精品解析：陕西省咸阳市永寿县御家宫中学2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题

2023—2024学年度第一学期期末学业水平测试 八年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观， 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 在，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，如果将点A向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，垂足为，则的度数为（ ）      A. B. C. D. 4. 每年的月4日是全国法治宣传日，某校举行了演讲比赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，张欣这四项的得分依次为，则她的最终得分是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 5. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是的外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上点表示的数分别是，，且两点到点的距离相等，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若，，则等于（ ） A. 45 B. 49 C. 50 D. 53 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. “对顶角相等”是______________命题．（填“真”或“假”） 10. 学校组织科技知识大赛，8名参赛同学的得分（单位：分）如下：91，89，92，94，92，96，95，92，这组数据的众数是______分． 11. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，则点A的坐标为______． 12. 如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，台阶左下角A处有一只蚂蚁要爬到右上角B处搬运食物，则它爬行的最短路程为______． 13. 已知关于的二元一次方程组的解是则的平方根是______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解方程组：． 16. 已知y与x成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求a的值． 17. 如图，，平分，求证：． 18. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）在图中建立适当的坐标系，并写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的． 19. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 20. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 21. 为了鼓励小刚做家务，妈妈给他每月的费用都是由上个月小刚的家务劳动时间所得奖励和基本生活费组成．观察发现小刚下个月可获得的总费用（元）是上个月的家务劳动时间（时）的一次函数．已知当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元；当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元． （1）求与之间的函数表达式； （2）如果小刚下个月想获得元，他这个月的家务劳动时间应该是多少小时？ 22. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积． 23. 某学校调查八年级学生对“消防”知识的了解情况，进行了“消防”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下（成绩得分用x表示，共分成四组：A． ，B． ，C． ，D． ）： 八（1）班10名学生的成绩是：96，81，96，86，99，98，92，100，89，83. 八（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92. 通过数据分析，列表如下： 八（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 92 b c 42.8 八（2）班 92 94 95 40.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）学校欲选派一个班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校应该选派哪个班级？请说明理由； （3）八年级两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（）的学生总人数． 24. 随着近年来油价的波动调整，市场对新能源汽车的关注度也随之上涨，低碳绿色出行方式受到肯定，加之各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． （1）求A，B两种型号汽车每辆的进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案． 25. 如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A， B两点． （1）求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； （2）求的面积 （3）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为2，直接写出a的值． 26. 如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）． （1）如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； （2）如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； （3）如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第一学期期末学业水平测试 八年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观， 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 在，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟知无理数的定义．无理数为无限不循环小数，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个之间依次多个）等形式．根据无理数、有理数的定义即可求解． 【详解】解：有理数为：，，； 无理数为：，（相邻两个之间的个数逐次加），共个； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，如果将点A向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由平移方式确定点的坐标，在平面直角坐标系中，点的平移变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 向右平移2个长度单位，即点的横坐标加2，纵坐标不变，得到点的坐标即可． 【详解】解：点向右平移2个单位长度得到点， 的坐标为． 故选：D． 3. 如图，已知，垂足为，则的度数为（ ）      A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，求出，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 4. 每年的月4日是全国法治宣传日，某校举行了演讲比赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，张欣这四项的得分依次为，则她的最终得分是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数的运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，最终得分为（分）， 故选：B． 5. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数和一次函数的函数图像，解题的关键在于对进行分情况讨论，找出符合题意的函数图像即可． 【详解】当时，正比例函数经过第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限； 当时，正比例函数经过第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限； 对照各选项中的图象，只有A符合． 故选：A． 6. 如图，在中，是的外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和与外角的性质，解题的关键在于求出的度数，通过三角形的内角和为即可求解． 【详解】解：在中，可得：， ， ， ， 可化为：， 即：， 解得：， ， 是的外角， ． 故选：C． 7. 如图，数轴上点表示的数分别是，，且两点到点的距离相等，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的几何含义：数轴上两点之间的距离，以及两点间距离的计算：两个点在数轴上对应数的差的绝对值叫做两点间的距离，解题的关键在于正确计算． 【详解】数轴上点所表示的数分别是， ， 点到点的距离相等， ， 点表示的数为，且点表示的数为正数，在的右侧， 点的数为：， 故选：C． 8. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若，，则等于（ ） A. 45 B. 49 C. 50 D. 53 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解“垂美”四边形的性质，则，根据，，，，，等量代换，即可． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴， ∴在直角三角形中，； 在直角三角形中，， ∴， ∵在直角三角形，； 在直角三角形中，， ∴， 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. “对顶角相等”是______________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真． 【解析】 【详解】先找到命题的题设和结论进行判断． 解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，该命题为真命题， 故答案为真． 10. 学校组织科技知识大赛，8名参赛同学的得分（单位：分）如下：91，89，92，94，92，96，95，92，这组数据的众数是______分． 【答案】92 【解析】 【分析】本题主要考查众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键．根据众数的定义即可得到答案． 【详解】解：众数是出现次数最多的一个数据， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．由于点A在第二象限，故横坐标为负数，纵坐标为正数即可得到答案． 【详解】解：由于点A在第二象限，且到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度， 故点A的坐标为． 故答案为：． 12. 如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，台阶左下角A处有一只蚂蚁要爬到右上角B处搬运食物，则它爬行的最短路程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿A爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故答案为：． 13. 已知关于的二元一次方程组的解是则的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根的计算，根据题意把二元一次方程组的解代入计算得到，再求平方根即可． 【详解】解：关于的二元一次方程组的解是 ∴， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴， ∴的平方根即为的平方根，， 故答案为： ． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根，二次根式的乘除计算即可． 本题考查了立方根，二次根式的乘除，熟练掌握立方根的定义，运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 15. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是关键，根据题意，运用加减消元法求二元一次方程组的解是关键． 【详解】解：， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 16. 已知y与x成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式， （1）设关系式为，再将数值代入求值即可； （2）将点代入关系式，求出解即可． 【小问1详解】 ∵y与x成正比例， ∴设． ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 17. 如图，，平分，求证：． 【答案】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，由平分得，进而得，即可求证，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】 略 18. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）在图中建立适当的坐标系，并写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，轴对称变换，坐标与图形，解决本题的关键是根据点的坐标建立平面直角坐标系． （1）根据点A的坐标建立坐标系即可，故可得到点C的坐标； （2）根据图形，找出关于y轴对称的对应点即可画出图形． 【小问1详解】 解：如图，； 【小问2详解】 解：如图． 19. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解决问题的关键．设出的长，可将和的长表示出来，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 20. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握代数式求值的方法是解题的关键． （1）运用平方差公式即可求解； （2）由（1）知，然后计算出的值，最后用完全平方公式即可求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 由（1），知， ， ． 21. 为了鼓励小刚做家务，妈妈给他每月的费用都是由上个月小刚的家务劳动时间所得奖励和基本生活费组成．观察发现小刚下个月可获得的总费用（元）是上个月的家务劳动时间（时）的一次函数．已知当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元；当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元． （1）求与之间的函数表达式； （2）如果小刚下个月想获得元，他这个月的家务劳动时间应该是多少小时？ 【答案】（1） （2）20小时 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，解题的关键是求出一次函数的表达式． （1）设与之间的函数表达式为：，然后用待定系数法，即可求解； （2）将代入与的表达式中，即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为：． 根据题意，得， 解得：， ； 【小问2详解】 当元时， 由题意得：， 解得：， 答：他这个月的家务劳动时间应该是小时． 22. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． 答：这块可绿化的空地的面积为． 23. 某学校调查八年级学生对“消防”知识的了解情况，进行了“消防”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下（成绩得分用x表示，共分成四组：A． ，B． ，C． ，D． ）： 八（1）班10名学生的成绩是：96，81，96，86，99，98，92，100，89，83. 八（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92. 通过数据分析，列表如下： 八（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 92 b c 42.8 八（2）班 92 94 95 40.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）学校欲选派一个班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校应该选派哪个班级？请说明理由； （3）八年级两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（）的学生总人数． 【答案】（1）40，94，96 （2）选派八（2）班，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查的是扇形统计图，频数分布表，用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体是解题的关键． （1）将八（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，结合中位数，众数的定义求出的值，再根据八（2）班C组有3人，求出扇形统计图中C组所占百分比，即可得到值； （2）直接比较两个班的方差即可； （3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：40，94，96； 八（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：81，83，86，89，92，96，96，98，99，100， ． 成绩为96分的学生有2名，最多， ． 八（2）班C组有3人， 扇形统计图中C组所占百分比为， 扇形统计图中D组所占百分比为， ； 【小问2详解】 解：选派八（2）班． 理由如下：两个班的平均成绩相同，而八（1）班成绩的方差为42.8，八（2）班成绩的方差为40.5， ， 八（2）班成绩更稳定， 学校应选派八（2）班； 【小问3详解】 解：八（2）班D组的人数为（人）， 八（2）班10名学生的成绩为优秀的有（人）． 估计两班参加此次调查活动成绩优秀（）的学生人数是：（人）． 24. 随着近年来油价的波动调整，市场对新能源汽车的关注度也随之上涨，低碳绿色出行方式受到肯定，加之各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． （1）求A，B两种型号汽车每辆的进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案． 【答案】（1）A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为15万元 （2） 方案一：购进A型汽车7辆，B型汽车5辆； 方案二：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆； 方案三：购进A型汽车1辆，B型汽车15辆． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，列出二元一次方程组即可计算出答案； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，列出二元一次方程，求出正整数解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 依题意，得， 解得． 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为15万元； 【小问2详解】 解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 依题意，得：，解得． m，n均为正整数， 或或． 共3种购买方案，方案一：购进A型汽车7辆，B型汽车5辆；方案二：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆；方案三：购进A型汽车1辆，B型汽车15辆． 25. 如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A， B两点． （1）求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； （2）求的面积 （3）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为2，直接写出a的值． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入，求得，所以，再把代入，可求得；关于x，y的方程组即，结合图象即可得到答案； （2）先求出A，B的坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）先求出，，得到方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：把的坐标代入，得， ， ， 把代入，得， ， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解是， 整理方程组可得， 方程组的解是； 【小问2详解】 解：对于，令，则， ， ， 对于，令，则， ， ， ， 的面积为； 【小问3详解】 解：垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D， ，， ， ， 解得或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，两直线的交点与二元一次方程组，求直线围成的图形面积问题，一次函数与几何综合问题等知识，熟练掌握一次函数与几何的综合问题是解题的关键． 26. 如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）． （1）如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； （2）如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； （3）如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】（1）61 （2） （3）∠F的大小不变， 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【小问1详解】 分别为，的平分线 故答案为：61． 【小问2详解】 ， 分别为，的平分线 故答案为：． 【小问3详解】 的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $