根据自变量和因变量的定义可得自变量是，因变量是； （2）根据函数图象，即可得到点运动的路程时，的面积； （3）根据图象得出的长以及此时三角形面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图象得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可． 本题考查了函数的概念、动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解答本题的关键． 解：（1）解：的面积随着点运动的路程的变化而变化， 自变量是，因变量是； 故答案为：，． （2）由图2知，当时，的面积为． （3）四边形中，，， 四边形是直角梯形； 由图2知，当时三角形的面积达到最大， 又， ， ，， 四边形的周长， 由图2知，， 四边形的面积, 四边形的周长为40，面积为72． 【变式1】（24-24年级上·江苏·期末）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，熟练掌握函数图象表示的意义是解题的关键，根据动点从点出发，首先在上运动，此时随的增加而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此即可得到答案． 解：点在上运动，即时，随着的增大而增大， 点在上运动，即时，， 当点在上运动，即时，随着的增大而减小， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系如图所示，则的长度 ；的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． 按照几个关键位置，如点，点，并结合函数图象，可得的值及的值，再根据长方形的对边相等，可得的值，最后按照三角形的面积公式计算，得出的面积． 解：动点从点出发，沿、、运动至点停止， 而当点运动到点，之间时，的面积不变， 而由图象可知，时，开始不变，说明， 时，接着变化，说明， 的面积为： 故答案为：；． 【题型10】函数图象结合行程问题得出结论 【例题10】 （25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系． （1）B出发时与A相距___千米． （2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是___小时． （3）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，多少小时与A相遇，相遇点离B的出发点多少千米．在图中表示出这个相遇点C． 【答案】（1）10；（2）1；（3）， ，图见分析； 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效的获取信息是解题的关键： （1）根据函数图象直接作答即可； （2）用即可得出结果； （3）求出的速度，根据相遇时比多行千米，进行求解即可，进而在图中表示出相遇点即可． 解：（1）解：由图象可知，B出发时与A相距千米； 故答案为：10； （2）解：由题意，修理自行车所用时间为（小时）； 故答案为：1； （3）解：由图象可知，甲的速度为每小时千米， 乙自行车故障之前的速度为每小时千米， 由题意，，解得， ∴B经过小时，与A相遇，此时相遇点离B的出发点有（千米）； 点在图中的位置如图： 【变式1】（2025·河南·模拟预测）位于昆明市西山区的豹子箐是一处集旅游、观光、研学、游玩、自然体验于一体的研学基地．周末，小陆一家从家出发开车前往该基地游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（   ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．小陆家距离基地350千米 C．他们出发80分钟后达到服务区 D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效的获取信息，根据速度等于路程除以时间，逐一进行判断即可． 解：由题意可知，小陆家距离研学基地225千米，选项B的判定错误，选项B符合题意； 汽车经过80分钟后到达服务区，选项C的判断正确，选项C不合题意； 他们在服务区休息了（分钟），选项A的判断正确，选项A不合题意； 在服务区休息前的行驶速度：， 休息后的行驶速度：， 则在服务区休息前的行驶速度比休息后快，选项D的判定正确，选项D不合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）周末甲、乙两同学计划从同一起点出发，沿同一条路出发去距离的某风景旅游区游玩，甲、乙两人离开出发点的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．当乙比甲多行驶时，乙出发了 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，设乙出发的时间为，根据函数图象可求出甲、乙的速度，再分甲未出发，乙走和甲出发，且甲没有追上乙时，乙比甲多行驶两种情况，讨论求解即可． 解：设乙出发的时间为， 由函数图象可知，甲的速度为，乙的速度为， 当甲未出发，乙走时，乙出发的时间为； 当甲出发，且甲没有追上乙时，乙比甲多行驶，则， 解得； 综上所述，当乙比甲多行驶时，乙出发了或， 故答案为：或． 二．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，正确理解函数的定义是解题的关键．函数的定义是对于两个变量和，如果给定一个值，都有唯一的一个值和它对应，则称是的函数．根据函数的定义分别对各选项中的图象任取一个值，看是否有唯一的一个值与它对应，依次进行判断即可 解：A、对于任意一个值不是有唯一的一个值与其对应，故不是的函数，本选项不符合题意； B、对于任意一个值有唯一的一个值与其对应，故是的函数，本选项符合题意； C、对于任意一个值不是有唯一的一个值与其对应，故不是的函数，本选项不符合题意； D、对于任意一个值不是有唯一的一个值与其对应，故不是的函数，本选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入函数解析式，即可求解． 解：当时，． 故选：C 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若每6个台阶就升高1米，则上升高度（米）与上升的台阶数（个）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数解析式，根据题意直接写出数量关系即可得到答案． 解：∵每6个台阶就升高1米， ∴当上升的台阶数是m个时，上升的高度为（米）， 即， 故选：D． 4．（13-14七年级下·河南·期末）如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象问题与三角形面积的求法等知识点，要求学生能够根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据题意，分析P的运动路线，分2个阶段分别讨论，可分别得处的值，进而可得的面积，即可得出答案． 解：根据图2可知当点P在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在； 可知当时，点P恰好到点C处，此时P点运动3秒，即； 同理可得 ∴． 故选C． 二、填空题 5．（2025九年级·北京·专题练习）在函数中，自变量x的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围． 根据二次根式有意义的条件，可得关于的不等式，求解即可． 解：根据题意可得， ∴， ∴自变量x的取值范围为． 故答案为：． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【答案】354 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 7．（24-25七年级下·四川达州·期末）已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 【答案】 200 【分析】本题考查的是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，难点是根据题意得到相应的数量的代数式． 根据某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件，即可得到月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣价格x（元）之间的关系式． 解：根据题意得：， 即该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为； 当时，， 解得：， 即某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为200元． 故答案为：；200 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量与时间之间的关系如折线图所示，则下列结论正确的序号是 ．①洗衣机进水用了4分钟；②洗衣机清洗时水量是；③清洗时间用了10分钟；④若洗衣机排水速度为每分钟19升，排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机剩下水． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：由图象可得，洗衣机进水用了4分钟，洗衣机清洗时水量是，故①②正确； 清洗时间用了（分钟），故③错误； ∵洗衣机排水速度为每分钟19升，排水时间为2分钟， ∴排水结束时洗衣机剩下，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． （1）写出关于的函数表达式； （2）写出自变量的取值范围； （3）求当时所对应的函数值； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小． （1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解； （2）根据长方形的长大于宽列式求出x的最大值，从而得解； （3）把x的值代入函数关系式计算即可得解． 解：（1）解：根据题意得：， 整理得，， 即关于的函数表达式为； （2）解：因为宽为米，长为米， 所以， 所以， 解得， 所以自变量的取值范围为； （3）解：当时，． 10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是某天一地的海拔与对应高度处气温的关系． 海拔 … 0 1 2 3 4 … 气温 … 20 14 8 2 … （1）当海拔高度为时，气温是______；当气温为时，海拔是______； （2）写出气温与海拔的关系式：______； （3）求海拔处的气温． 【答案】（1）8；4；（2）；（3）海拔处的气温是 【分析】本题考查了求函数关系式，正数和负数，解题的关键是根据表格中气温与海拔高度的变化规律：h每增加，气温就下降． （1）根据表格中数据即可解答； （2）根据表格中气温与海拔高度的变化规律：h每增加，气温就下降，即可解答； （3）把代入中，进行计算即可得出答案． 解：（1）解：观察表格可得：当海拔高度为时，气温是；当气温为时，海拔高度是； 故答案为：8，4； （2）观察表格可得：由h每增加，气温就下降， ∴， ∴气温T与海拔h的关系式为：， 故答案为：； （3）当时，． 答：海拔处的气温是． 11．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）周末，陈辰及家人驾驶新能源汽车前往安徽名人馆参观，在馆内参观了小时后，驾车去往长临河古镇．如图是陈辰及家人离开家的路程（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数图象．据此解答下列问题： （1）上述过程中，自变量是______，因变量是______； （2）陈辰家到安徽名人馆的路程是______千米，安徽名人馆到长临河古镇的路程是______千米； （3）求陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶的平均速度． 【答案】（1）离开家的时间，离开家的路程；（2），；（3）千米/小时 【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意，理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． （1）观察图象，根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）先根据函数图象和题干信息得到陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶时间，再根据“速度路程时间”可得答案． 解：（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的路程． 故答案为：离开家的时间，离开家的路程； （2）解：由图象可知，陈辰家到安徽名人馆的路程是千米， 安徽名人馆到长临河古镇的路程是：（千米）， 故答案为：，； （3）解：（千米/小时）． 答：陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶的平均速度为千米/小时． 12．（22-23七年级上·全国·期中）暑假期间，某游泳馆针对学生推出两种优惠活动，活动内容如下： 活动一：购买一张30元优惠卡，每次仅需5元； 活动二：不购买优惠卡，凭学生证，每次需7元； 若某学生暑假期间游泳x次，按活动一、活动二分别花费m，n元． （1）请你写出m，n与x之间的关系； （2）小明计划暑假期间游泳25次，你认为参与哪种活动比较合算？ 【答案】（1）；（2）活动一比较合算，见分析 【分析】考查了列函数关系式和求函数值，准确列出函数解析式是关键． （1）根据题意分别列出函数关系式即可； （2）分别求出时的函数值，比较后即可得到答案． 解：（1）解：根据题意得： 活动一：； 活动二：； （2）把代入得：， ， ∵， ∴活动一比较合算． 13．（24-25六年级下·山东烟台·期末）五一”节放假期间，兄、弟两人沿同一路线登山，当兄出发时，弟已经在距地面的高度为处了，兄在登山时开始加速，兄、弟两人距地面的高度y（单位：m）与登山时间t（单位：min）的关系如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题． （1）在兄的登山过程中自变量是 ，因变量是______； （2）求弟登山上升的速度及b的值； （3）兄出发______min后追上弟，此时距地面的高度为______m； （4）当兄距地面的高度为时停下等待弟，弟还需多长时间与兄会合？ 【答案】（1）登山时间；距地面的高度；（2）弟登山上升的速度为15米/分，；（3）12，280；（4）当兄距地面的高度为400米时停下等待弟，弟还需3分钟才能与兄会合 【分析】本题主要考查函数的图象，考查学生从坐标系中提取信息的能力，掌握数形结合的方法是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）结合图象，根据“速度=路程÷时间”列式计算即可求解； （3）根据两条线段的交点坐标的意义解答即可； （4）根据“时间=路程÷速度”求出兄到达高度为400米时所需要的时间即可解答． 解：（1）解：由题意可得，在兄的登山过程中自变量是登山时间，因变量是距地面的高度． 故答案为：登山时间；距地面的高度； （2）由题意可得，弟登山上升的速度为：（米/分）， ； （3）由图象可知，兄出发12分钟后追上弟，此时距地面的高度为280米； 故答案为：12，280； （4）兄出发2分钟后的速度为：（米/分）； 兄到达高度为400米时所需要的时间为：（分钟），（分钟）， 答：当兄距地面的高度为400米时停下等待弟，弟还需3分钟才能与兄会合． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南商丘·期末）下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据函数的定义，对于每个x值，都有唯一的y值对应．逐一判断各关系式是否满足该条件． 解： ①：每个x对应唯一y，是函数． ②：每个x对应唯一y，是函数． ③：解为 ，一个x对应两个y，不是函数． ④：平方根仅取非负值，每个x对应唯一y，是函数． ⑤：解为 ，一个x对应两个y，不是函数． ⑥：每个x对应唯一y，是函数． ∴y是x的函数的有①②④⑥。 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特点，将点代入各个函数解析式进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、当时，，满足函数，符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 故选：． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）某地大力开发采摘型魅力乡村游，特开放果园供游客采摘，一名老师带领若干名学生到果园采摘，已知成人票每张元，学生票每张元．设门票的总费用为元，学生人数为名，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，根据题意得总费用老师票价学生票价即可求解，找准题中的等量关系列出函数关系式是解题关键． 解：由题意可知，老师门票费用为元（固定），学生门票费用为每位元， ∵学生人数为名， ∴总费用， 故选：． 4．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶．货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列说法错误的是（   ） A．客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米小时 B．点的坐标为 C．函数、的图象相交于点，则点的纵坐标为180 D．点横坐标为12 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，从函数图象正确获取信息是解题关键．设客车的速度为千米时，则货车的速度为千米时，根据题意列方程，即可判断；再求出、间距离即可判断，设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到距离相等，列方程 ，即可判断，求出货车由到用的时间即可判断． 解：设客车的速度为千米时，则货车的速度为千米时， 由题意，得， 解得， 客车的速度为千米时，货车的速度为千米小时， 故正确； 货车2小时到达， 、间距离为千米， 则点的坐标为， 故正确； 客车9小时到达， 、间距离为千米， 设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到距离相等， 则有， 解得， 此时距离为千米， 图中的纵坐标为180， 故正确． 货车由到用时为小时， 则货车一共行驶14小时， 点横坐标为14， 故错误； 故选：． 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．设宽增加了米，依题意有，则，则，再求出定义域即可． 解：设宽增加了米， 依题意有， 则， ， ， ． ，解得， 定义域为， 故答案为：， 6．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的值，将分别代入两个函数解析式，求出自变量的值，然后检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：将代入得， ，解得，不符合题意； 将代入得， ，解得，符合题意； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）如图，、分别表示甲、乙两名学生的运动状态，其中s和t分别表示运动的路程和时间．根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 米． 【答案】3 【分析】本题考查了函数图像，从函数图像中正确获取信息是解题关键．根据函数图像可得学生甲用6秒跑了42米，学生乙用6秒跑了米，利用速度等于路程除以时间分别求出他们的速度，由此即可得． 解：由函数图像可知，学生甲的速度为（米/秒）， 学生乙的速度为（米/秒）， 则快者的速度比慢者的速度每秒快（米）， 故答案为：3． 8．（25-26七年级上·重庆·自主招生）已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若，则图甲中的图形面积是 平方厘米． 【答案】135 【分析】本题考函数图像的应用，解题的关键是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，长方形的面积公式及应用．通过观察折线统计图可知，点从点移动到点用4秒，点从点移动到点用2秒，点从点移动到点用3秒，根据路程速度×时间，分别求出的距离，根据长方形的面积公式，把数据代入公式求出长方形的面积与长方形的面积差即可． 解：观察图像可得： 的长：（厘米）， 的长：（厘米）， 的长：（厘米） 图甲中的图形面积是：（平方厘米）． 答：图中甲的面积是135平方厘米． 故答案为：135． 三、解答题 9．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知水池中有的水，现用一台抽水机抽水，每小时抽水． （1）写出剩余水的体积与抽水时间之间的关系式（不必写出的范围）； （2）6h后池中还有多少水？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量减去抽水量等于剩余水量是解题关键． （1）根据抽水时间乘以抽水速度，可得抽水量，根据蓄水量减去抽水量，可得剩余水量； （2）根据自变量与函数值的对应关系，将代入可得函数值． 解：（1）解：∵池中有水，每小时抽出 ∴剩余水的体积与时间之间的关系式是； （2）当时， 答：6小时后，池中还有的水． 10．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）某服装店一次性购进甲、乙两种保暖内衣共100件进行销售，甲、乙两种保暖内衣的进价与售价分别如表所示： 甲 乙 进价 80元/件 100元/件 售价 120元/件 150元/件 设购进甲种保暖内衣的数量为x（件），除了进货成本以外，从进货到销售完这批内衣的过程中还要支付运费和销售员工工资共1000元.设销售完这批保暖内衣的总利润为y（元），请求出y与x之间的函数关系式. 【答案】y与x之间的函数关系式为 【分析】本题考查了函数关系式的建立，正确理解题意是解题的关键． 根据总利润等于甲种保暖内衣的利润加乙种保暖内衣的利润减去员工工资，据此列出函数解析式即可． 解：根据题意，得 ， 即y与x之间的函数关系式为． 11．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）两地相距千米，甲从地到地，乙从地到地，两人同时出发，已知甲的速度为千米小时，时间与两人之间的距离关系如下图： 请回答下列问题． （1）甲乙两人在第（    ）小时相遇． （2）乙的速度是多少？ （3）求图中表示的数． 【答案】（1）；（2）千米小时；（3）． 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，读懂题意，获取信息是解题的关键． （）根据题意和函数图象可以求得甲乙两人相遇时间； （）利用速度和减去甲的速度可求出乙的速度； （）根据图象可得表示乙从地到地所花的时间． 解：（1）解：由函数图象可知，甲乙两人在第小时相遇， 故答案为：； （2）解：（千米小时） 答：乙的速度为千米小时； （3）解：（小时）， 答：代表的数是． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在长方形ABCD中，当点P在边AD（不包括A，D两点）上移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些发生了变化． （1）试分别写出长度发生变化的线段与面积发生变化的三角形． （2）假设长方形的长AD为，宽AB为，线段AP的长为，分别写出线段PD的长度y（单位：），的面积S（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 【答案】（1）长度发生变化的线段有AP，PD，BP，PC；面积发生变化的三角形有，；（2）（） 【分析】（1）根据点在运动，可知长度发生变化的线段和面积发生变化的三角形，即可解决问题； （2）表示出的长，根据三角形面积公式即可得出答案． 解：（1）解：长度发生变化的线段有AP，PD，BP，PC；面积发生变化的三角形有，． （2）解：根据题意可知，． ∵， ∴，其中， ∴． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，动点问题，函数的解析式，三角形的面积等知识，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 【真题专练10题】 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 3．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 二、填空题 5．（2021·上海·中考真题）已知，那么 ． 【答案】． 【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键． 6．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 7．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 8．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 三、解答题 9．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系．    （1）求哥哥步行的速度． （2）已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②能追上，理由见分析 【分析】（1）结合图表可得，根据速度等于路程除以时间，即可解答； （2）①根据时间=路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将和的解析式求出，求两个函数的交点即可． 解：（1）解：由图可得， （米/分）， ∴哥哥步行速度为100米/分． （2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：（min）． ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴． ②能追上． 如图，根据哥哥的速度没变，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整， 设所在直线为，将代入，得， 解得， ∴． ∵妺妺的速度是160米/分． 设所在直线为，将代入，得， 解得， ∴． 联立方程， 解得， ∴米，即追上时兄妺俩离家300米远． 【点拨】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题的关键． 10．（2023·湖南·中考真题）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息解答下列问题： （1）填空： ①食堂离图书馆的距离为__________； ②小明从图书馆回家的平均速度是__________； ③小明读报所用的时间为__________． ④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________． （2）当时，请直接写出关于的函数解析式． 【答案】（1）①；②；③；④或；（2） 【分析】（1）①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用减去即可得解；④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可； （2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当、和时三段对应的函数解析式即可． 解：（1）解：①， ∴小食堂离图书馆的距离为， 故答案为∶； ②根据题意， ∴小明从图书馆回家的平均速度是， 故答案为：； ③， 故答案为：； ④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为， 当去时，小明离开家的距离为时， ∵， ∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足， 由题意得， 解得， 当返回时，离家的距离为时，根据题意，得， 解得； 故答案为：或． （2）解：设时， ∵过， ∴， 解得， ∴时， 由图可知，当时， 设时，， ∵过，， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当时，关于的函数解析式为． 【点拨】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 函数 目 录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾： 1 新知引入： 1 知识点一：函数 2 【题型1】函数的概念 2 【题型2】函数图形的识别 2 知识点二：函数自变量取值范围 3 【题型3】函数自变量取值范围——代数式有意义的条件 3 【题型4】求几何图形中函数的解析式，并求出自变量取值范围 3 【题型5】求实际生活中函数的解析式，并求出自变量取值范围 4 知识点三：函数值 4 【题型6】求函数值 4 【题型7】求自变量的值 5 知识点四：从函数图象中读取信息 5 【题型8】从函数图象中直观得出结论 5 【题型9】函数图象与几何性质得出结论 6 【题型10】函数图象结合行程问题得出结论 7 二．同步练习​ 8 【基础巩固（12题）】 8 【能力提升（12题）】 11 【真题专练10题】 14 一.知识梳理与题型分类精析 知识回顾： 1. 如果变量时间随高度的变化而变化，则自变量是 ，因变量是 ； 2. 两个变量之间的表示形式有: 、 、 （ ） 新知引入： 1（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习） （1）某厂有煤800t，每天需烧煤，求工厂余煤量与烧煤天数（天）之间的关系式； （2）已知正方形的边长为，若边长增加，则周长增加，求与之间的函数关系式． 由此：我们得到了两个关系式：， 从以上两个关系式中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应就确定了另一个变量的值。这样我们就得到了函数的定义： 知识点一：函数 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量。 函数定义解读：构成函数的条件：①一个变化过程；②两个变量；③唯一性． 【题型1】函数的概念 【例题１】 （25-26八年级上·全国·单元测试）下列四个选项中，不是关于的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列变化过程中，两变量间存在函数关系的是（    ） A．和是变量， B．人的身高与年龄 C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间 【变式2】（23-24）八年级下·湖南益阳·期末）下列关于变量，的关系：①；②；③；④．其中是的函数的是 ．（填序号） 【题型2】函数图形的识别 【例题2】 （2025八年级上·全国·专题练习）下列各图给出了与自变量之间的对应关系，其中能表示是的函数的是（   ） A．②④ B．①③ C．①④ D．③④ 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 知识点二：函数自变量取值范围 函数自变量取值范围类型：①符合数学的运算性质，避免无意义运算；②符号几何图形的性质和存在的条件；③符合实际意义． 【题型3】函数自变量取值范围——代数式有意义的条件 【例题3】 （24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）函数的自变量取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·四川内江·期末）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【题型4】求几何图形中函数的解析式，并求出自变量取值范围 【例题4】 （25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 【变式1】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【题型5】求实际生活中函数的解析式，并求出自变量取值范围 【例题5】 （2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【变式1】已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 【变式2】（2024八年级上·浙江·专题练习）一辆汽车加满油后，油箱中有汽油，汽车行驶时正常的耗油量为，则油箱中剩余的汽油量关于加满后已驶里程的函数表达式是 ，自变量的取值范围 ． 知识点三：函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于时的函数值，反过来，我们也可以由函数值求自变量的值. 【题型6】求函数值 【例题6】 （24-25六年级下·山东济宁·期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据： 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为千克，烤制时间为．当千克时，的值约为（    ） A．168 B．170 C．172 D．174 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图．则小明打了6分钟需付费 元． 【变式2】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知水池中有的水，现用一台抽水机抽水，每小时抽水． （1）写出剩余水的体积与抽水时间之间的关系式（不必写出的范围）； （2）6h后池中还有多少水？ 【题型7】求自变量的值 【例题7】 （24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）1—6个月的婴儿生长发育得很快，如果一个婴儿出生时的体重为3300克，那么他的体重y（克）和月龄x（月）之间的关系可以近似用来表示.当y的值为7500时，自变量x的值为 . 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 知识点四：从函数图象中读取信息 解题思路：（1）拟清横轴与纵轴表示的含义；（2）认清图形关键点的涵义；（3）从横纵轴含义结合趋势线解读出图形的意义. 【题型8】从函数图象中直观得出结论 【例题8】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题： （1）自变量是 ． （2）这位病人的最高体温是 摄氏度，最低体温是 摄氏度． （3）他在12时的体温是 摄氏度． 【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）下图是某物体的抛射曲线图，其中s表示物体与抛射点之间的水平距离，h表示物体的高度，那么此次抛射过程中，物体达到的最大高度是 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 【题型9】函数图象与几何性质得出结论 【例题9】 （23-24七年级下·福建三明·期末）如图1，在四边形中，，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，它们之间的关系如图2所示，请问： （1）在这个变化中，自变量是 、因变量是 ； （2）当点运动的路程时，的面积为 ； （3）求四边形的周长和面积 【变式1】（24-24年级上·江苏·期末）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系如图所示，则的长度 ；的面积 ． 【题型10】函数图象结合行程问题得出结论 【例题10】 （25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系． （1）B出发时与A相距___千米． （2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是___小时． （3）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，多少小时与A相遇，相遇点离B的出发点多少千米．在图中表示出这个相遇点C． 【变式1】（2025·河南·模拟预测）位于昆明市西山区的豹子箐是一处集旅游、观光、研学、游玩、自然体验于一体的研学基地．周末，小陆一家从家出发开车前往该基地游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（   ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．小陆家距离基地350千米 C．他们出发80分钟后达到服务区 D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）周末甲、乙两同学计划从同一起点出发，沿同一条路出发去距离的某风景旅游区游玩，甲、乙两人离开出发点的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．当乙比甲多行驶时，乙出发了 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若每6个台阶就升高1米，则上升高度（米）与上升的台阶数（个）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（13-14七年级下·河南·期末）如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 二、填空题 5．（2025九年级·北京·专题练习）在函数中，自变量x的取值范围为 6．（2024七年级下·全国·专题练习）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 7．（24-25七年级下·四川达州·期末）已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量与时间之间的关系如折线图所示，则下列结论正确的序号是 ．①洗衣机进水用了4分钟；②洗衣机清洗时水量是；③清洗时间用了10分钟；④若洗衣机排水速度为每分钟19升，排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机剩下水． 三、解答题 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． （1）写出关于的函数表达式； （2）写出自变量的取值范围； （3）求当时所对应的函数值； 10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是某天一地的海拔与对应高度处气温的关系． 海拔 … 0 1 2 3 4 … 气温 … 20 14 8 2 … （1）当海拔高度为时，气温是______；当气温为时，海拔是______； （2）写出气温与海拔的关系式：______； （3）求海拔处的气温． 11．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）周末，陈辰及家人驾驶新能源汽车前往安徽名人馆参观，在馆内参观了小时后，驾车去往长临河古镇．如图是陈辰及家人离开家的路程（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数图象．据此解答下列问题： （1）上述过程中，自变量是______，因变量是______； （2）陈辰家到安徽名人馆的路程是______千米，安徽名人馆到长临河古镇的路程是______千米； （3）求陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶的平均速度． 12．（22-23七年级上·全国·期中）暑假期间，某游泳馆针对学生推出两种优惠活动，活动内容如下： 活动一：购买一张30元优惠卡，每次仅需5元； 活动二：不购买优惠卡，凭学生证，每次需7元； 若某学生暑假期间游泳x次，按活动一、活动二分别花费m，n元． （1）请你写出m，n与x之间的关系； （2）小明计划暑假期间游泳25次，你认为参与哪种活动比较合算？ 13．（24-25六年级下·山东烟台·期末）五一”节放假期间，兄、弟两人沿同一路线登山，当兄出发时，弟已经在距地面的高度为处了，兄在登山时开始加速，兄、弟两人距地面的高度y（单位：m）与登山时间t（单位：min）的关系如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题． （1）在兄的登山过程中自变量是 ，因变量是______； （2）求弟登山上升的速度及b的值； （3）兄出发______min后追上弟，此时距地面的高度为______m； （4）当兄距地面的高度为时停下等待弟，弟还需多长时间与兄会合？ 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南商丘·期末）下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）某地大力开发采摘型魅力乡村游，特开放果园供游客采摘，一名老师带领若干名学生到果园采摘，已知成人票每张元，学生票每张元．设门票的总费用为元，学生人数为名，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶．货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列说法错误的是（   ） A．客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米小时 B．点的坐标为 C．函数、的图象相交于点，则点的纵坐标为180 D．点横坐标为12 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为 ，定义域为 ． 6．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则 ． 7．（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）如图，、分别表示甲、乙两名学生的运动状态，其中s和t分别表示运动的路程和时间．根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 米． 8．（25-26七年级上·重庆·自主招生）已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若，则图甲中的图形面积是 平方厘米． 三、解答题 9．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知水池中有的水，现用一台抽水机抽水，每小时抽水． （1）写出剩余水的体积与抽水时间之间的关系式（不必写出的范围）； （2）6h后池中还有多少水？ 10．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）某服装店一次性购进甲、乙两种保暖内衣共100件进行销售，甲、乙两种保暖内衣的进价与售价分别如表所示： 甲 乙 进价 80元/件 100元/件 售价 120元/件 150元/件 设购进甲种保暖内衣的数量为x（件），除了进货成本以外，从进货到销售完这批内衣的过程中还要支付运费和销售员工工资共1000元.设销售完这批保暖内衣的总利润为y（元），请求出y与x之间的函数关系式. 11．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）两地相距千米，甲从地到地，乙从地到地，两人同时出发，已知甲的速度为千米小时，时间与两人之间的距离关系如下图： 请回答下列问题． （1）甲乙两人在第（    ）小时相遇． （2）乙的速度是多少？ （3）求图中表示的数． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在长方形ABCD中，当点P在边AD（不包括A，D两点）上移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些发生了变化． （1）试分别写出长度发生变化的线段与面积发生变化的三角形． （2）假设长方形的长AD为，宽AB为，线段AP的长为，分别写出线段PD的长度y（单位：），的面积S（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 【真题专练10题】 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 2．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 4．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2021·上海·中考真题）已知，那么 ． 6．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 7．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 8．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 三、解答题 9．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系．    （1）求哥哥步行的速度． （2）已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 10．（2023·湖南·中考真题）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息解答下列问题： （1）填空： ①食堂离图书馆的距离为__________； ②小明从图书馆回家的平均速度是__________； ③小明读报所用的时间为__________． ④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________． （2）当时，请直接写出关于的函数解析式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $