专题04 用空间向量研究直线、平面的平行和垂直专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《阶梯册》考点训练

专题04 用空间向量研究直线、平面的平行和垂直 知识点一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点二、平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点三、空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点四、空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 考点01平面的法向量及其求法 1．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（   ） A．圆 B．平面 C．直线 D．线段 2．已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 3．平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 4．已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 考点02利用向量方法证明线线平行 5．已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知空间中两条不同的直线，，其方向向量分别为，，则“，共线”是“直线，平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知正方体中，E为的中点，求证：直线与直线不平行. 8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 考点03利用向量方法证明线面平行 9．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 10．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 11．在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为 . 12．已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .    13．如图，已知正方体，动点和分别在线段和线段上（不包括端点），且，求证：平面． 14．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 考点04利用向量方法证明面面平行 15．已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 16．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 17．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19．如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB． 考点05利用向量方法证明线线垂直 20．已知平面过点，，三点.直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是 . 21．在正方体中，、分别是、的中点，则直线与的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．异面但不垂直 22．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明：．    23．如图1，已知是上，下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图2． 证明：. 24．如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：. 考点06利用向量方法证明线面垂直 25．已知点，平面，其中法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 26．若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 27．（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 28．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 29．如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.问：在线段上是否存在一个定点，使得对任意的在平面上的射影垂直于？证明你的结论. 30．如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 考点07利用向量方法证明面面垂直 31．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 32．如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 33．如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ． (1)求证：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC． 34．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，为等边三角形，，F为CD的靠近C的四等分点． （1）求证：AF∥平面BCE； （2）请问：平面BCE与平面CDE是否互相垂直？请证明你的结论． 35．如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，CDAB，且PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为E． (1)证明：平面PBD平面PBC； (2)在线段BD上是否存在一点F，使得EF平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 易错01 证明线面平行、垂直易混淆向量证法 1．如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 2．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 刷基础 1．①零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； ②若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； ③在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量； ④若直线平面，则直线的方向向量垂直于平面的法向量． 以上四个命题中，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 3．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 5．在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 6．在正三棱柱 中，，点满足，其中，对于下列两个命题：①当时，有且仅有一个点，使得；②当时，有且仅有一个点，使得⊥平面，以下判断正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①为假命题，②为假命题； 7．已知空间直线的方向向量是，平面的法向量．若，则 ；若，则 ． 8．已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 9．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 10．如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 11．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 12．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 刷能力 1．（多选）如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列命题中正确的是（    ） A．存在点，使得为直角 B．对于任意点，都有直线平面 C．对于任意点，都有平面平面 D．三棱锥的体积为定值 2．（多选）在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（    ） A．当时， B．当时， C．存在，使得 D．存在，使得平面 3．如图，正方体的棱长为1，点分别在线段上，且满足平面，则线段长度的取值范围为 . 4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ． 5．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 6．如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. (1)若，证明：； (2)若，，求长度的取值范围. 7．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 8．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 刷期中期末真题 1．（2024·25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·25高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·25高二上·福建泉州·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·25高二上·山东·阶段练习）如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·25高二上·云南昭通·期中）（多选）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（    ） A． B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面垂直 D．当三棱锥的体积最大时， 6．（2024·25高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 7．（2024·25高二上·北京·期中）如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直.P为棱AB上的动点，DQ⊥平面EPC，Q为垂足.给出下列四个结论： ①EQ=CQ； ②线段DQ的长随线段BP的长减小而增大； ③存在点P，使得PQ平面EDA； ④存在点P，使得. 其中所有正确结论的序号是 . 8．（2024·25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 用空间向量研究直线、平面的平行和垂直 知识点一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点二、平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点三、空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点四、空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 考点01平面的法向量及其求法 1．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（   ） A．圆 B．平面 C．直线 D．线段 【答案】B 【详解】因为是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件, 所以点构成的图形是经过点，且以为法向量的平面. 故选：B 2．已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 3．平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 4．已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 考点02利用向量方法证明线线平行 5．已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 6．已知空间中两条不同的直线，，其方向向量分别为，，则“，共线”是“直线，平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若直线的方向向量，共线，则两直线平行或重合， 又因为直线，是空间中两条不同的直线，所以两直线，平行，即“，共线”是“直线，平行”的充分条件； 若直线，平行，则，共线，即“，共线”是“直线，平行”的必要条件； 综上，“，共线”是“直线，平行”的充分必要条件. 故选：C 7．已知正方体中，E为的中点，求证：直线与直线不平行. 【答案】证明见解析 【详解】证明：以D为原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.    则， 所以. 又因为，所以与不平行. 因为为直线的一个方向向量，为直线的一个方向向量， 当时，必有. 因此由上可知直线与直线不平行. 8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【答案】证明见解析 【详解】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， ∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)， 则即取=(1，1，-1). 易知， ∴， ∴， 即PQ∥BD1. 【点睛】本题主要考查了空间向量垂直关系的坐标运算，向量平行的坐标表示，属于中档题. 考点03利用向量方法证明线面平行 9．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 【答案】 【详解】直线的一个方向向量 平面的一个法向量，且， 所以 解得. 故答案为： 10．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 11．在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】 根据正方体可以所在直线分别轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， ， 设平面的法向量为，则，取， 因为平面，故，故即，故 设三棱锥外接球的球心坐标为，由得： ，整理得：， 故，故外接球半径为 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 12．已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .    【答案】 【详解】以D为顶点，DA、DC、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，   , 线段EF满足，     设，，， 设平面的法向量为， ，， ，令得，则， 因为平面， 所以，， 因为点Q在线段EF上，所以，，所表示的范围为多边形，其中，面积为，    所以区域的面积最大值是. 故答案为： 13．如图，已知正方体，动点和分别在线段和线段上（不包括端点），且，求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】法一（向量法）：设，则，， 因为， ①②得， 所以，则，，共面， 又平面，，平面，即平面； 法二（坐标法）：以为原点，，，分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则，， ，则，， ， 平面的法向量可以是， 因为，平面，所以平面． 14．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 考点04利用向量方法证明面面平行 15．已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】，故， 故，解得. 故选：A 16．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】/ 【详解】根据题意，若，则，又，， 所以，解得，所以. 故答案为：. 17．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析. 【详解】（1）如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. （2）由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 19．如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB． 【答案】证明见解析 【详解】因为为正方形，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即， 又因为平面∥平面QBC，∥， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即，    如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，即，所以∥， 且平面，平面，所以∥平面， 又因为∥，平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面QAB． 考点05利用向量方法证明线线垂直 20．已知平面过点，，三点.直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】易知， 可设平面的一个法向量为， 可得，令，可得； 所以； 因为直线与平面垂直，所以直线的一个方向向量与共线， 所以直线的一个方向向量的坐标可以是. 故答案为：（答案不唯一） 21．在正方体中，、分别是、的中点，则直线与的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．异面但不垂直 【答案】A 【详解】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，． 因为，所以． 故选：A. 22．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明：．    【答案】证明见解析 【详解】如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    ∵，，点为棱的中点， ∴，，，，， ∵，， ∴，即，∴． 23．如图1，已知是上，下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图2． 证明：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：由题设知，． 是所折成的直二面角的平面角，即． 故可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，， ∴，∴， ． 24．如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：由题意，该棱台是正四棱台. 连接交于，以所在直线为轴，经过且垂直于平面的直线为轴，交上底面于，连接，建立空间直角坐标系如图. 根据正四棱台的性质，过作底面的垂线，则垂足在上. 由题意得，为上底面正方形对角线长的一半， 显然，故，又， 则，故. 于是，， 则，所以. 考点06利用向量方法证明线面垂直 25．已知点，平面，其中法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A，若，则，． B，若，则，． C，若，则，． D，若，则，． 一题多解    多方法解题 设，则，若点在平面内， 则，则． 依次验证A，B，C，D中的坐标知，只有B选项中的坐标满足（即）． 故选：B. 26．若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线平面， ，又易知，， ， 解得，，则. 故选：A. 27．（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 28．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为 则 令，得,所以， 设，则，又平面，则， 所以，解得，，所以. 故答案为：. 29．如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.问：在线段上是否存在一个定点，使得对任意的在平面上的射影垂直于？证明你的结论. 【答案】存在，证明见解析 【详解】法一：点运动形成平面，即对角面，且平面， 所以只需平面，即有， 若为的中点，则，又平面，平面， 所以，而，平面， 即平面，在平面上的射影为， 由三垂线定理知，必有，故为的中点. 法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 若在上存在这样的点满足题意，设. 依题意，对任意的要使在平面上的射影垂直于， 即，等价于，解得. 当为的中点时，对任意的在平面上的射影垂直于. 30．如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 考点07利用向量方法证明面面垂直 31．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，，得. 故选：C 32．如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 33．如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ． (1)求证：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示； 则 ， 故，， ∴， ∴⊥，即 ； （2）证明：因为 平面ABC，平面ABC，所以, 因为 ，故 ，∵M为AP上一点，且 ， ∴M(0,，)，∴(0,,)， (-4,,)，(4,,)； 设平面BMC的法向量为， 则 ，即， 令 ，则； 设平面AMC的法向量为，则 ， 即，令 ，则； 由于， 得⊥，即平面AMC⊥平面BMC． 34．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，为等边三角形，，F为CD的靠近C的四等分点． （1）求证：AF∥平面BCE； （2）请问：平面BCE与平面CDE是否互相垂直？请证明你的结论． 【答案】（1）详见解析；（2）平面BCE与平面CDE不垂直，证明见解析. 【详解】（1）方法一：在上取一点使，连接， 因为F为CD的靠近C的四等分点． 所以∥，， 因为平面ACD，平面ACD， 所以∥， 所以∥， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面； 方法二：设． 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 则，， ∵F为CD的靠近C的四等分点， ， ． 又， ∴，平面BCE， ∴AF//平面BCE． （2）平面BCE与平面CDE不垂直．证明如下： ，取CD中点T， 易得， 所以， ∴， ∴， ∴平面， 若存在，使， 则，方程组无解， 所以不存在，使共面， 即平面BCE不垂直于平面CDE． 35．如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，CDAB，且PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为E． (1)证明：平面PBD平面PBC； (2)在线段BD上是否存在一点F，使得EF平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)这样的点F存在，为线段BD上靠近点D的一个四等分点 【详解】（1）易得， 所以直二面角的平面角为∠PDA＝90°， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以PD平面ABCD，因为平面ABCD，所以PDBC， 又在平面四边形ABCP中，由已知数据可得，，且， 所以BDBC，而PDBD＝D，PD，BD平面PBD， 故BC平面PBD， 因为BC平面PBC，所以平面PBD平面PBC； （2）假设线段BD上存在一点F，使得EF平面PBC， 则由（1）的分析易知，PDDA，PDDC，DCDA，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示． 所以A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)，则PB的中点E(1，1，1)， 因为点F在线段BD上，所以，所以， 则， 又，设平面PBC的法向量为， 所以令则，所以， 因为EF平面PBC，所以，所以，解得， 所以线段BD上存在一点F，使得EF平面PBC，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点 易错01 证明线面平行、垂直易混淆向量证法 1．如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，连接交于点，连接. 根据题意可知该四棱锥为正四棱锥，平面，平面，. 又四边形为正方形，. 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，. ，，，，， ，，由平面，知为平面的一个法向量. 又，且不在平面，平面. 2．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 刷基础 1．①零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； ②若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； ③在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量； ④若直线平面，则直线的方向向量垂直于平面的法向量． 以上四个命题中，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量，①正确； 当时，是零向量，不是直线的方向向量，②错误； 由坐标平面与轴垂直，故是该平面的一个法向量，③正确； 若直线平面，结合法向量的定义，直线的方向向量平行于平面的法向量，④错误． 故选：B 2．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【详解】因为是平面的一个法向量， 点在平面内，所以， 所以. 由条件得， 所以，解得. 故选：D 3．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为不重合， 所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，A错误． B，由法向量与方向向量的定义易知或，B错误． C，由于，为平面的法向量，所以，C错误． D，由法向量与平面的位置关系可得，D正确． 故选：D 4．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由可得，故，故，，故. 故选：A 5．在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 【答案】D 【详解】因为，， 所以平面的法向量为， 由题意可知，则，说明与不垂直. 由，说明与不平行，与既不垂直也不平行， 所以直线与平面相交但不垂直， 故选：D. 6．在正三棱柱 中，，点满足，其中，对于下列两个命题：①当时，有且仅有一个点，使得；②当时，有且仅有一个点，使得⊥平面，以下判断正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①为假命题，②为假命题； 【答案】C 【详解】分别取的中点，连接; 由正三棱柱的性质可知，两两垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ; ; 当时，，, 若，则，解得或. 当时，点即为点，当时，点即为点， 即存在两个点使得，①不正确. 当时，，,, 若⊥平面，则,,解得. 即有且仅有一个点，使得⊥平面，②正确. 故选：C 7．已知空间直线的方向向量是，平面的法向量．若，则 ；若，则 ． 【答案】 2 【详解】由是直线的方向向量，是平面的法向量， 若，则，即，解得，则， 若，则，即，解得. 故答案为：2， 8．已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以或． 因为，所以． 故答案为：． 9．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 10．如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 11．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 12．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 刷能力 1．（多选）如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列命题中正确的是（    ） A．存在点，使得为直角 B．对于任意点，都有直线平面 C．对于任意点，都有平面平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】CD 【详解】对于A，易知 ， 故与不垂直，故A错误；     对于B，连接，则平面平面， 若平面，且平面，则， 显然仅当和为所在棱中点时与才平行，故B错误； 对于C，连接，，，、，， 由平面，平面，得， 由为正方形，易知， 因为，平面，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 平面，又平面， 平面平面，故C正确； 对于D， ，平面，平面，平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 三棱锥的体积为定值，故D正确． 故选：CD． 2．（多选）在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（    ） A．当时， B．当时， C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】AD 【详解】取的中点，建立如图所示空间直角坐标系： 设底面边长为2， 则， 所以，所以， A. 当时，，，，所以，故A正确； B. 当时，，，，所以不成立，故B错误； C.，，故C错误； D. 因为，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 使得平面，所以，所以，，符合，故D正确； 故选：AD. 3．如图，正方体的棱长为1，点分别在线段上，且满足平面，则线段长度的取值范围为 . 【答案】. 【详解】如图，当时，此时延长交于点， 由于，故，所以为的中点， 同理可知的延长线交于点， 故，又平面，平面， 所以平面，且，此时为最小值， 此时可证恰为异面直线的公垂线， 证明如下：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 故，， 则，， 所以，恰为异面直线的公垂线； 如图，当点分别无限趋向于点时，越大， 由于要平行于对角面，    故取不到，从而. 故答案为： 4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】/ 【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得． 设，则． 因为平面，所以，则，解得，， 所以，，故． 故答案为： 5．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1） 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以．                     因为是正三角形，D是中点，所以．                     又，，平面，所以平面． （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以．             由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以．             设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2．                 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，．             设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得．                 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 6．如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. (1)若，证明：； (2)若，，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【详解】（1）设平面平面， 平面平面，平面， 又平面，平面平面，， ，， 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面， 即. （2）在中由余弦定理可得，则有, 即. 又 以点为原点，以，平面的垂线所在直线分别为轴，建立如图坐标系，则， 设，则, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 同理可求平面的一个法向量为， 由于平面平面，则，故则. 又，， ，解得或. 若，则; 若，则. 综上所述，长度的取值范围. 7．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 8．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 刷期中期末真题 1．（2024·25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 2．（2024·25高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且底面是以为斜边的等腰直角三角形， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，    由题意可得，，，，， 所以，，，，， 所以，， ，， 所以， 故选：B 3．（2024·25高二上·福建泉州·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点，则， 平面的法向量为，， 所以该平面的方程为. 故选：B 4．（2024·25高二上·山东·阶段练习）如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. 设平面的法向量为， 则，即 令，可得. 设，则. 因为直线与平面没有公共点，所以平面，则， 所以，即. 当时，取得最小值，最小值为 故选：D 5．（2024·25高二上·云南昭通·期中）（多选）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（    ） A． B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面垂直 D．当三棱锥的体积最大时， 【答案】BD 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，， ，过点作于点，连接， 则，， 则， 显然，与ME不一定相等，选项A错误； 对于B，因为，， 所以， 则，故， 所以当时取得最小值，最小值为，故B正确； 对于C：由，平面的法向量为，， ，平面，始终与平面平行，故C错误； 对于D：因为平面平面， 平面平面平面，，所以平面， 由，共面，得，而，则， 所以，即三棱锥的高为， ，则， 则当时，，故D正确. 故选：BD. 6．（2024·25高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 【答案】 【详解】由可得，， 所以可得，即， 故答案为：. 7．（2024·25高二上·北京·期中）如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直.P为棱AB上的动点，DQ⊥平面EPC，Q为垂足.给出下列四个结论： ①EQ=CQ； ②线段DQ的长随线段BP的长减小而增大； ③存在点P，使得PQ平面EDA； ④存在点P，使得. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【详解】由题意，以点D为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，令AB=1， 设，则， ， 设平面EPC的一个法向量为， 则有，取y=1，可得， 由DQ⊥平面EPC于Q，得， 即，则， 显然，解得， 于是， 对于①，，故①正确； 对于②，在[0，1]上单调递增， 当线段BP的长减小时，t增大，此时|DQ|随之增大，故②正确； 对于③，平面EDA的一个法向量为， 而， 由，得λ=t，即， 整理得，令 显然函数在上的图象连续不断， 而 因此存在使得， 此时PQ⊄平面EDA，因此存在点P，使得PQ平面EDA，故③正确； 对于④，， 则， 若， 显然 即不存在，使得，④错误； 所以所有正确结论的序号是①②③. 故答案为：①②③. 8．（2024·25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$