第九讲 有理数的混合运算（3个知识点5大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点5大典例） 第九讲 有理数的混合运算 知识点梳理 知识点1 有理数加减法统一成加法 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式. 1. 把加减混合运算的算式转化为加法运算后，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号。 2. 省略括号和加号的算式有两种读法，（1）将所有数都看成加数，即相邻两个加数的加号省掉，直接读成所有数的和。（2）将两个数之间的符号看成运算符号来读，读成加或减的形式。 要点诠释： 符号一致性 ：在交换或结合过程中保持符号一致，避免符号混淆。 零的特殊性 ：任何数加0或减0仍得原数，可灵活利用0简化计算 知识点2 有理数加减混合运算 （1） 有理数加减混合运算，一般把减法统一为加法后，再写成省略加号的和式。 简化后的算式利用加法的交换律结合律进行简便运算。 要点诠释： 一、运算统一为加法 减法转加法 ：根据有理数减法法则，将减法转化为加法，将混合运算统一为加法形式。 省略符号 ：在和式中省略加号及括号。 二、符号处理规则 符号变化 ：交换加数位置时需连同符号一起交换；计算时先确定符号再计算数值。 正负数运算 ：同号相加取相同符号并绝对值相加，异号相减取绝对值较大数的符号并用较大绝对值减去较小绝对值。 三、运算顺序与法则 运算优先级 ：先算括号内运算，再算括号外；无括号时从左到右依次计算。 结合律应用 ：运用加法交换律和结合律简化计算 知识点3 有理数加减混合运算的简便运算方法 相反数结合法 互为相反数的两个数先相加 同号结合法 符号相同的数先相加 同分母结合法 分母相同(或易化成同分母)的数先相加 凑整法 几个数相加得到整数的数先相加 同形结合法 整数与整数、小数与小数先相加 拆分法 带分数相加时,可先将其拆成数与分数的和,再分别相加 典例精讲 题型1、改写成省略括号的形式 例1． 把下列各式写成省略加号的和的形式。 （1）（-3）+（-7）-（-5）； （2）9-（+11）+（-2）-（-6）。 名师支招 把运算符号看成性质符号，利用化简符号法则改写成省略加号的和式 针对训练1 1． 将(-1)-(-7)+(-8)写成省略加号的和的形式，正确的是 (　　) A．1-7+8 B．-1+7-8 C．-1-7+8 D．-1+7+8 2．把：写成省略加号与括号的形式是（　　） A． B． C． D． 3． 将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算： （1） (-52)-(+37)+(-19)-(-24)； （2） 题型2、有理数的加减混合运算 例2．计算：． 名师支招 有理数加减混合运算的一般步骤： 1.将减法转化为加法；2.省略括号和加号；3.运用加法交换律、结合律进行计算。 针对训练2 1． 计算：. 2．计算： （1）-9-3+5； （2）16-（-21.5）-（-14.9）+（-2.4）； （3）0-（-28）+55； （4）。 3． 计算： （1）（-1）-（-7）+（-8）； （2） 题型3、加减混合运算的简便计算 例3． 简便运算： （1）31+（-28）+28+69 （2）-4+8.4－（-4.75）+3名师支招 相反数结合 ：互为相反数的数先相加得0 同号结合 ：符号相同的数分组相加，降低出错概率 同分母结合 ：同分母分数先相加，简化分数运算。 凑整法 将小数、分数转化为整数或接近整数的形式（如 $0.5 + 0.5 = 1$），减少计算复杂度。 拆分法 带分数拆分 ：将带分数拆为整数与真分数相加 数拆分 ：将数拆为两个数之和或差便于计算 针对训练3 1．用适当的方法计算（能用简便运算的就用简便运算） （1）﹣16﹣（﹣12）﹣24+18； （2） ﹣（﹣1 ）+（﹣1 ）﹣ ； （3）|﹣1 |﹣（﹣1）﹣| ﹣1|﹣（﹣ ）. 2．（1）计算：； （2）计算． 3．计算 (1) (2) 4．用简便方法计算： (1)； (2) 题型4、有理数加减混合运算的应用 例4．自2014年至2024年（除2020年外），《熊出没》系列电影每年均安排在春节档，至今已上映了十部．下表将这十部《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房作比较： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2021 2022 2023 2024 《熊出没》的票房 2.5 2.9 5.2 6.1 7.2 6.0 10.0 15.0 20.1 动画票房冠军的票房 2.5 10.0 15.3 6.1 50.4 6.0 10.0 15.0 20.1 票房差 0 0 0 0 0 注：票房单位均为“亿元”，票房差指《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房之差． （1）上表中__________，__________，__________； （2）《熊出没》系列电影最高票房出现在哪一年？并指出《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份； （3）据统计这十部《熊出没》电影总票房为78.4亿元，求这十年动画票房冠军的总票房． 名师支招 注意事项 符号处理 ：括号前是“+”号，括号内符号不变；括号前是“-”号，括号内符号取反 分类讨论 ：实际问题需明确基准点（如警戒水位），并分类分析数据（如上升/下降天数）。 针对训练4 1．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 2．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆自行车.由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的生产量相比有出入，下表是某周的自行车生产情况(超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 +6 -2 -4 +10 -9 +10 -11 （1）根据记录求前三天共生产多少辆自行车. （2）若该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，一天中生产超过计划生产量的，每超一辆奖15元；一天中生产不足计划生产量的，每少一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少? 3． 目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下． 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第1档 不超过180度的部分 0.5 第2档 超过180度的部分 0.7 （1）若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费　 　元； （2）若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元； （3）若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？ 题型5、有理数加减混合运算的新定义问题 例5．对于有理数定义一种新运算，．例：． （1）求的值； （2）求的值． 名师支招 易错点提示 减法转化时需同时变号（如$-a-b=a+（-b）-a$）。 运算顺序遵循从左到右原则，优先处理括号内运算 针对训练5 1．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b=|a+b|-|a-b|。则2⊙(-3)的值为 (　　) A．- 4 B．4 C．- 6 D．6 2．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 3．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)÷2.如：(-1)#2#3=[|(-1-2-3)|+(-1)+2+3]÷2=5. （1）计算：3#(-2)#(-3)=　 　. （2）计算：1#(-2)#　 　 （3）在这15个数中，任取三个数作为a，b，c的值，进行“a#b#c”运算，求在所有计算结果中的最大值. 易错易混诠释 1.符号处理错误 ①减法转化为加法时符号遗漏  ②移动数时符号未同步移动  针对训练1 1．计算： (1) (2) 2、运算顺序混乱 ①未遵循加减运算原则  若式子中包含乘除法，需先计算，再处理加减法。 ②括号使用不当  括号可改变运算顺序，滥用或遗漏会导致结果错误。 针对训练2 1．计算：． 2．计算：． 3、法则应用错误 ①异号两数相加时符号判断错误 ②减法法则未正确转化  需将减法转化为加法，否则易混淆运算方向 针对训练3 1．计算： 2．计算： (1)； (2)． 创新拓展能力提升 1．阅读材料，探究规律，解答下列问题. 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*(加乘)运算.”然后他写出了一些按照*运算的运算法则进行运算的算式： (+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；(-3)*(+6)=-9； (+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7. 乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*运算的运算法则了.”聪明的你也明白了吗? （1）请你根据甲同学定义的*运算的运算法则，计算下列式子： (-2)*(-7)=　 　；(+4)*(-3)=　 　；0*(-5)=　 　. （2）我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*运算中还适用吗? 请你任选一个运算律，判断它在*运算中是否适用，并举一个例子验证. 2． 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图1).“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合.“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图2)三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字(数字不重复使用)安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等. （1） 根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将0，1，3，4，7这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； （3） 如图4， 有3个正方形， 每个正方形的顶点处都有一个“O”. 将-11， -9， -7， -5，-3， -1， 2， 4， 6， 8， 10， 12这12个数字填入恰当的位置(数字不重复使用)， 使每个正方形的4个顶点的“O”中的数的和都相等， 则 mn=　 　(注： mn=m×n) 3．近年来，网络直播行业蓬勃发展，许多人抓住这个机会，做起了“直播带货”，很多农产品也改变了原来的销售模式，进行了网上销售，刚大学毕业的小文把自家的冬枣也放到了网上，他原计划每天卖100斤，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据可知本周共卖出　 　斤； （2）若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小文本周七天一共收入多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第九讲 有理数的混合运算（解析版） 知识点梳理 知识点1 有理数加减法统一成加法 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式. 1. 把加减混合运算的算式转化为加法运算后，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号。 2. 省略括号和加号的算式有两种读法，（1）将所有数都看成加数，即相邻两个加数的加号省掉，直接读成所有数的和。（2）将两个数之间的符号看成运算符号来读，读成加或减的形式。 要点诠释： 符号一致性 ：在交换或结合过程中保持符号一致，避免符号混淆。 零的特殊性 ：任何数加0或减0仍得原数，可灵活利用0简化计算 知识点2 有理数加减混合运算 （1） 有理数加减混合运算，一般把减法统一为加法后，再写成省略加号的和式。 简化后的算式利用加法的交换律结合律进行简便运算。 要点诠释： 一、运算统一为加法 减法转加法 ：根据有理数减法法则，将减法转化为加法，将混合运算统一为加法形式。 省略符号 ：在和式中省略加号及括号。 二、符号处理规则 符号变化 ：交换加数位置时需连同符号一起交换；计算时先确定符号再计算数值。 正负数运算 ：同号相加取相同符号并绝对值相加，异号相减取绝对值较大数的符号并用较大绝对值减去较小绝对值。 三、运算顺序与法则 运算优先级 ：先算括号内运算，再算括号外；无括号时从左到右依次计算。 结合律应用 ：运用加法交换律和结合律简化计算 知识点3 有理数加减混合运算的简便运算方法 相反数结合法 互为相反数的两个数先相加 同号结合法 符号相同的数先相加 同分母结合法 分母相同(或易化成同分母)的数先相加 凑整法 几个数相加得到整数的数先相加 同形结合法 整数与整数、小数与小数先相加 拆分法 带分数相加时,可先将其拆成数与分数的和,再分别相加 典例精讲 题型1、改写成省略括号的形式 例1． 把下列各式写成省略加号的和的形式。 （1）（-3）+（-7）-（-5）； （2）9-（+11）+（-2）-（-6）。 名师支招 把运算符号看成性质符号，利用化简符号法则改写成省略加号的和式 【答案】（1）解：原式=-3-7+5 （2）解：原式=9-11-2+6 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 针对训练1 1． 将(-1)-(-7)+(-8)写成省略加号的和的形式，正确的是 (　　) A．1-7+8 B．-1+7-8 C．-1-7+8 D．-1+7+8 【答案】B 【知识点】有理数的减法法则；有理数的加、减混合运算 【解析】【解答】解：将(-1)-(-7)+(-8)写成省略加号的和的形式为-1+7-8， 故答案为：B. 【分析】利用减去一个数等于加上这个数的相反数和去括号的计算方法分析求解即可. 2．把：写成省略加号与括号的形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【解答】 ， 故答案为：D． 【分析】利用去括号的计算方法求解即可。 3． 将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算： （1） (-52)-(+37)+(-19)-(-24)； （2） 【答案】（1）解： （2）解：= 【知识点】去括号法则及应用；有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】（1）先去括号，再进行加减运算即可； （2）先去括号，再对同分母的分式作加减运算，最后作减法运算即可. 题型2、有理数的加减混合运算 例2．计算：． 名师支招 有理数加减混合运算的一般步骤： 1.将减法转化为加法；2.省略括号和加号；3.运用加法交换律、结合律进行计算。 【答案】解：原式 ． 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法转变为加法，并写成省略加号与括号的形式，进而根据有理数的加减法法则从左至右依次计算得出答案. 针对训练2 1． 计算：. 【答案】解：原式 ； 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】根据分数加法运算律，结合律即可求出答案. 2．计算： （1）-9-3+5； （2）16-（-21.5）-（-14.9）+（-2.4）； （3）0-（-28）+55； （4）。 【答案】（1）解：原式=-12+5=-7 （2）解：原式=16+21.5+14.9-2.4=52.4-2.4=50 （3）解：原式=28+55=83 （4）解：原式= 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】 本题主要考查有理数的加减混合运算.解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算的一般步骤，即先将减法转化为加法，再运用加法交换律和结合律进行简化计算. 3． 计算： （1）（-1）-（-7）+（-8）； （2） 【答案】（1）解：原式=-1+7-8=-2 （2）解：原式= 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 题型3、加减混合运算的简便计算 例3． 简便运算： （1）31+（-28）+28+69 （2）-4+8.4－（-4.75）+3名师支招 相反数结合 ：互为相反数的数先相加得0 同号结合 ：符号相同的数分组相加，降低出错概率 同分母结合 ：同分母分数先相加，简化分数运算。 凑整法 将小数、分数转化为整数或接近整数的形式（如 $0.5 + 0.5 = 1$），减少计算复杂度。 拆分法 带分数拆分 ：将带分数拆为整数与真分数相加 数拆分 ：将数拆为两个数之和或差便于计算 【答案】（1）解：31+（-28）+28+69 =31+69+[（-28）+28] =100 （2）解：-4+8.4－（-4.75）+3 =-4.25+4.75+（8.4+3.6） =12.5 【知识点】有理数的加法；有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】（1）利用加法交换律和加法结合律求解即可； （2）利用加法交换律和加法结合律求解即可. 针对训练3 1．用适当的方法计算（能用简便运算的就用简便运算） （1）﹣16﹣（﹣12）﹣24+18； （2） ﹣（﹣1 ）+（﹣1 ）﹣ ； （3）|﹣1 |﹣（﹣1）﹣| ﹣1|﹣（﹣ ）. 【答案】（1）解：﹣16﹣(12)-24+18 ＝(﹣16)+12+(﹣24)+18 ＝[(﹣16)+(﹣24)]+(12+18) ＝(﹣40)+30 ＝﹣10 （2）解： ﹣(﹣1 )+(﹣1 )﹣ ＝[ +(﹣1 )]+(1 ﹣ ) ＝(﹣1)+1 ＝ （3）解：|﹣1 |﹣(﹣1)﹣| ﹣1|﹣(﹣ ) ＝1 +1﹣ + ＝(1 + )+(1﹣ ) ＝2+ ＝2 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】（1）（2）先把减法转化为加法，然后利用加法的交换律、结合律计算即可； （3）先把减法转化为加法，并化简绝对值，然后利用加法的交换律、结合律计算即可. 2．（1）计算：； （2）计算． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再进行有理数的简便运算即可； （2）先利用减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，把相邻的一个负数和一个正数相加，进行有理数的简便运算即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．用简便方法计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）将和为整数的两个数，分别结合为一组求解； （2）先去绝对值符号和括号，再将分母相同的两个数，分别结合为一组求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型4、有理数加减混合运算的应用 例4．自2014年至2024年（除2020年外），《熊出没》系列电影每年均安排在春节档，至今已上映了十部．下表将这十部《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房作比较： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2021 2022 2023 2024 《熊出没》的票房 2.5 2.9 5.2 6.1 7.2 6.0 10.0 15.0 20.1 动画票房冠军的票房 2.5 10.0 15.3 6.1 50.4 6.0 10.0 15.0 20.1 票房差 0 0 0 0 0 注：票房单位均为“亿元”，票房差指《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房之差． （1）上表中__________，__________，__________； （2）《熊出没》系列电影最高票房出现在哪一年？并指出《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份； （3）据统计这十部《熊出没》电影总票房为78.4亿元，求这十年动画票房冠军的总票房． 名师支招 注意事项 符号处理 ：括号前是“+”号，括号内符号不变；括号前是“-”号，括号内符号取反 分类讨论 ：实际问题需明确基准点（如警戒水位），并分类分析数据（如上升/下降天数）。 【答案】（1）；；0 （2）解：由表格中的数据可知，《熊出没》系列电影最高票房出现在2024年，《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年； （3）解：亿元，∴这十年动画票房冠军的总票房为亿元 ． 【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用 【解析】【解答】（1）解：由题意得，，，， ∴； 故答案为：；；0； 【分析】（1）根据有理数的减法法则解题即可； （2）根系表格中数据解题即可； （3）运用《熊出没》电影总票房加上所有票房差的绝对值解题即可． （1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：由表格中的数据可知，《熊出没》系列电影最高票房出现在2024年，《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年； （3）解：亿元， ∴这十年动画票房冠军的总票房为亿元 ． 针对训练4 1．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】（1）解： （千米）． 答：地位于地的正东方向，距离地千米． （2）解：行车的总路程为： （千米） 应耗油量：（升） 故应补充的油量为：（升） 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还补充升油． 【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用；有理数乘法的实际应用 【解析】【分析】（1）根据题中正数、负数的实际意义，将题中所有数值相加，再根据计算所得结果为21判断B地位于A地的什么方向即可； （2）先求出这一天所行驶的总路程，再计算出这一天一共所需的油量，用这一天一共所需的油量减去油箱容量即可求出应补充的油量. 2．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆自行车.由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的生产量相比有出入，下表是某周的自行车生产情况(超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 +6 -2 -4 +10 -9 +10 -11 （1）根据记录求前三天共生产多少辆自行车. （2）若该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，一天中生产超过计划生产量的，每超一辆奖15元；一天中生产不足计划生产量的，每少一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少? 【答案】（1）解：3×100+(+6-2-4)=300(辆). 答：前三天共生产300辆自行车. （2）解：6-2-4+10-9+10-11=0(辆)， (700+0)×60+(6+10+10)×15+(-2-4-9-11)×20=41870(元). 答：该厂工人这一周的工资总额是41870元. 【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用 【解析】【分析】(1)根据记录可知，前三天生产的自行车数量为：3×100+(-6-2-4)，即可； (2)先求出超额，然后列式计算，即可. 3． 目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下． 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第1档 不超过180度的部分 0.5 第2档 超过180度的部分 0.7 （1）若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费　 　元； （2）若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元； （3）若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？ 【答案】（1）104 （2）解：当时，该户12月应交电费为元； 当时，该户12月应交电费为， ， （元）． （3）解：， ， ， ． 答：该户12月用电量为230度． 【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；有理数的加减混合运算的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系 【解析】【解答】解：（1）根据题意可知， 不超过180度的部分，电费=180×0.5=90元； 超过180度的部分，电费=（200-180）×0.7=14元； ∴ 某户12月用电量为200度，该户应交电费=90+14=104元 故答案为：104. 【分析】（1）根据电费=用电量×电价，分阶段列代数式计算，再求和即可； （2）分类讨论，根据电费=用电量×电价，分别列代数式即可； （3）用（1）的电费总价与125元作比较，判断用电量是否超过180度；再根据（2）列一元一次方程方程，即可求解. 题型5、有理数加减混合运算的新定义问题 例5．对于有理数定义一种新运算，．例：． （1）求的值； （2）求的值． 名师支招 易错点提示 减法转化时需同时变号（如$-a-b=a+（-b）-a$）。 运算顺序遵循从左到右原则，优先处理括号内运算 【答案】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】（1）根据新定义运算法则，把问题转化为绝对值的化简，结合有理数加减混合运算，即可求解； （2）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，结合有理数加减混合运算，即可求解． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 针对训练5 1．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b=|a+b|-|a-b|。则2⊙(-3)的值为 (　　) A．- 4 B．4 C．- 6 D．6 【答案】A 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【解答】解： 2⊙(-3) = |2+（-3）|-|2-（-3）| =|-1|-|5| =1-5 =-4； 故答案为：A. 【分析】根据题中新运算列式，再根据有理数加减法运算法则计算即可得出结果. 2．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：由题意得， ， 则 = ， ∴． 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】（）由进行列式，然后根据有理数的乘法和加法运算即可； （）根据新运算先求出，再求出即可； （1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， 则 ， ∴． 3．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)÷2.如：(-1)#2#3=[|(-1-2-3)|+(-1)+2+3]÷2=5. （1）计算：3#(-2)#(-3)=　 　. （2）计算：1#(-2)#　 　 （3）在这15个数中，任取三个数作为a，b，c的值，进行“a#b#c”运算，求在所有计算结果中的最大值. 【答案】（1）3 （2） （3）解：当a，b，c都大于0时，可知当只要大于0时，即可取得最大值，最大值是 当a，b，c都小于0时，可知“a#b#c”运算结果为负数； 当a，b，c不全为正数时，只要其中的两个数为和，另一个数是其他的数中的任意一数即可取得最大值，最大值是 由上可得，最大值是​​​​​​​ 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【解答】解：(1)根据题中的新定义得： 3#(-2)#( 故答案为：3. (2)根据题中的新定义得： 1#( 故答案为： 【分析】（1）根据新定义列式计算即可求出答案. （2）根据新定义列式计算即可求出答案. （3）根据题意分类讨论即可求出答案. 易错易混诠释 1.符号处理错误 ①减法转化为加法时符号遗漏  ②移动数时符号未同步移动  针对训练1 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，以及加法运算律，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】观察式子中的分数，发现有互为相反数和分母相同的分数，利用加法交换律和结合律将它们分别结合在一起，简化计算过程．本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律和结合律是解题的关键． 【详解】解：原式． 2、运算顺序混乱 ①未遵循加减运算原则  若式子中包含乘除法，需先计算，再处理加减法。 ②括号使用不当  括号可改变运算顺序，滥用或遗漏会导致结果错误。 针对训练2 1．计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】观察式子中的数，发现有分母相同的分数和小数与分数可统一形式的数，利用加法交换律和结合律将它们分别结合在一起，简化计算过程．本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律和结合律是解题的关键． 【详解】解：原式． 2．计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 3、法则应用错误 ①异号两数相加时符号判断错误 ②减法法则未正确转化  需将减法转化为加法，否则易混淆运算方向 针对训练3 1．计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，掌握运算法则，运算律和运算顺序是解题的关键． 根据加减运算法则和加法运算律即可求解． 【详解】解： 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算的运用，注意去括号时，括号前面是负号，括号内各项要变号，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再进行减法运算，最后运算加法运算，即可作答． （2）先去括号，再进行减法运算，最后运算加法运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 创新拓展能力提升 1．阅读材料，探究规律，解答下列问题. 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*(加乘)运算.”然后他写出了一些按照*运算的运算法则进行运算的算式： (+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；(-3)*(+6)=-9； (+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7. 乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*运算的运算法则了.”聪明的你也明白了吗? （1）请你根据甲同学定义的*运算的运算法则，计算下列式子： (-2)*(-7)=　 　；(+4)*(-3)=　 　；0*(-5)=　 　. （2）我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*运算中还适用吗? 请你任选一个运算律，判断它在*运算中是否适用，并举一个例子验证. 【答案】（1）9；—7；5 （2）“交换律”仍然适用， “结合律”不适用， 例：（﹣2）*（﹣7）＝+9，（﹣7）*（﹣2）＝+9， 所以（﹣2）*（﹣7）＝（﹣7）*（﹣2）， （﹣2）*（﹣7）*0=9*0=9，（﹣2）*[（﹣7）*0]=(-2)*7=-9 ∴满足有理数的加法交换律，不满足结合律.- 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【解答】解：（1）（﹣2）*（﹣7）＝+9，（+4）*（﹣3）＝﹣7，0*（﹣5）＝5， 故答案为：+9，﹣7，5； 【分析】（1）根据已知算式得出规律：两数进行*（加乘）运算时，同号为正，并把绝对值相加，异号为负，并把绝对值相加；0和任何数进行*（加乘）运算，结果是这个数的绝对值，根据得出的规律得出答案即可； （2）举例后根据得出的规律进行计算，再根据求出的结果得出答案即可． 2． 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图1).“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合.“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图2)三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字(数字不重复使用)安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等. （1） 根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将0，1，3，4，7这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； （3） 如图4， 有3个正方形， 每个正方形的顶点处都有一个“O”. 将-11， -9， -7， -5，-3， -1， 2， 4， 6， 8， 10， 12这12个数字填入恰当的位置(数字不重复使用)， 使每个正方形的4个顶点的“O”中的数的和都相等， 则 mn=　 　(注： mn=m×n) 【答案】（1）解： 每行、列和对角线上的数字之和都相等， ， 第三行第三列上的数字为： ； 第一行第二列上的数字为： ； 第一行第一列上的数字为： ； 第二行第一列上的数字为： ； 第二行第三列上的数字为： ； 补充三阶幻方如图 2， （2） 新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为： ， 第一行第一列上的数字为： ； 第二行第二列上的数字为： ； 第二行第三列上的数字为： ； 第三行第三列上的数字为： ， 补充三阶幻方如图 3： （3）-10或11 【知识点】有理数的减法法则；探索规律-等式类规律 【解析】【解答】解：（3）∵每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和为：（−11−9−7−5−3−1＋2＋4＋6＋8＋10＋12）÷3＝2， ∴−3＋2＋4＋m＝2，8＋h−5−7＝2，p＋n＋12−9＝2， 解得：m＝−1，h＝6，n＝10或−11， ∴mn＝−10或11， 故答案为：−10或11． 【分析】（1）先求出每行、列和对角线上的数字之和，再分别求出三阶幻方内的其他数字即可； （2）先求出新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和，再分别求出三阶幻方内的其他数字即可； （3）先求出每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和，再求出m、n的值，进而即可求出mn的值. 3．近年来，网络直播行业蓬勃发展，许多人抓住这个机会，做起了“直播带货”，很多农产品也改变了原来的销售模式，进行了网上销售，刚大学毕业的小文把自家的冬枣也放到了网上，他原计划每天卖100斤，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据可知本周共卖出　 　斤； （2）若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小文本周七天一共收入多少元？ 【答案】（1）727 （2）解：由（1）可知本周七天一共卖出冬枣的数量为727斤， 收入：（元）， 答：小文本周七天一共收入3635元． 【知识点】有理数的加、减混合运算；正数、负数的实际应用；有理数乘法的实际应用 【解析】【解答】解：本周共卖出的数量为：（斤）， 故答案为：727； 【分析】（1）根据题意，结合有理数的加减运算法则，求得本周卖出的数量，即可得到答案； （2）根据题意，结合总收入卖出冬枣所得收入运费，据此即可求解． （1）解：本周共卖出的数量为：（斤）， 故答案为：727； （2）由（1）可知本周七天一共卖出冬枣的数量为727斤， 收入：（元）， 答：小文本周七天一共收入3635元． 学科网（北京）股份有限公司 $$