专题 3.3 轴对称与坐标变化（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 3.3 轴对称与坐标变化 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 情景引入： 1 知识点梳理：轴对称与坐标变化规律 2 【题型1】轴对称与坐标变化——求关于坐标轴成轴对称点坐标 2 【题型2】轴对称与坐标变化——作图 3 【题型3】轴对称与坐标变化——求关于某条直线成由对称点坐标 6 【题型4】轴对称与坐标变化——折叠问题 9 【题型5】轴对称与坐标变化——最值问题 12 【题型6】轴对称与坐标变化——其他几何综合问题 15 二．同步练习 20 【基础巩固（18题）】 20 【能力提升（21题）】 33 【中考真题5题】 56 一.知识梳理与题型分类精析 情景引入： 【例题1】如图1所示的平面直角坐标系中，在第一象限ABC与在第二象限内的关于y轴对称，观察如其对称点坐标变化情况； 图1 图2 如图2所示的平面直角坐标系中，在第一象限ABC与在第二象限内的关于x轴对称，观察如其对称点坐标变化情况； 通过观察以上两种情况对称点的变化规律，我们得出： 知识点梳理：轴对称与坐标变化规律 1.关于轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;反过来,横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 2.关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 【题型1】轴对称与坐标变化——求关于坐标轴成轴对称点坐标 【例题2】 （24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知点． （1）若点关于x轴对称，求的值； （2）若点关于y轴对称，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了轴对称点的坐标变换，解决本题的关键是掌握轴对称点的坐标变换规律． （1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 解：（1） 点关于轴对称， ， 解得，； （2）点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握轴对称的性质； 关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数； 解：点关于轴对称的点的坐标为， 则点的坐标是； 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，点和 （  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】C 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握坐标轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 解：点和的横坐标均为2，纵坐标分别为1和，互为相反数， 根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数），可知两点关于轴对称． 故选：C． 【题型2】轴对称与坐标变化——作图 【例题3】 （24-25八年级上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． （1）作出关于x轴对称的； （2）在y轴上求作点D，使得的值最小，点D的坐标为______． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）取点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D，则点D即为所求，即可得出答案． 解：（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，取点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D，连接， 此时，为最小值， 则点D即为所求． 由图可得，点D的坐标为 故答案为： 【变式1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：，，． （1）作关于轴对称的图形．其中，，分别和，，对应； （2）点，，对应的坐标分别为___________；____________；___________； （3）求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）；；；（3）5 【分析】本题考查了轴对称作图，求平面直角坐标系中点的坐标，割补法求面积． （1）根据轴对称的定义作图即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据割补法计算即可． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）由图象可知：点，，对应的坐标分别为；；； 故答案为：；；； （3）． 【变式2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为． （1）点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得新坐标分别对应点，请在平面直角坐标系中画出． （2）线段的长为________． 【答案】（1）作图见分析；（2） 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，勾股定理， 对于（1），先确定三个点的坐标，再描出三个点，然后依次连接可得答案； 对于（2），先求出，再根据勾股定理求出答案． 解：（1）解：点，如图所示； （2）解：如图所示，根据题意，得， 根据勾股定理，得． 故答案为：． 小结：在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形的方法: （1）确定坐标:确定已知图形的一些特殊点的对称点的坐标; （2）描点:根据对称点的坐标描点; （3）连线:按顺序依次连接各点得到对称图形。 【题型3】轴对称与坐标变化——求关于某条直线成由对称点坐标 【例题4】 （24-25九年级下·辽宁铁岭·期中）若点关于直线成轴对称的点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标特点，轴对称变换，先求出点关于直线成轴对称点的坐标，然后根据该点在轴上，得出，然后求出结果即可． 解：点关于直线成轴对称的点坐标为：， 即， ∵关于直线成轴对称的点在轴上， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）点关于第一、三象限的角平分线对称的点为点，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点，则点，的坐标分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分别利用关于第一、三象限的角平分线和关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标特征解决问题即可． 解：点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为，关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为． 故选：B． 【点拨】本题考查坐标与图形变化—对称，点关于轴对称的点的坐标为；点关于轴对称的点的坐标为；点关于原点对称的点的坐标为；点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为；点关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为．解题的关键是掌握轴对称的性质和点对称的坐标特征． 【变式2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故选：D． 【题型4】轴对称与坐标变化——折叠问题 【例题5】 （24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键． 由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案． 解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，将沿对角线翻折，点落到点，线段与轴交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作于点，根据折叠可以证明，然后利用全等三角形的性质得到，，设，则，，利用勾股定理即可求出的长度． 解：如图，过点作于点， 点的坐标为， ，， 根据折叠可知：， ，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， 的长为， 故选：A． 【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，坐标与图形变化—对称，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，则点关于轴对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形面积求法，点关于轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，则，然后利用勾股定理得出的长，再利用直角三角形面积得出斜边上高的长，再由勾股定理求出的长，进而得出点坐标，即可得出点关于轴的对称点的坐标． 解：如图，过作于点，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴点， ∴点关于轴对称点的坐标为， 故答案为：． 【题型5】轴对称与坐标变化——最值问题 【例题6】 （24-25七年级下·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，过点P作于H，交x轴于点E，连接．则的最小值为的长， 根据，，推出． 解：过点P作于H，交x轴于点E，连接， 点M，N是x轴，线段上的动点， 的最小值为的长， ，， ． 故对答案为：4． 【变式1】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）在中，点A、B、C的坐标分别为和，当的周长最小时，此时的面积的值为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与轴对称，根据的周长，且的值固定，得到当最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，利用分割法求出的面积即可． 解：∵的周长，点A、B、C的坐标分别为和， ∴点在轴上，的值为定值， ∴当最小时，的周长最小， 作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，如图， ∴， ∴的面积为：； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点C是y轴上一点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质找到对称点，然后利用勾股定理进行求解即可．作于D，则，，，，得出，由勾股定理求出即可；由题意得出最小，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C，点C即为使最小的点，作轴于E，由勾股定理求出，即可得出结果． 解：作于D， 则，，，， ∴， ∴； 要使的周长最小，一定， 则最小， 作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C， 点C即为使最小的点， 作轴于E， 由对称的性质得： ，， ∴， 由勾股定理得：＝， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【题型6】轴对称与坐标变化——其他几何综合问题 【例题7】 （24-25七年级下·吉林松原·期末）如图，四边形是长方形，边在x轴上，轴．已知点A坐标为，点C坐标为．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P的运动时间为． （1）点D坐标为______； （2）连接，当直线将长方形的面积分为的两部分时，求x的值； （3）连接，，直接写出三角形的面积为3时，点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的应用； （1）利用矩形的性质求出，，可得结论； （2）分两种情形：如图1，当点在线段上时，如图2，当点在线段上时，分别根据将长方形的面积分为的两部分构建方程求解即可； （3）当点与重合时，的面积为3，此时，当点在上且时，的面积为3，此时． 解：（1）解：四边形ABCD是矩形，，， ，， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 如图1，当点P在线段上时， 由题意，， ， ， 如图2，当点P在线段上时， 由题意，， ， ， 综上所述，满足条件的x的值为或； （3）如图3， 当点P与A重合时，的面积为， 此时， 当点在上且时，的面积为， 此时， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，点，其中为实数，给出下列三个结论： ①线段长度的最小值是1； ②若线段，则； ③若，，则三角形的面积是定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查垂线段最短，点到原点的距离，勾股定理的应用，三角形的面积． ①根据垂线段最短，即可解答； ②根据点到原点的距离，利用勾股定理，即可解答； ③运用三角形的面积，即可解答． 解：①根据垂线段最短，当时，点到点O的长度最小，为1； 故①正确 ②当时， 有， 即， 解得． 故②错误． ③∵点，，， ∴， 则三角形的面积是定值． 故③正确． 答案为①③． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数，直接计算即可． 解：点关于x轴对称时，横坐标保持2不变，纵坐标5变为， 因此对称后的点坐标为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）平面坐标系中，点A的坐标为，将线段沿y轴翻折得到线段，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查翻折性质，现出图形，根据对称性解答即可． 解：如图，点A的对应点的坐标为， 故选：A． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，建立绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解． 本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 解：设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意， 得或， 解得或， 故点P的坐标为或， 故选：C． 4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于轴对称，点，的对应点分别为点．若点是边上一点，则点在上的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案． 解：与关于轴对称，点是边上一点， 点在上的对应点的坐标． 故选：C． 5．（23-24七年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，点，点C在线段上运动（点C可以与A点或B点重合）．若，则点C的横坐标x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称的性质，作点A关于y轴的对称点E，连接，则，根据轴对称的性质可得，结合图形即可得到答案． 解：如图所示，作点A关于y轴的对称点E，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴当点C在线段（包括端点）上时一定有，当点C在线段（包括B，不包括E）上一定有， ∴点C的横坐标x的取值范围是， 故选：B． 6．（24-25八年级上·北京·期中）一只电子跳蚤从点开始，先以x轴为对称轴跳至点A 的对称点B，紧接着又以y轴为对称轴跳至点B 的对称点C，则点 C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，掌握关于x轴对称横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数成为解题的关键． 首先写出A点关于x轴对称的点B的坐标，再写出点B关于y轴对称的点C的坐标即可解答．关于x轴对称x坐标不变，另一个坐标变成相反数． 解：∵， ∴点A关于x轴对称的点B的坐标是， 点B以y轴为对称轴的点C的坐标是∶ ． 故选B． 7．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点关于轴的对称点关于轴的对称点关于直线的对称点关于轴的对称点关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是坐标的对称变化，根据各点坐标找出规律是解答此题的关键．根据轴对称的性质分别求出，，，，，的坐标，找出规律即可得出结论． 解：∵， ∴点P关于直线的对称点， 关于y轴的对称点， 关于x轴的对称点， 关于直线的对称点， 关于y轴的对称点， 关于x轴的对称点， ∴6个点后循环一次， ∵当时，， ∴的坐标与的坐标相同， 故选：C． 二、填空题 8．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知点与关于轴对称，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标．利用两点轴对称对称得出a、b的值是解答本题的关键． 根据关于轴对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得出a、b的值，即可求出的值． 解：∵点与关于轴对称， ∴． ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点重合，那么A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，点关于轴对称的特点．解师关键是掌握关于轴对称的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．根据点关于轴对称的点的坐标特点可求出点的坐标． 解：根据题意得：点与关于轴对称，点坐标为， 点坐标为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，为轴上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，作点关于轴的对称点，连接，得到的最小值为，进行求解即可． 解：作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设线段上存在一点与互为“等距点”，得；根据，解答即可． 本题考查了坐标新定义问题，准确理解新定义是解题的关键． 解：设线段上存在一点与互为“等距点”，得， 解得； 根据两点的坐标分别为，，得， 故， 解得， 当时，，此时点与点重合，不符合题意， 故的取值范围是． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】根据轴对称，平移三角形全等的传递性，解答即可． 解：作点关于y轴的对称点，得到， 此时，与全等． 把点B向右平移4个单位长度得到点，连接，得与全等． 此时， 作关于y轴的对称图形，则与全等，从而与全等． 此时， 故答案为：或或． 【点拨】本题考查了轴对称，平移的性质，三角形全等的判定与性质，图形与坐标，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为2）对称，点的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是关于直线对称的两个点的坐标之间的关系，根据关于直线对称的两个点到对称轴的距离相等解题即可得到答案． 解：设点C的横坐标为x， 则， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是直线l上的一点，且其纵坐标为2，点D为的中点，点P为y轴上一动点，当的值最小时，则的周长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质及一次函数的性质是解题关键．根据题意可作点关于轴的对称点，然后连接，交轴于点，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解． 解：令 ，则有 ， 解得：， ， ∵点为的中点, ，即 ， 令，则有 ， 解得：， ∴点 ， ， 作点关于轴的对称点，然后连接，交轴于点，如图所示： ∴, 由轴对称的性质可知轴垂直平分，则根据垂直平分线的性质及两点之间线段最短可知当点与点重合时，的值最小，即为的长， ， 的周长为， 故答案为：． 三、解答题 15．（2025九年级上·陕西·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为、、与关于轴对称（点、、的对应点分别为点、、），请你在图中画出，并求出的长． 【答案】见分析， 【分析】此题考查了坐标与轴对称作图，勾股定理等知识，准确作图是关键．找到点、、的对应点、、，顺次连接即可得到，用勾股定理求出的长． 解：如图所示． ． 16．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，若B点的坐标为按要求回答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系； （2）根据所建立的坐标系，直接写出点A和点C的坐标：A______，C_____； （3）请画出关于x轴的对称图形； （4）在（3）的条件下，若是内部任意一点，请直接写出这点在内部的对应点的坐标________． 【答案】（1）见分析；（2），；（3）见分析；（4） 【分析】本题主要考查了轴对称变换和建立适当的直角坐标系，其中建立适当直角坐标系标是解题关键， （1）根据题意利用C点右侧一个单位格点为坐标原点建立坐标系即可； （2）利用平面坐标系得出点A和点C的坐标； （3）利用关于x轴对称点的性质，得出对应点坐标进而得出答案； （4）根据关于x轴对称的点的坐标特点直接写出答案即可． 解：（1）解:如图， （2）解：点，点， 故答案为：，； （3）解:如图， 即为所求， （4）解: 根据关于x轴对称的点的坐标特点可得， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，已知． （1）分别画出与关于x轴、y轴对称的图形和； （2）写出和各顶点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）三个顶点坐标分别为；三个顶点坐标分别为；（3）5 【分析】本题考查了作关于坐标轴的对称图形，求点关于坐标轴对称的点的坐标，割补法求图形面积等知识点． （1）分别作出三个顶点关于x轴、y轴的对称点，再依次连接即可； （2）根据所作的三角形即可写出各顶点坐标； （3）利用梯形面积减去两个直角三角形的面积即可求解． 解：（1）解：作出的图形如下： （2）解：由图知，三个顶点坐标分别为；三个顶点坐标分别为； （3）解：． 18．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，，，点B在x轴上，且． （1）求点B的坐标； （2）求三角形的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）6；（3）存在，P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 解：（1）解：点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； （2）解：的面积； （3）解：设点到轴的距离为， 则， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． 【能力提升（21题）】 一、单选题 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是；， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形变换规律问题，解题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标特征． 先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解． 解：∵中，点是对角线交点，且，， ∴，即 经过1次变换后M点的坐标为， 经过2次变换后M点的坐标为， 经过3次变换后M点的坐标为， …， 经过n次变换后M点的坐标为， 则时，M点的坐标为，即． 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得的长度，然后根据点在y轴的负半轴，即可得到点的坐标． 解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的负半轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 5．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键．根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动2025秒所走的路程为4050个单位长度，,则点P相当于运动了253圈后又运动2个单位长度，据此可得答案． 解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动2025秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动253圈后又运动2个单位长度， 即第2025秒点所在的位置是， 故选：A． 6．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，长方形的性质，根据点坐标可得长方形的周长，设运动时间为t，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 解：∵，，，， ∴，， ∴长方形的周长为， 设运动时间为t， ∴， 解得， ∴当时，点P、Q第一次相遇，则点P路程为，即在x的正半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第二次相遇，则点P路程为，即在x的负半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第三次相遇，则点P路程为，即到达点D， ∴点； 当时，点P、Q第四次相遇，则点P路程为，即在x的负半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第五次相遇，则路程为，即到达点A， ∴点； 当时，点P、Q第六次相遇，则路程为，即在x的正半轴上， ∴点； ∴五次相遇一循环， ∴， ∴点， 故选：C． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是上的动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理．如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解． 解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴周长的最小值是， 故选：B． 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形中，，相交于点M（M为、的中点），顶点A、B、C的坐标分别为、、，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向右平移1个单位为一次变换”，则连续经过2023次变换后，点M的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查翻折变换，掌握对称与平移的性质是解题的关键； 由正方形，顶点，根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点的对应点的坐标，可得规律：第次变换后的点的对应点的坐标为：当为奇数时为，当为偶数时为，求得把正方形连续经过2023次这样的变换得到正方形的对角线交点的坐标． 解：∵正方形，顶点， ∴对角线交点的坐标为， 根据题意得：第1次变换后的点的对应点的坐标为，即， 第2次变换后的点的对应点的坐标为：，即， 第3次变换后的点的对应点的坐标为，即， 第次变换后的点的对应点的坐标为：当为奇数时为，当为偶数时为， ∴连续经过2023次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为． 故选：D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求得，的值，代入式子即可解答． 解：∵点与点关于轴对称， ∴ ∴， 故答案为：． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，有一点，且满足，则点M关于x轴对称的点N在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形变化轴对称，判断点所在的象限，根据非负数的性质可得，解得，则可得点M的坐标为．关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得点N的坐标，进而可得答案． 解：∵， ∴， 解得， ∴点M的坐标为， ∴点M关于x轴对称的点N的坐标为， ∴点N在第一象限． 故答案为：一． 11．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽路不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是．此时对应的虚像的坐标是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识点，掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相等成为解题的关键． 根据点S和关于y轴对称得出、，然后代入进行计算即可． 解： 解：∵点S和关于y轴对称，，， ∴、， ． 故答案为：． 12．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点在轴的负半轴上，，直线经过原点，点关于直线的对称点在轴的正半轴上，点关于直线的对称点为，则的度数为 ；点的纵坐标为 ． 【答案】 /75度 【分析】题目主要考查轴对称的性质、坐标与图形、含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据等边对等角确定，再由轴对称图形的性质得出直线垂直平分，结合图形即可求解确定；过A作轴于C，过作轴于D．根据等腰三角形的性质得出，再由含30度角的直角三角形的性质得出，结合图象即可求解． 解：∵ ∴． ∵点关于直线的对称点在轴的正半轴上， ∴直线垂直平分 ， ∵直线经过原点O， ∴ ， ∴． 如图，过A作轴于C，过作轴于D． ∵点A的横坐标为， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的纵坐标为， 故答案为：；． 13．（23-24八年级下·湖北·单元测试）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点，分别在轴，轴上，，两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质．在上截取，可证四边形是平行四边形，可得，由对称性可得，则，即当点，点，点共线时，有最小值，最小值为的长，据此计算即可求解． 解：在上截取，作点关于轴的对称点，连接交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点与点关于轴对称， ，点坐标为， ， 当点，点，点共线时，有最小值，最小值为的长， 点， ， 故答案为：． 14．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）已知点关于原点对称的点为，点关于x轴对称的点为，点在第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，关于x轴对称的点的特点，关于原点对称点的特点，先根据对称性得出，然后根据第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式组，解不等式组即可． 解：∵点关于原点对称的点为， ∴， ∵点关于x轴对称的点为， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，两点分别在轴，轴上，点A的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6/6或3 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理的应用，分三种情况：当时，当时，当时分别根据图形利用勾股定理求出即可． 解：设， 点关于直线的对称点为点， ， 当为直角三角形时，分三种情况： 当时，如图： 三点共线， ， 解得， ； 当时，如图： 为等腰直角三角形， ； 当时，则， 与相矛盾，故不存在． 故答案为：或． 16．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点为对角线的交点，点与点关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点D作轴于H，根据正方形的性质得到，，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到答案． 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， 过D作轴于H，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点E是的中点，点B的坐标为， ∴点E的坐标是, ∴， ∵点F与点E关于y轴对称， 点F的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于y轴对称的点的坐标，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 17．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点． （1）若点P在x轴上，求m的值； （2）若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； （3）若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了点的坐标特征、对称的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据在轴上的点的纵坐标为得出，求解即可； （2）由题意可得，求出的值即可得解； （3）根据对称的性质可得，，求出的值即可得解． 解：（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标大3， ∴， ∴， ∴，，即； （3）解：∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，已知在平面直角坐标系中有一由A，B，C三点构成的三角形． （1）如果保持各点的横坐标不变，纵坐标都乘，所得的对应点分别为，，分别写出它们的坐标； （2）画出并判定两个三角形的位置关系． 【答案】（1），，；（2）关于轴对称 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （2）结合题意先得到点A，B，C的坐标，再将纵坐标都乘，得出点，，的坐标； （3）先画出图形，再判断位置关系即可． 解：（1），，的坐标分别是，，； （2）如图所示，与原的位置关系是关于轴对称． 19．（23-24七年级下·江西南昌·阶段练习）如图所示，已知平面直角坐标系内，，不同的两点、到轴距离相等，且轴． （1）求、的坐标； （2）动点、分别从点、点同时出发，沿直线向右运动，同向而行，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒4个单位长度，设、的运动时间为秒，当时． ①请用含的代数式表示三角形的面积； ②在平面直角坐标系中存在一点，点的横纵坐标相等，且满足，求出点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）①；②点的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积，解题的关键是能根据已知条件，运用分类讨论的数学思想灵活变化得到所求问题需要的条件． （1）根据题意可得、两点关于轴对称，进而得到，，求出，，进而求解即可； （2）①首先得到，，，然后表示出，然后表示出； ②设点的坐标为，根据列方程求出或，求解即可． 解：（1），，不同的两点、到轴距离相等，且轴， ∴、两点关于轴对称， ，， 解得，． 点的坐标为，点的坐标为． （2）①，，， 当时，； 当时，； ②设点的坐标为． 当时， ， ， ． ． 解得，或， 点的坐标为或． 20．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的＜，＞伴随图形．例如：点的＜轴，轴＞伴随图形是点． （1）点的＜轴，轴＞伴随图形点的坐标为 ； （2）已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的＜轴，＞随图形点的坐标为 ； ②当直线经过原点时，若的<，轴>伴随图形上只存在两个与轴的距离为2的点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②或． 【分析】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来． （1）本题根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；掌握相关性质，即可求解． （2）①当时，点的坐标为，直线为，根据对称性得到点沿轴翻折的坐标，再得到其沿直线翻折的坐标，即可解题． ②本题根据题意得出直线，表示出，，的<，轴>伴随图形（对应点），根据的<，轴>伴随图形上只存在两个与轴的距离为2的点，得出或，对不等式进行求解，即可解题． 解：（1）解：点沿轴翻折的坐标为， 沿轴翻折的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． （2）解：①当时，点的坐标为， 直线经过点，且直线与轴平行， 直线为， 点沿轴翻折的坐标为， 沿直线翻折的坐标为， 点的＜轴，＞随图形点的坐标为   故答案为：． ②直线经过点，直线经过原点， 设直线解析式为，将点代入解析式有， 直线的解析式为， 沿直线翻折的坐标为，再沿轴翻折的坐标为， 沿直线翻折的坐标为，再沿轴翻折的坐标为， 沿直线翻折的坐标为，再沿轴翻折的坐标为， 的<，轴>伴随图形上只存在两个与轴的距离为2的点， 或， 解得或． 21．（24-25八年级下·河北唐山·期中）问题情境： 如图1，学校有两块相邻的正方形菜地A、B，每块菜地周围都有矮篱笆，菜地内各有一段矮篱笆，现计划在区域A内利用已有篱笆规划一块三角形菜地种植青椒，在区域B内利用已有篱笆规划两块三角形菜地种植西红柿和黄瓜，嘉琪利用平面直角坐标系知识帮助老师完成规划，过程如下：①建立如图2所示的平面直角坐标系，区域内两条篱笆的端点分别为和，d），c、d满足，过点C作轴，垂足为点E，沿搭建篱笆，区域内种植青椒． ②如图3，在x轴正半轴上寻找一点G，在y轴负半轴寻找一点H，连接，沿、搭建篱笆，在和中分别种植西红柿和黄瓜，种植两种作物的面积相同． （1）c的值为______，d的值为_____． （2）①求的面积． ②如图2，在上的点处安装一个照明灯，从点电源处向照明灯M引电，需在y轴正半轴篱笆上安一开关P，求电线的最小值． （3）请直接写出与的关系． 【答案】（1）4，；（2）①；②的最小值为；（3） 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称，三角形面积等知识，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据非负数的性质可求出的值； （2）①由点得，故可得； ②作点关于轴的对称点,连接，根据两点之间线段最短得的最小值为，根据两点间距离公式可求出； （3）由点结合三角形面积公式可得． 解：（1）解：∵， ∴ ∴， 故答案为：4，； （2）解：①由（1）得， 又轴， ∴， ∴； ②作点关于轴的对称点,连接，根据两点之间线段最短得的最小值为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于y轴的对称点的坐标是，即点P的坐标为关于y轴对称的点的坐标． 解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故选C． 【点拨】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标．掌握关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出答案． 解：∵图形的对称轴是轴， ∴在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：C． 3．（2023·山东临沂·中考真题）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可． 解：由题意，得：点B的坐标为； 故选A． 【点拨】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键． 二、填空题 4．（2023·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 解：点与点B关于x轴对称， 点B的坐标是． 故答案为： ． 5．（2023·湖南湘西·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 解：点与点关于轴对称， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，， 解得， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 3.3 轴对称与坐标变化 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 情景引入： 1 知识点梳理：轴对称与坐标变化规律 2 【题型1】轴对称与坐标变化——求关于坐标轴成轴对称点坐标 2 【题型2】轴对称与坐标变化——作图 2 【题型3】轴对称与坐标变化——求关于某条直线成由对称点坐标 3 【题型4】轴对称与坐标变化——折叠问题 4 【题型5】轴对称与坐标变化——最值问题 5 【题型6】轴对称与坐标变化——其他几何综合问题 6 二．同步练习 7 【基础巩固（18题）】 7 【能力提升（21题）】 11 【中考真题5题】 18 一.知识梳理与题型分类精析 情景引入： 【例题1】如图1所示的平面直角坐标系中，在第一象限ABC与在第二象限内的关于y轴对称，观察如其对称点坐标变化情况； 图1 图2 如图2所示的平面直角坐标系中，在第一象限ABC与在第二象限内的关于x轴对称，观察如其对称点坐标变化情况； 通过观察以上两种情况对称点的变化规律，我们得出： 知识点梳理：轴对称与坐标变化规律 1.关于轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;反过来,横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 2.关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 【题型1】轴对称与坐标变化——求关于坐标轴成轴对称点坐标 【例题2】 （24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知点． （1）若点关于x轴对称，求的值； （2）若点关于y轴对称，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则点的坐标是 ． 【变式2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，点和 （  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【题型2】轴对称与坐标变化——作图 【例题3】 （24-25八年级上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． （1）作出关于x轴对称的； （2）在y轴上求作点D，使得的值最小，点D的坐标为______． 【变式1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：，，． （1）作关于轴对称的图形．其中，，分别和，，对应； （2）点，，对应的坐标分别为___________；____________；___________； （3）求的面积． 【变式2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为． （1）点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得新坐标分别对应点，请在平面直角坐标系中画出． （2）线段的长为________． 小结：在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形的方法: （1）确定坐标:确定已知图形的一些特殊点的对称点的坐标; （2）描点:根据对称点的坐标描点; （3）连线:按顺序依次连接各点得到对称图形。 【题型3】轴对称与坐标变化——求关于某条直线成由对称点坐标 【例题4】 （24-25九年级下·辽宁铁岭·期中）若点关于直线成轴对称的点在轴上，则的值为 ． 【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）点关于第一、三象限的角平分线对称的点为点，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点，则点，的坐标分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型4】轴对称与坐标变化——折叠问题 【例题5】 （24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，将沿对角线翻折，点落到点，线段与轴交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，则点关于轴对称点的坐标为 ． 【题型5】轴对称与坐标变化——最值问题 【例题6】 （24-25七年级下·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）在中，点A、B、C的坐标分别为和，当的周长最小时，此时的面积的值为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【变式2】（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点C是y轴上一点，连接，则周长的最小值为 ． 【题型6】轴对称与坐标变化——其他几何综合问题 【例题7】 （24-25七年级下·吉林松原·期末）如图，四边形是长方形，边在x轴上，轴．已知点A坐标为，点C坐标为．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P的运动时间为． （1）点D坐标为______； （2）连接，当直线将长方形的面积分为的两部分时，求x的值； （3）连接，，直接写出三角形的面积为3时，点P的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【变式2】（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，点，其中为实数，给出下列三个结论： ①线段长度的最小值是1； ②若线段，则； ③若，，则三角形的面积是定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）平面坐标系中，点A的坐标为，将线段沿y轴翻折得到线段，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于轴对称，点，的对应点分别为点．若点是边上一点，则点在上的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，点，点C在线段上运动（点C可以与A点或B点重合）．若，则点C的横坐标x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·北京·期中）一只电子跳蚤从点开始，先以x轴为对称轴跳至点A 的对称点B，紧接着又以y轴为对称轴跳至点B 的对称点C，则点 C的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点关于轴的对称点关于轴的对称点关于直线的对称点关于轴的对称点关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知点与关于轴对称，则的值是 ． 9．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点重合，那么A的坐标为 ． 10．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，为轴上任意一点，则的最小值为 ． 11．（24-25七年级下·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 12．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为 ． 13．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为2）对称，点的坐标为，则点的坐标为 ．    14．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是直线l上的一点，且其纵坐标为2，点D为的中点，点P为y轴上一动点，当的值最小时，则的周长是 ． 三、解答题 15．（2025九年级上·陕西·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为、、与关于轴对称（点、、的对应点分别为点、、），请你在图中画出，并求出的长． 16．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，若B点的坐标为按要求回答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系； （2）根据所建立的坐标系，直接写出点A和点C的坐标：A______，C_____； （3）请画出关于x轴的对称图形； （4）在（3）的条件下，若是内部任意一点，请直接写出这点在内部的对应点的坐标________． 17．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，已知． （1）分别画出与关于x轴、y轴对称的图形和； （2）写出和各顶点的坐标； （3）求的面积． 18．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，，，点B在x轴上，且． （1）求点B的坐标； （2）求三角形的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【能力提升（21题）】 一、单选题 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是上的动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形中，，相交于点M（M为、的中点），顶点A、B、C的坐标分别为、、，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向右平移1个单位为一次变换”，则连续经过2023次变换后，点M的坐标为（） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为 ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，有一点，且满足，则点M关于x轴对称的点N在第 象限． 11．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽路不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是．此时对应的虚像的坐标是，则 ． 12．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点在轴的负半轴上，，直线经过原点，点关于直线的对称点在轴的正半轴上，点关于直线的对称点为，则的度数为 ；点的纵坐标为 ． 13．（23-24八年级下·湖北·单元测试）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点，分别在轴，轴上，，两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，则的最小值 ． 14．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）已知点关于原点对称的点为，点关于x轴对称的点为，点在第四象限，那么的取值范围是 ． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，两点分别在轴，轴上，点A的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 16．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点为对角线的交点，点与点关于轴对称，则点的坐标为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点． （1）若点P在x轴上，求m的值； （2）若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； （3）若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，已知在平面直角坐标系中有一由A，B，C三点构成的三角形． （1）如果保持各点的横坐标不变，纵坐标都乘，所得的对应点分别为，，分别写出它们的坐标； （2）画出并判定两个三角形的位置关系． 19．（23-24七年级下·江西南昌·阶段练习）如图所示，已知平面直角坐标系内，，不同的两点、到轴距离相等，且轴． （1）求、的坐标； （2）动点、分别从点、点同时出发，沿直线向右运动，同向而行，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒4个单位长度，设、的运动时间为秒，当时． ①请用含的代数式表示三角形的面积； ②在平面直角坐标系中存在一点，点的横纵坐标相等，且满足，求出点的坐标． 20．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的＜，＞伴随图形．例如：点的＜轴，轴＞伴随图形是点． （1）点的＜轴，轴＞伴随图形点的坐标为 ； （2）已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的＜轴，＞随图形点的坐标为 ； ②当直线经过原点时，若的<，轴>伴随图形上只存在两个与轴的距离为2的点，直接写出的取值范围． 21．（24-25八年级下·河北唐山·期中）问题情境： 如图1，学校有两块相邻的正方形菜地A、B，每块菜地周围都有矮篱笆，菜地内各有一段矮篱笆，现计划在区域A内利用已有篱笆规划一块三角形菜地种植青椒，在区域B内利用已有篱笆规划两块三角形菜地种植西红柿和黄瓜，嘉琪利用平面直角坐标系知识帮助老师完成规划，过程如下：①建立如图2所示的平面直角坐标系，区域内两条篱笆的端点分别为和，d），c、d满足，过点C作轴，垂足为点E，沿搭建篱笆，区域内种植青椒． ②如图3，在x轴正半轴上寻找一点G，在y轴负半轴寻找一点H，连接，沿、搭建篱笆，在和中分别种植西红柿和黄瓜，种植两种作物的面积相同． （1）c的值为______，d的值为_____． （2）①求的面积． ②如图2，在上的点处安装一个照明灯，从点电源处向照明灯M引电，需在y轴正半轴篱笆上安一开关P，求电线的最小值． （3）请直接写出与的关系． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东临沂·中考真题）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是 ． 5．（2023·湖南湘西·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ． 6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$