1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系分层训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 层级(一)　“四基”落实练 1．若直线l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量 μ＝(2，－3,0)，则直线l与平面α的位置关系是(　　 ) A．l∥α B．l⊥α C．直线l与平面α相交但不垂直 D．无法确定 解析：选B　∵μ＝a，∴μ∥a，∴l⊥α. 2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为 u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　) A．3　　　　　　　　 B．6 C．－9 D．9 解析：选C　∵l⊥α，v与平面α平行， ∴u⊥v，即u·v＝0， ∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0， ∴z＝－9. 3．(多选)平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0，0,2)，则平面α的法向量可以是(　　) A．(－1,1,0) B．(1,0,1) C．(－2,2,0) D．(0,2,2) 解析：选AC　平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，则＝(2,2,0)，＝(0,0,2)． 设平面α的法向量n＝(x，y，z)， 则 取x＝－1，得n＝(－1,1,0)， 又因为(－2,2,0)＝2(－1,1,0)， 故可以作平面α的法向量的是A、C. 4．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)，那么以下结论正确的是(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 解析：选ABC　对于A，因为·＝－2－2＋4＝0，所以⊥，所以AP⊥AB，故正确；对于B，因为·＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，所以AP⊥AD，故正确；对于C，因为AP⊥AB，AP⊥AD，且AB∩AD＝A，所以是平面ABCD的一个法向量，故正确；对于D，易得＝－＝(2,3,4)，假设存在实数λ，使得＝λ，则故选A、B、C. 5.如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析：选B　建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E，F，＝，＝(－1，－1,1)＝－3. ∵·＝0，·＝0， ∴EF⊥A1D，EF⊥AC，EF∥BD1. 6．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________． 解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y.∵＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， ∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1) ＝(x，y，－x－y)，∴∴m＝－3. 答案：－3 7.如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设AB＝a，点P坐标为(0,0，b)，则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E，＝(a,0,1)，＝，＝(0，－1，b)， ∵DP∥平面B1AE， ∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ， 即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ ＝. ∴∴b＝λ＝，即AP＝. 答案： 8.如图，已知多面体ABC -A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.求证：AB1⊥平面A1B1C1. 证明：如图所示，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知， A(0，－，0)，A1(0，－，4)，B1(1,0,2)，C1(0，，1)，则＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3)．由·＝0，得AB1⊥A1B1.由·＝0，得AB1⊥A1C1.又因为A1B1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1B1C1. 层级(二)　“能力”提升练 1．(多选)已知直线l过点P(1,0，－1)，且与向量a＝(2,1,1)平行，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是(　　) A．(1，－4,2) B. C. D．(0，－1,1) 解析：选ABC　由题意可知，平面α的法向量与向量a＝(2,1,1)和向量均垂直，且＝(1,2,3)－(1,0，－1)＝(0,2,4)．对于选项A，(2,1,1)·(1，－4,2)＝0，(0,2,4)·(1，－4,2)＝0，满足垂直关系，故符合题意；对于选项B，(2,1,1)·＝0，(0,2,4)·＝0，满足垂直关系，故符合题意；对于选项C，(2,1,1)·＝0，(0,2,4)·＝0，满足垂直关系，故符合题意； 对于选项D，(2,1,1)·(0，－1,1)＝0，但(0,2,4)·(0，－1,1)≠0，故不符合题意．故选A、B、C. 2．(多选)如图，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论正确的有(　　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 解析：选ACD　∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，从而A1M∥D1P，可得A、C、D正确． 又∵B1Q与D1P不平行，故B不正确． 3.如图所示，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(0,0,3a)， C(0，a,0)， D. 设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，则＝(a，－a，z)，＝(a,0，z－3a)，＝. 又·＝a2－a2＋0＝0，故由题意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.故AE＝a或2a. 答案：a或2a 4.如图，在三棱锥P -ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证： (1)平面GEF⊥平面PBC； (2)EG与直线PG和BC都垂直． 证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz. 则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)． 于是＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，则即可取n＝(0,1，－1)． 显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．又n·＝0，∴n⊥， 即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直， ∴平面GEF⊥平面PBC. (2)由(1)知，＝(1，－1，－1)， ＝(1,1,0)，＝(0，－3,3)， ∴·＝0，·＝0， ∴EG⊥PG，EG⊥BC， ∴EG与直线PG和BC都垂直． 5．已知正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． 解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)． (1)证明：＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a,0)， ∵·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， ∴⊥，即A1E⊥BD. (2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． ∵＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，e)， ∴ 即 取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝. 由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2. ∴n1·n2＝2－＝0，即e＝. ∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 6.如图，在底面是正方形的四棱锥P -ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，E，F，G分别是BC，PC，CD的中点． (1)求证：BG⊥平面PAE. (2)在线段BG上是否存在点H，使得FH∥平面PAE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为四棱锥P -ABCD的底面是正方形，且PA⊥平面ABCD，所以PA，AB，AD两两互相垂直． 以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2，2,0)，D(0， 2,0)．因为E，F，G分别是BC，PC，CD的中点，所以E(2,1,0)．F(1,1,1)，G(1,2,0)，所以＝(－1,2,0)，＝(0,0,2)，＝(2,1,0)．因为·＝0，且·＝0，所以BG⊥AP，BG⊥AE.又AE∩AP＝A，所以BG⊥平面PAE. (2)假设在线段BG上存在点H，使得FH∥平面PAE.连接FH.设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋＝－＋λ＝(1－λ，2λ－1，－1)． 因为FH∥平面PAE，BG ⊥平面PAE， 所以·＝(－1)×(1－λ)＋2×(2λ－1)＋0×(－1)＝5λ－3＝0，所以λ＝.所以在线段BG上存在点H，使得FH∥平面PAE，且＝. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 层级(一)　“四基”落实练 1．若直线l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量 μ＝(2，－3,0)，则直线l与平面α的位置关系是(　　 ) A．l∥α B．l⊥α C．直线l与平面α相交但不垂直 D．无法确定 2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为 u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　) A．3　　　　　　　　 B．6 C．－9 D．9 3．(多选)平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0，0,2)，则平面α的法向量可以是(　　) A．(－1,1,0) B．(1,0,1) C．(－2,2,0) D．(0,2,2) 4．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)，那么以下结论正确的是(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 5.如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 6．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________． 7.如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 8.如图，已知多面体ABC -A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.求证：AB1⊥平面A1B1C1. 层级(二)　“能力”提升练 1．(多选)已知直线l过点P(1,0，－1)，且与向量a＝(2,1,1)平行，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是(　　) A．(1，－4,2) B. C. D．(0，－1,1) 2．(多选)如图，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论正确的有(　　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 3.如图所示，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________. 4.如图，在三棱锥P -ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证： (1)平面GEF⊥平面PBC； (2)EG与直线PG和BC都垂直． 5．已知正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． 6.如图，在底面是正方形的四棱锥P -ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，E，F，G分别是BC，PC，CD的中点． (1)求证：BG⊥平面PAE. (2)在线段BG上是否存在点H，使得FH∥平面PAE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$