第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二

第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 【即学即练1】（2024高三·全国·专题练习）已知点，，，求平面的一个法向量的坐标． 【答案】（答案不唯一） 【分析】待定系数法，设出法向量坐标后，利用垂直关系建立方程组，对赋值即可求解. 【详解】由已知可得，． 设是平面ABC的一个法向量， 则即 不妨取，得． ∴平面ABC的一个法向量的坐标为（答案不唯一）. 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【即学即练2】（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量法计算法向量及方向向量垂直得出线面平行即可. 【详解】因为， 所以，所以或． 因为，所以． 故答案为：． 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【即学即练3】（24-25高二上·重庆·期末）已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据法向量定义得到，进而得到，得到方程，求出答案. 【详解】，故， 故，解得. 故选：A 第三部分 题型精讲 题型01平面的法向量及其求法 【典例1】（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）在空间直角坐标系中，过，，三点的平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量的定义可列式计算，，从而可解． 【详解】，， ，， 设平面的一个法向量是，则， 取，则，故， 只要与共线的向量，均是平面的一个法向量，由于与共线， 故是平面的一个法向量， 故选：C 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知向量、是平面内的两个不共线的向量，，，求平面的一个法向量的坐标． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设法向量，由且，利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】设平面的一个法向量，则， 令，则，故， 所以平面的一个法向量（答案不唯一）. 【变式1】（2025·江西新余·模拟预测）在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，为平面的法向量，由面面垂直的性质定理得，列式求出得解. 【详解】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知，写出平面的一个法向量 . 【答案】（答案不唯一，与共线的非零向量） 【分析】设出向量的坐标，再利用平面法向量的意义列式计算即得. 【详解】设，则， 故，取，得， 所以平面的一个法向量. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·直辖县级单位·阶段练习）平面上三个点写出平面的一个法向量为 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据平面的法向量的定义计算即得. 【详解】由则， 设平面的法向量为，则由,可取. 故答案为：. 题型02利用向量方法证明线线平行 【典例1】1．（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证. 【详解】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【典例2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【答案】证明见解析 【分析】利用空间直角坐标系，由正四棱柱的各棱长分别表示出向量与，根据向量共线定理即可证明. 【详解】根据正四棱柱性质可知，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以， 可得，即向量与共线， 又不在同一条直线上， 所以. 【变式1】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有， ， ， ， 所以，，则有，所以. 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知在正四棱柱中，,，点E为的中点，点F为的中点． (1)求证：且； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明（1）和（2）. 【详解】（1）在正四棱柱中，可以建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． （1）由，，， 得且， 所以且． （2），由于，显然，故． 题型03利用向量方法证明线面平行 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，证明，再用线面平行的定理证明即可. 【详解】底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD， 故，，两两垂直. 以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 在四棱台中，，，P为AB的中点， 故, 则, 所以，即， 且平面，平面， 故平面. 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】结合图形特点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，分别求出相关点和向量的坐标，利用与平面的法向量共线证明平面. 【详解】 如图,以点为原点，分别以， ，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 设 ，则 ，过 P 作平面，垂足为点， 则点是正方形的中心，则 于是，则 设平面法向量为， 又，则， 因，故可取 由，可得， 又平面，故平面. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，向量法证明，由线面平行的判定定理可证得平面. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为，由不在一条直线上， 所以， 又平面，平面， 所以平面． 【变式3】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点. (1)求直线的一个方向向量； (2)证明：平面. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据空间点的坐标即可得向量坐标，进而根据方向向量的定义即可求解， （2）根据平面法向量和直线方向向量垂直，即可求值. 【详解】（1）， 因此,则直线的一个方向向量为， （2）平面， 平面,则 ， 又因为,,平面,故平面， 因此取平面的法向量为， 由于则，而平面，因此//平面. 题型04利用向量方法证明面面平行 【典例1】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC． 【答案】证明过程见详解 【分析】根据题意得到AB，AP，AD两两垂直，从而以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，求得，，，，从而即可确定平面EFG的法向量，平面PBC的法向量，进而即可证明平面EFG∥平面PBC． 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 【典例2】（2024高二·全国·专题练习）如图，已知为空间的个点，且，，，，，，． (1)求证：四点共面，四点共面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由和，分别得到，，共面和，，共面，即可得证； （2）连接，，化简得到，证得，利用线面平行的判定定理，证得平面，再由，证得，从而证得平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面． 【详解】（1）解：因为，且， 所以向量，，共面，即四点共面． 又因为，且， 所以，，共面，即，，，四点共面． （2）解：连接，，如图所示， 可得 ，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为与相交，所以平面平面． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）在三棱锥中，平面平面，，，为线段的中点，点，，分别在线段，，上，且，.若，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求点的坐标； (2)用向量法证明平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，由求解； （2）根据，，得到，再根据，得到，然后利用线面平行和面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 设， 则，，. 又，即， 所以，，所以点的坐标为. （2）因为，， 所以，，， 又， 所以， 所以，即. 又平面，平面， 所以平面. 同理可证平面， 因为， 所以平面平面. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，为的中点. 【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，设点的坐标，结合面面平行的向量证明方法，即可求解. 【详解】当为的中点时，平面平面． 证明如下：设符合题意．连接，，． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴平面的一个法向量为． 若平面平面，则也是平面的一个法向量． ∵， ∴，∴， 又， ∴当为的中点时，平面平面． 题型05利用向量方法证明线线垂直 【典例1】（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，. (1)用向量，，表示向量，并求向量的模； (2)证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的线性运算以及模长公式计算即可； （2）将也用，，表达出来，再根据向量垂直判定定理即可求解. 【详解】（1）在平行六面体， 可得, 所以， 因为， 所以 ； （2）由（1）知，， 则 ， 根据向量垂直判定定理可知，所以. 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点．试用向量的方法证明： (1)； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用可得. （2）表示，计算平面的法向量，利用可得平面． 【详解】（1） 如图，以为原点，建立空间直角坐标系. 设，则，，，， ∴，， ∴，∴． （2）由（1）得，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，令则， ∴， ∵ 平面，∴平面． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，， 证明：. 【答案】证明见解析 【分析】方法一：几何法，根据线面垂直的判定定理和性质定理证明；方法二：空间向量法，利用向量垂直的坐标表示证明；方法三：利用向量的四则运算和数量积的运算律证明. 【详解】方法一：几何法 因为，，所以， 又因为，，所以平面， 又因为，构造正方体，如图所示， 过作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为分别为和的中点，所以是的中点， 由于，故≌，则, 又因为，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. 方法二：空间向量法 因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面， 所以， 因为，，所以， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 所以，， 由题设（）， 因为， 所以，所以，则. 方法三：利用向量四则运算和数量积的运算律求解 因为，，所以， 故，， 所以 ， 所以，则． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明底面，建立空间直角坐标系，计算得证； （2）取PA的中点M，连接DM，利用向量法先证明平面，从而可得面面垂直. 【详解】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系. (1)求的坐标及的长； (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】（1）根据坐标系标点，即可得向量坐标和模长； （2）由（1）求，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 则，可得， 所以的长为. （2）由（1）可得：， 因为，所以. 题型06利用向量方法证明线面垂直 【典例1】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 【典例2】（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案； （2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明. 【详解】（1）， 可得 所以； （2），，， 所以 ， 所以，所以， ， 所以，所以，又，平面， 所以平面. 【变式1】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，表示各点坐标，求两个平面的法向量，利用法向量平行可证平面平行. （2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量平行可得线面垂直. 【详解】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 【变式3】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，. (1)请以、为基底表示，并证明. (2)求证平面. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）平面中：延长到，使；延长到，使，可得点为的重心，利用向量的运算可用、表示，利用数量积运算可证明； （2）由条件可证得平面，得；利用向量的运算求得，，进而得，利用勾股定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得结论． 【详解】（1）如图： 平面中：延长到，使；延长到，使. 因为，所以， 所以点为的重心. 所以 ， 所以. 又因为， 即. 因为 . 所以. （2）如图： 因为平面，平面，所以； 又，，平面，，所以平面， 又平面，所以. 又因为， 所以， 所以； 在中，，，所以. 又， 所以， 所以. 在中，，，所以. 在中，，，， 因为，所以. 又，平面，，所以平面. 题型07利用向量方法证明面面垂直 【典例1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【典例2】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【分析】（1）连接交于点，可得平面，再利用线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，根据面面垂直列式求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 【变式1】（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据正四棱柱，可得平面，设，结合线面关系确定四棱锥的体积表达式求解，即可得所求； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据法向量的关系证明结论即可. 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，，所以以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，即可求解； （2）通过证明平面与平面的法向量的数量积为，即可证明. 【详解】（1）在直三棱柱中，， 又平面， 所以平面，因此两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以， 所以． （2）由（1）知， ， 设平面BEA的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则； ，即 令，则，所以， 所以平面平面． 【变式3】（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过平面可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二下·江苏常州·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出给定向量的数量积，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 3．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数等于（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题意由解方程即可求得. 【详解】由题意可得：， 即， 解得. 故选：B 4．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量垂直，即可根据数量积的坐标运算求解. 【详解】由于，则，解得， 故选：C 5．（25-26高二·江苏·假期作业）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面的法向量和直线的方向向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则，即充分性成立； 由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则或，即必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 7．（多选）（24-25高二上·河南焦作·期末）已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分别把每个选项的点与点确定的向量与法向量求数量积，进而判断各点是否在平面内. 【详解】对于A，设，则，因为， 所以点在平面内，故A正确； 对于B，设，则，因为， 所以点，2）不在平面内，故B错误； 对于C，设，则， 因为， 所以点不在平面内，故C错误； 对于D，设，则， 因为， 所以点在平面内，故D正确. 故选：AD. 8．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【分析】由有，即，进而得解出即可. 【详解】由有，即，即， 故答案为：. 9．（24-25高二上·广东广州·开学考试）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算即可； （2）以为原点建系，计算的坐标，再计算，即可通过即可计算面积； （3）设平面的法向量为，根据即可求出. 【详解】（1）因点分别是的中点， 则，， 则. （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 得，则， 则， 故的面积为. （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为.    10．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 11．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【详解】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 12．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. B能力提升 1．（2025·吉林长春·模拟预测）结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 3．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，由得，即，利用二次函数即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，，则，，， ，， ，， 即，所以， 当时，所以，所以.    故答案为：. 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为 . 【答案】 【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得轨迹方程，进而可得轨迹长度. 【详解】以为坐标原点，分别为，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，则， 整理可得，即点的轨迹方程为， 令，则；令，则； 可知点的轨迹即为点与两点之间的线段， 所以轨迹长度为. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形的边长，结合勾股定理可建立空间直角坐标系，理由向量证明线面垂直即可求证， 【详解】如图， 由可得， 由于，故， 又，故， 可得： 故，故， 结合底面为矩形，故， 故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ，， 由， 又， 两式联立解得：， 所以 则， 故， 因此平面， 故平面， 平面， 故 6．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 【即学即练1】（2024高三·全国·专题练习）已知点，，，求平面的一个法向量的坐标． 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【即学即练2】（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【即学即练3】（24-25高二上·重庆·期末）已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 第三部分 题型精讲 题型01平面的法向量及其求法 【典例1】（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）在空间直角坐标系中，过，，三点的平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知向量、是平面内的两个不共线的向量，，，求平面的一个法向量的坐标． 【变式1】（2025·江西新余·模拟预测）在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知，写出平面的一个法向量 . 【变式3】（24-25高二上·直辖县级单位·阶段练习）平面上三个点写出平面的一个法向量为 . 题型02利用向量方法证明线线平行 【典例1】1．（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【典例2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【变式1】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知在正四棱柱中，,，点E为的中点，点F为的中点． (1)求证：且； (2)求证：． 题型03利用向量方法证明线面平行 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.求证：平面； 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.求证：平面. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 【变式3】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点. (1)求直线的一个方向向量； (2)证明：平面. 题型04利用向量方法证明面面平行 【典例1】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC． 【典例2】（2024高二·全国·专题练习）如图，已知为空间的个点，且，，，，，，． (1)求证：四点共面，四点共面； (2)求证：平面平面； 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）在三棱锥中，平面平面，，，为线段的中点，点，，分别在线段，，上，且，.若，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求点的坐标； (2)用向量法证明平面平面. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 题型05利用向量方法证明线线垂直 【典例1】（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，. (1)用向量，，表示向量，并求向量的模； (2)证明：. 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点．试用向量的方法证明： (1)； (2)平面． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，， 证明：. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系. (1)求的坐标及的长； (2)求证：. 题型06利用向量方法证明线面垂直 【典例1】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【典例2】（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 【变式1】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【变式3】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，. (1)请以、为基底表示，并证明. (2)求证平面. 题型07利用向量方法证明面面垂直 【典例1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【典例2】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【变式1】（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【变式3】（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二下·江苏常州·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 3．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数等于（    ） A． B． C．3 D． 4．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 5．（25-26高二·江苏·假期作业）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选）（24-25高二上·河南焦作·期末）已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 9．（24-25高二上·广东广州·开学考试）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 10．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 11．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 12．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. B能力提升 1．（2025·吉林长春·模拟预测）结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 3．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为 . 5．（2025高三·全国·专题练习）在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 6．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$