精品解析：河南省新乡市河南师范大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

初三12月份数学课后练习 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡，不交试卷． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意．其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美．以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图形（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（ ） A. 或1 B. 2或0 C. 或0 D. 1或2 3. 如图，为直径，点C、D在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 25 15 10 15 … 下列结论中，正确的是（　　） A. 抛物线开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，把绕点A逆时针旋转后得到，则经过点D的反比例解析式的k是（ ） A. B. C. 12 D. 6. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 无法确定 10. 如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ） A. ①④⑥ B. ②⑤⑥ C. ②③⑤ D. ①⑤⑥ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 已知关于的方程的两根为和，则__________； 12. 一圆锥的侧展开图是一个圆心角为120°的扇形，若该圆锥的底面圆的半径为4，则圆锥的侧面积为______． 13. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 14. 如图，⊙O是边长为的等边的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为________． 15. 如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. 解方程： （1）； （2） 17. 现有四张卡片，每张卡片的正面各写有一个事件内容，卡片背面完全相同．四张卡片的内容分别为： ①过马路时恰好遇到红灯；②购买《我和我的家乡》电影票，座号是3的倍数；③13个学生中至少有两个人的生日在同一个月；④水中捞月． 小萌和小颖玩游戏，游戏规则是：将四张卡片背面朝上洗匀后，小萌随机抽取一张不放回，小颖再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若抽到两张卡片上的事件至少有一个是必然事件则小萌获胜；若抽到两张卡片上的事件都是随机事件则小颖获胜，请你通过计算判断这个游戏是否公平． 18. 已知平行四边形的对角线与相交于点O，点E是边所在直线上一点． （1）如图1，当点E是线段的中点时，求证：； （2）如图2，当点E在的延长线上时，连接交于点F．已知．，求的长． 19. 如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．反比例函数的图象经过菱形对角线的交点D，设直线的解析式为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求菱形的边长； （3）请结合图象直接写出不等式的解集． 20. 数学兴趣小组对以下尺规作图问题进行了研究． 已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）： 作法一（如图1）： 作法二（如图2）： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点A；②以点A为圆心，以的长为半径作，交于点B；③作直线，则直线是的切线． ①连接，交于点M，过点M作的垂线；②以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q；③连接，交于点B：④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，为直径， ．（________） ． 是的半径， 直线是的切线． 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务． （1）“作法一”中的“依据”是指________． （2）请写出“作法二”的证明过程． 21. 利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、填加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时向销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价元，则平均每天销售数量为 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ （3）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少？ 22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． （2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 23. 如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． （1）如图，若，，求点与点之间的距离； （2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； （3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三12月份数学课后练习 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡，不交试卷． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意．其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美．以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图形（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、是中心对称图形，符合题意，选项正确； D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：C． 2. 二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（ ） A. 或1 B. 2或0 C. 或0 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与x轴，轴的交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．由二次函数的图象坐标轴有两个交点，则与x轴有一个交点，或两个交点中一个交点在原点，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知，∵二次函数的图象与坐标轴有两个交点， 则二次函数的图象与轴只有一个交点，或有两个交点，两个交点中一个交点在原点， 则，或， 解得或． ∴C符合题意； 显然四个选项中只有C选项符合要求． 故选：C． 3. 如图，为直径，点C、D在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查圆周角定理，欲求的度数，需先求出同弧所对的的度数；在中，已知的度数，即可求得，由此得解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4. 在抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 25 15 10 15 … 下列结论中，正确的是（　　） A. 抛物线开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】解：∵和时函数值相同， ∴对称轴为直线，故B错误，不符合题意； 观察表格知，在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴开口向上，故A错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，把绕点A逆时针旋转后得到，则经过点D的反比例解析式的k是（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系、旋转的性质、求反比例函数解析式等知识点，确定点D的坐标是解题关键． 如图：过点D作轴于点E，由旋转的性质可得，，则，则，然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图：过点D作轴于点E，则，     ∵把绕点A逆时针旋转后得到， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴ ∴， ∴， 设该反比例函数的解析式为，则，解得：． 故选A． 6. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．对于反比例函数，可得，时，，图象在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：对于反比例函数， A、当时，，则点在它的图象上，故该选项不符合题意； B、，则它的图象在第二、四象限，故该选项不符合题意； C、当时，随的增大而增大，故该选项不符合题意； D、当时，，则当时，，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，根据题意、正确画出树状图成为解题的关键． 正确画出树状图确定所有可能的结果数和能让灯泡发光的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 8. 如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 9. 如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，由题意可分别得四点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，再由面积和为3建立关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【详解】解：∵点，，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 10. 如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ） A. ①④⑥ B. ②⑤⑥ C. ②③⑤ D. ①⑤⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，可得到 ；进而得到 同号，再有抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，可得 ， ，从而得到 ；再由抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），可得线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当 时， ，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ， ∴ ，即 ，故①错误； ∵， ∴，即 同号， ∵抛物线开口向上，与 轴交于负半轴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0）， ∴抛物线与轴的另一个交点为 ，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3）， ∴当时 ， ， 即抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④错误； 观察图象得：当 时， ， 在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势， 即此时 随 的增大而增大， 又当 时， ， ∴，故⑤正确； 观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方， ∴不等式的解集为，故⑥正确； ∴正确的有②⑤⑥． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 已知关于的方程的两根为和，则__________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；由根与系数的关系得，即可求解；掌握根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】解：两根为和， ， 解得：； 故答案：． 12. 一圆锥的侧展开图是一个圆心角为120°的扇形，若该圆锥的底面圆的半径为4，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的底面圆的周长，根据弧长公式计算出母线长，再计算侧面积即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为r， 则圆锥的底面圆的周长=2π×4=8π， 则， 解得，r=12， ∴圆锥的侧面积为=， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 14. 如图，⊙O是边长为的等边的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆的相关性质、等边三角形的性质以及扇形面积公式．求出扇形的圆心角和半径是解决本题的关键． 首先根据等边三角形的性质求出外接圆半径以及相关角度，进而确定扇形的圆心角和半径，最后利用扇形面积公式求出阴影部分面积． 【详解】连接、，过O作于点E，如图， 因为是等边三角形的外接圆， 所以． 由于是等边三角形，则， 所以． 因为，是等边三角形， 所以． 已知，则． 在中，，， 即，，解得． 因为点D是的中点， 所以． 又因为，，， 所以是等边三角形，则． 所以扇形的圆心角为，． 扇形面积公式可得：． 故答案为：． 15. 如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等，解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线． 根据题意得到点E在以为直径的圆上运动，点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，从而得到当与圆C相切于点D，且D在内部时，最小，最大，再求出的长度，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动， ∵，且是绕点C旋转， ∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动， 如图，当与圆C相切于点D，且D在内部时，最小，最大， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 此时， 即的最大值为． 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法、配方法，解题的关键是掌握因式分解法，就是利用因式分解求出方程的解的方法，是解一元二次方程最常用的方法． （1）利用配方法进行求解； （2）先变形得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ． 17. 现有四张卡片，每张卡片的正面各写有一个事件内容，卡片背面完全相同．四张卡片的内容分别为： ①过马路时恰好遇到红灯；②购买《我和我的家乡》电影票，座号是3的倍数；③13个学生中至少有两个人的生日在同一个月；④水中捞月． 小萌和小颖玩游戏，游戏规则是：将四张卡片背面朝上洗匀后，小萌随机抽取一张不放回，小颖再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若抽到两张卡片上的事件至少有一个是必然事件则小萌获胜；若抽到两张卡片上的事件都是随机事件则小颖获胜，请你通过计算判断这个游戏是否公平． 【答案】游戏不公平 【解析】 【分析】考查概率的求法，事件的分类．列举出所有情况，看抽取的两张卡片上的事件都正确的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：①过马路时恰好遇到红灯，属于随机事件； ②购买《我和我的家乡》电影票，座号是3的倍数，属于随机事件； ③13个学生中至少有两个人的生日在同一个月，属于必然事件； ④水中捞月，属于不可能事件； 画树状图得： 共12种情况，抽到两张卡片上的事件至少有一个是必然事件③的有6种，小萌获胜的概率为；抽到两张卡片上的事件都是随机事件的有2种，小颖获胜的概率为； ∴游戏不公平． 18. 已知平行四边形的对角线与相交于点O，点E是边所在直线上一点． （1）如图1，当点E是线段的中点时，求证：； （2）如图2，当点E在的延长线上时，连接交于点F．已知．，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是线段的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质， （1）由三角形的中位线证得，由，根据平行线的性质证得∠，，根据相似三角形的判定可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，过作交于，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过作交于， ∴， ∴，即， ∴，， ∴.， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 19. 如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．反比例函数的图象经过菱形对角线的交点D，设直线的解析式为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求菱形的边长； （3）请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，反比例函数与几何图形结合，根据图像求不等式的解集，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据点B的坐标，以及菱形的性质可求得点D的坐标，进而求得反比例函数的解析式； （2）过点B作轴于点E，在中利用勾股定理解题即可； （3）求出直线解析式，联立直线解析式与抛物线解析式求得交点坐标，进而结合函数图象求得不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：∵菱形的对角线交于点D， ∴ ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为， 又∵反比例函数经过点D， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点B作轴于点E， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ∴菱形的边长为； 【小问3详解】 ∵点B的坐标为，， ∴点C的坐标为， 代入得：，解得：， ∴， 令，则， 解得：， 结合图象，不等式的解集为或． 20. 数学兴趣小组对以下尺规作图问题进行了研究． 已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）： 作法一（如图1）： 作法二（如图2）： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点A；②以点A为圆心，以的长为半径作，交于点B；③作直线，则直线是的切线． ①连接，交于点M，过点M作的垂线；②以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q；③连接，交于点B：④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，为直径， ．（________） ． 是的半径， 直线是的切线． 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务． （1）“作法一”中的“依据”是指________． （2）请写出“作法二”的证明过程． 【答案】（1）直径所对的圆周角是直角 （2） 证明：由作法可得，， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了作图-作垂线，作垂直平分线，圆周角定理，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得答案； （2）由作法可得，，证明，得，根据切线的判定方法即可求证． 【小问1详解】 解：由题意得：“作法一”中的“依据”是指直径所对的圆周角是直角， 故答案为：直径所对的圆周角是直角； 【小问2详解】 略 21. 利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、填加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时向销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价元，则平均每天销售数量为 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ （3）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少？ 【答案】（1）件 （2）当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元 （3）当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售利润，列代数式，二次函数的图象性质，一元二次方程的销售利润，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，得出当降价元，则平均每天销售数量为件； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，依题意得：，解出的值，即可作答． （3）设每件商品降价元，商店可获得利润为元，根据题意得：， 因为，，当时，即售价为有最大值，最大值为1250， 【小问1详解】 解：∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件， ∴当降价元，则平均每天销售数量为件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元； 【小问3详解】 解：设每件商品降价元，商店可获得利润为元， 根据题意得：， ，， 当时，即售价为有最大值，最大值为1250， 答：当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元． 22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． （2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小明的说法不正确， 理由如下： 由（2），得， 当时，， 解方程，得，， ∴两次间隔的时间为， ∴小明的说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）把，代入求解即可； （3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断. 【小问1详解】 解： ， ∴当时，h最大， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，得 当时，， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 略 23. 如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． （1）如图，若，，求点与点之间的距离； （2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； （3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】（1）或； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可； （）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可； （）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； 【小问2详解】 设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，有最大，最大值为； 【小问3详解】 连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形， 则点三点共线，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $