精品解析：吉林省长春市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次学程考试数学试题

高二年级2023——2024学年度上学期第二次学程考试 数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题、每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 若直线的方向向量，平面的法向量，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 3. 过圆与圆交点的直线方程为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知为椭圆：的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为 ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（ ） A. 89 B. 55 C. 34 D. 44 7. 苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈） A. 6.48 B. 5.48 C. 4.48 D. 3.48 8. 已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，点为点在直线上的射影．则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 9 B. C. 8 D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知圆．直线，则（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 圆上的点到直线的最大距离为 C. 直线与圆有2个交点 D. 过作圆的切线方程为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的倾斜角范围为 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为 D. 圆上有且仅有2个点到直线：的距离都等于 11. 如图，在多面体中，平面．四边形是正方形，且．分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法错误的是（ ） A. 不存在点，使得异面直线与所成的角为 B. 存在点，使得 C. 三棱锥体积的取值范围为 D. 当点运动到中点时，与平面所成的余弦值为 12. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（ ） A. 若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是 B. 若，则的最大值为4 C. 若存在点P使得，则 D. 若存在点Q使得，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分． 13. 抛物线的焦点坐标是____________________. 14. 过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为______. 15. 已知数列的前项和，则__________． 16. 已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线．垂足为．若恒成立，则的离心率的取值范围是_____ 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．若，点 （1）求双曲线的方程； （2），斜率为的直线过点，直线与双曲线只有一个交点，求的值 18. 如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，平面. （1）若点是的中点，求证：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 已知圆心为的圆经过，，这三个点． （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 20. 平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由. 21. 如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 22. 已知椭圆的离心率为，左焦点与原点的距离为1，正方形的边，与轴平行，边与轴平行，，过的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线为．已知直线的斜率为，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）①若直线过点，求的值； ②若直线与正方形的交点在边上，在正方形内的线段长度为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级2023——2024学年度上学期第二次学程考试 数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题、每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 若直线的方向向量，平面的法向量，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用空间向量数量积的坐标表示计算可得到答案. 【详解】直线的方向向量，平面的法向量 由，则或， 故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示，向量垂直的坐标表示，属于基础题. 2. 关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设关于直线的对称点为，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得. 故选：A. 3. 过圆与圆交点的直线方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立两圆方程求出交点坐标，再根据两点式求出直线方程，化为一般式可得解. 【详解】联立，解得或， 所以圆与圆交点为和， 所以过两圆交点的直线方程为，即. 故选：C 4. 已知为椭圆：的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为 ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线恒过椭圆的左焦点，利用椭圆的定义求得的周长. 【详解】直线恒过定点为椭圆的左焦点， 由椭圆的定义知的周长. 故选：C 5. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令即可得解. 【详解】令，解得，故所求为. 故选：D. 6. 分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（ ） A. 89 B. 55 C. 34 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案. 【详解】设第行实心圆点的个数为， 由题图可得，，，，，，，……， 则， 故，，，，． 故选：B． 7. 苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈） A. 6.48 B. 5.48 C. 4.48 D. 3.48 【答案】A 【解析】 【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a），利用待定系数法求出圆的方程，将x=-30代入即可求得. 【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0). 可设圆拱所在圆的方程为,由题意可得： 解得： . 所以所求圆的方程为. 将x=-30代入圆方程,得: , 因为y>0,所以. 故选：A. 8. 已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，点为点在直线上的射影．则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 9 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线方程，联立直线与抛物线方程，得到，，由得，从而求出直线方程，分和两种情况进行求解即可. 【详解】由题可知直线斜率存在，设直线，，， 联立方程：，整理得：，， ，. ， 得或（舍）.故直线， 当时，点，点到直线的距离为； 当时，直线，又直线，消去整理得：， 即此时点的轨迹方程为，（或者利用直线过定点结合，得出点的轨迹为以为直径的圆）， 点到直线的距离的最大值为， 综合可知点到直线的距离的最大值为8. 故选：C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知圆．直线，则（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 圆上的点到直线的最大距离为 C. 直线与圆有2个交点 D. 过作圆的切线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，令验算即可；对于C，比较圆心到直线的距离与半径即可判断；对于B，由C选项分析即可验算；对于D，考虑切线方程斜率不存在也满足即可排除D. 【详解】A.当时，，直线在y轴上的截距为1，故A正确； C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确； B.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故B错误； D. 过作圆的切线方程， 若切线方程斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为1，等于半径1， 故也是圆的一条切线方程，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的倾斜角范围为 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为 D. 圆上有且仅有2个点到直线：的距离都等于 【答案】AC 【解析】 【详解】根据直线与线段的交点、直线平行、充要条件、圆与圆的位置关系、圆和直线的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【分析】A选项，，所以直线的倾斜角为， ，所以直线的倾斜角为， 所以直线的倾斜角范围为，A选项正确. B选项，由解得， 当时，两直线为，两直线平行； 当时，两直线为， 即，两直线平行， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件， 所以B选项错误. C选项，：，即，是圆心为，半径； ：，即， 要表示圆，则，此时圆心为，半径为， 两圆有四条公切线，所以两圆外离， 所以，解得，C选项正确. D选项，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于， 所以D选项错误. 故选：AC 11. 如图，在多面体中，平面．四边形是正方形，且．分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法错误的是（ ） A. 不存在点，使得异面直线与所成的角为 B. 存在点，使得 C. 三棱锥体积的取值范围为 D. 当点运动到中点时，与平面所成的余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据向量垂直的坐标表示和异面直线所成角的向量求法可确定是否有解，从而判断AB；利用等体积法可知，可求得体积的表达式，即可判断C；利用向量法求线面角即可判断D. 【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 对于A，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，, 所以， 解得，不符合， 则不存在点，使得异面直线与所成的角为，故A正确； 对于B，假设存在点，使得， 因为，， 所以，解得，不合题意，故B错误； 对于C，连接，， 因为， 点到平面的距离， 所以， 因为，所以，故C正确； 对于D，当点运动到中点时，，又， 则，， 设是平面的法向量， 则，令，则， 因为，设直线与平面所成的角为， 所以，故D错误. 故选：BD. 12. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（ ） A. 若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是 B. 若，则的最大值为4 C. 若存在点P使得，则 D. 若存在点Q使得，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据已知，数形结合得时椭圆C和圆M没有交点，进而求离心率范围；B令，求得，结合椭圆有界性得，即可判断；C由题设，令，进而得到，结合点在椭圆上得到公共解求范围；D将问题化为圆心为，半径为的圆与圆有交点. 【详解】由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示， A：由于，由图知：当时椭圆C和圆M没有交点， 此时离心率，对； B：当时，令，则，而， 所以，又，故， 所以的最大值为，错； C：由，若，则， 由，令，且， 则，即， 所以，则，且，故，对； D：令，若，所以， 则，所以， 轨迹是圆心为，半径为的圆， 而与的距离为，要使点Q存在， 则，可得，且，即，对； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于C，根据已知得到，设，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解为关键；对于D，问题化为圆心为，半径为的圆与圆有交点为关键. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分． 13. 抛物线的焦点坐标是____________________. 【答案】 【解析】 【分析】先把抛物线的方程化成标准形式，结合焦点坐标与方程的关系可求. 【详解】因为，所以； 所以， 故焦点坐标为. 【点睛】本题主要考查利用抛物线方程求解焦点坐标，注意一次项系数和焦点坐标之间的关系. 14. 过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意判断出直线与圆相离，再将四边形面积表示为，然后根据点到直线的距离公式求出，即可求解． 【详解】根据题意可得，半径为， ∵直线， ∴点到直线的距离为，即直线与圆相离， ∵点为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为， ∴四边形面积为， ∵圆心到直线的距离为， ∴，即，则四边形面积最小为. 故答案：. 15. 已知数列的前项和，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：当时，求得；当时，类比写出，由求出，再将代入检验，即可求出答案. 详解：当时， 当时，由，得， 两式相减，， 将代入上式，， 通项公式为 故答案为. 点睛：本题主要考查已知数列的前项和，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步： （1）当时， 求出； （2）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 16. 已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线．垂足为．若恒成立，则的离心率的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出草图，结合草图找到不等关系，再利用双曲线的离心率公式化简求范围. 【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为， 设，则点到渐近线的距离. 由双曲线的定义可得，故， 所以，即的最小值为， 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立， 所以，，即，即， 所以，，即，解得. 故答案为：. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．若，点 （1）求双曲线的方程； （2），斜率为的直线过点，直线与双曲线只有一个交点，求的值 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可； （2）当斜率等于渐近线斜率时，满足题意，当斜率不等于渐近线斜率时，联立双曲线方程与直线方程得，由判别式为0即可求解，结合以上两种情况即可得解. 【小问1详解】 由题意有：，解得，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 （i）令，解得，所以的值可以是， （ii）当时，过点的斜率为的直线的方程为， 联立双曲线方程与直线方程得，化简得， 因为直线与双曲线只有一个交点， 所以，解得； 综上所述，的值为或. 18. 如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，平面. （1）若点是的中点，求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 方法一：∵平面，，∴，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系 ∵，，∴ 平面的一个法向量， 故，∴ 又∵平面，∴平面 方法二：（1）取中点，连接， 因为，分别为，的中点， 所以，且， 因为四边形是矩形，， 所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量求解即可， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量即可结合点面距离公式求解，或者利用等体积法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：，， 设面的一个法向量为 ，取，则，故 ， 解法二： 因为，平面，平面， 所以平面， 所以到平面的距离为到平面的距离， 所以， 设到平面的距离，取中点为， 则四边形为平行四边形，故,所以平面， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以 所以点到平面的距离为 19. 已知圆心为的圆经过，，这三个点． （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据过点列出方程组求解即可； （2）直线斜率不存在讨论，直线斜率存在，设方程，根据圆心到的距离，被圆截得的弦长列方程组即可. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为过，，，所以，解得 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得的弦长为6，所以， 即，解得， 直线的方程为， 故直线方程为或. 20. 平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 设，联立，得， 且，则，故，所以， 所以，又，即，不满足， 所以不存在满足要求的直线l. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，直接写出曲线C的方程； （2）设，联立直线与抛物线，由得，应用韦达定理及中点公式得，结合求得，即可得结论. 【小问1详解】 由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故， 所以曲线C的方程为. 【小问2详解】 不存在满足要求的直线l，理由略. 21. 如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 【答案】（1）取线段的中点，连接， 在中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ， 因为，，，平面， 所以平面； （2）存在，点是线段的中点 【解析】 【分析】（1）取线段的中点可得，由余弦定理求出，根据勾股定理逆定理可得，结合以及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设的坐标为，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为，， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点． 22. 已知椭圆的离心率为，左焦点与原点的距离为1，正方形的边，与轴平行，边与轴平行，，过的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线为．已知直线的斜率为，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）①若直线过点，求的值； ②若直线与正方形的交点在边上，在正方形内的线段长度为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据题意求得即可得椭圆方程； （2）①设直线，，联立方程利用韦达定理求直线l的方程，代入点P运算求解即可；②根据直线l的方程求直线l与PN，QM的交点坐标，结合题意可求得，利用弦长公式整理可得，利用换元法结合对勾函数求取值范围. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为， 由题意可得：，解得，所以椭圆. 【小问2详解】 ①因为，则直线，， 联立方程，消去y得， 则， 可得， 则，， 即线段AB的中点为， 所以直线，即， 若直线l过点，则，整理得， 对于，则，即无解， 由，解得. ②由①可知：直线， 令，可得，即直线l与PN的交点坐标为， 令，可得，即直线l与QM的交点坐标为， 由题意可得：，解得， 可得， ， 则， 可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，且，可得， 则，可得， 即，可得. 所以的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $