第7讲：函数的奇偶性【5个题型】讲义-2026届高三数学一轮复习

【第7讲：函数的奇偶性】 总览 题型梳理 一．奇函数偶函数的判断（共7小题） 二．奇函数偶函数的性质（共12小题） 三．奇偶函数图象的对称性（共10小题） 四．奇偶性与单调性的综合（共9小题） 五．抽象函数的奇偶性（共8小题） 【知识点清单】 1．函数的奇偶性 【知识点的认识】 ①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 2．奇函数偶函数的判断 【知识点的认识】 奇函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 偶函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 3．奇函数偶函数的性质 【知识点的认识】 ①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 4．奇偶函数图象的对称性 【知识点的认识】 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值． 解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数， 那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 【命题方向】 本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意． 5．奇偶性与单调性的综合 【知识点的认识】 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 6．抽象函数的奇偶性 【知识点的认识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一． 【解题方法点拨】 ①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx； ②可通过赋特殊值法使问题得以解决 例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0 令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0 令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0 ③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性； 【命题方向】 抽象函数及其应用． 抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视． 7．抽象函数的周期性 【知识点的认识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一． 【解题方法点拨】 ①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx； ②可通过赋特殊值法使问题得以解决 例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0 令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0 令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0 ③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性； 【命题方向】 抽象函数及其应用． 抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．奇函数偶函数的判断（共7小题） 1．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（　　） A．f（x）＝x+cosx B．f（x）＝sinx﹣xcosx C． D．f（x）＝sinx+x3 2．下列函数是奇函数的是（　　） A．f（x）＝lnx B．f（x）＝﹣x2 C．f（x）＝3x D． 3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（　　） A．f（x﹣1）+1 B．f（x+1）+1 C．f（x﹣1）﹣1 D．f（x+1）﹣1 4．已知函数f（x）＝aex﹣e﹣x（a为常数），则（　　） A．∀a∈R，f（x）为奇函数 B．∃a∈R，f（x）为偶函数 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，f（x）为减函数 5．下列函数中是偶函数的是（　　） A．f（x）＝x3﹣3x2 B．f（x）＝|2x﹣1| C．f（x）＝xtanx D． 6．已知函数f（x）＝e2x+e﹣2x﹣2，则（　　） A．f（x+1）为奇函数 B．为偶函数 C．f（x﹣1）为奇函数 D．为偶函数 （多选）7．已知函数，则（　　） A．当a＝1时，函数f（x）为奇函数 B．当a＝1时，函数f（x）为偶函数 C．当a＝2时，函数f（x）的值域为（﹣∞，0） D．当a＝2时，函数g（x）＝2f（x）的图象关于点成中心对称 二．奇函数偶函数的性质（共12小题） 8．设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　） A． B． C． D． 9．若函数f（x）＝ln|ex﹣1|+mx为偶函数，则实数m＝（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 10．已知是奇函数，则a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 11．函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+2x+1，则f（﹣8）＝（　　） A．20 B．21 C．﹣20 D．﹣21 12．函数在[﹣2025，2025]上的最大值和最小值之和为（　　） A．2 B．4 C．8 D．4050 13．已知f（x）为R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，，则（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 14．已知函数f（x）＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a是偶函数，则实数a＝（　　） A．e B．1 C．2 D．4 15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（2x﹣1）＝x，若f（m）＝﹣2，则f（m+4）＝（　　） A．2 B．log23 C．1 D．﹣1 16．若是奇函数，则（　　） A．，b＝﹣ln2 B．，b＝ln2 C．a＝﹣2，b＝0 D．a＝0，b＝0 17．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x），已知f（2x+1）和g（x+2）都是偶函数，且g（2）＝1，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2025 D．﹣2025 18．已知函数是奇函数，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 19．已知函数f（x）＝（a•2x+2﹣x）sinx是奇函数，则a＝ 　 　 ． 三．奇偶函数图象的对称性（共10小题） 20．若曲线关于点（1，﹣2）中心对称，则a＝（　　） A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4 21．已知f（x）是定义在R上的奇函数，则以下函数中图象关于x＝1对称的是（　　） A．y＝（x﹣1）f（x﹣1） B．y＝（x+1）f（x+1） C．y＝xf（x）+1 D．y＝xf（x）﹣1 22．已知函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣b）的图象关于点（0，y0）对称，则（　　） A．a+2b＝0 B．2a+b＝0 C． D． 23．已知函数的图象关于原点对称，则a＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 24．已知函数f（x）为R上的奇函数，若函数y＝g（x+2）与y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称，则g（4）＝（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 25．若函数的图象关于（2，2）对称，且a≠1，则实数a＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．5 26．已知函数，定义域为R的函数g（x）满足g（﹣x）+g（x）＝6，若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象有四个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则（　　） A．0 B．4 C．8 D．12 27．已知函数f（x）定义域为R，且满足f（x）＝6﹣f（﹣x），，若f（x）的图象与g（x）的图象的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（　　） A．0 B．m C．2m D．3m 28．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝2，若函数与f（x）的图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则y1+y2+…+ym＝（　　） A． B．m C．2m D．4m 29．已知函数f（x）＝ln（ex+1）+kx（k∈R）是偶函数，则（　　） A．f（log0.20.3）＞f（log20.3）＞f（k） B．f（k）＞f（log20.3）＞f（log0.20.3） C．f（log20.3）＞f（log0.20.3）＞f（k） D．f（log0.20.3）＞f（k）＞f（log20.3） 四．奇偶性与单调性的综合（共9小题） 30．已知函数f（x）＝sin（2x﹣2）﹣e1﹣x+ex﹣1+2，（x∈R）．若f（2a2）+f（1﹣a）＜4，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 31．若函数，则关于a的不等式f（a2+a）+f（a﹣a2﹣1）＞0的解集是（　　） A． B． C． D． 32．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），且f（x）在[﹣2，2]上单调递增．设，，c＝f（﹣13），则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 33．已知函数，则f（2x）+f（x﹣3）＞0的解集是（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣3） D．（﹣3，+∞） 34．函数f（x）的定义域为R，对任意的x∈[1，+∞），t∈（0，+∞），都有f（x+t）＜f（x）成立，且函数f（x+1）为偶函数，则（　　） A．f（﹣2）＜f（﹣1）＜f（2） B．f（﹣2）＜f（2）＜f（﹣1） C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣2） D．f（﹣1）＜f（2）＜f（﹣2） 35．已知函数f（x）＝3x3﹣2x+ex﹣e﹣x+1，若f（2a﹣3）+f（a2）≤2，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣3，1] B．[﹣1，3] C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） 36．若定义在R上的奇函数f（x），对∀x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2有，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（　　） A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣1，0]∪[1，3] C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣3，﹣1]∪[0，1] 37．已知函数（e是自然对数的底数），若f（x﹣6）+f（x2）＞4，则实数x的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣3，2） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） 38．函数，若f（1﹣a）＜f（a），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 五．抽象函数的奇偶性（共8小题） 39．已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，f（x+1）为奇函数，f（2x﹣1）为偶函数，则（　　） A．f（﹣3）＝0 B．f（0）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0 40．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x﹣1），且f（x﹣1）是奇函数，则下列结论错误的是（　　） A．f（﹣1）＝0 B．f（0）＝f（2） C．f（﹣4）＝f（4） D．f（11）＝﹣1 41．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，且f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（0）＝1，则（　　） A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1 42．已知函数f（x）的定义域为R，函数y＝f（x+3）+2是奇函数，则（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10 43．定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x+2）为奇函数，已知当0≤x≤1时，f（x）＝ex﹣1，则下列结论错误的是（　　） A．f（x+4）＝f（x） B．f（x）在区间[9，11]上单调递减 C． D． 44．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2x+1）为奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2对称，则（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 45．设f（x），g（x）是定义在R上的函数，则下列说法正确的是（　　） A．若f（f（x））为偶函数，则f（x）为偶函数 B．若f（f（x））为奇函数，则f（x）为奇函数 C．若f（x）为单调函数且f（g（x））为周期函数，则g（x）为周期函数 D．若f（g（x））为单调函数且g（x）为单调函数，则f（x）为单调函数 46．已知函数f（x）的定义域是R，是偶函数，f（x）+f（6﹣x）＝0，当时，f（x）＝4x﹣2x2，则f（2024）＝（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2 D．2 课后针对训练 一、单选题 1．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的偶函数，且，若，则（   ） A．0 B．2 C．8 D．10 6．函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数 三、填空题 9．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 10．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意，恒成立，则实数t的取值范围为 ． 11．已知是定义在上的函数，，且函数为奇函数，为偶函数，则 ． 12．已知且，若函数为偶函数，则 ． 13．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 14．研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； （15）的图象关于直线 对称； （16）的图象关于点 对称． 四、解答题 15．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 16．已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 17．①若是偶函数，且是偶函数，则有何特性？ ②若是奇函数，且是奇函数，则有何特性？ ③若是偶函数，且是奇函数，则有何特性？ ④若是奇函数，且是偶函数，则有何特性？ 18．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【第7讲：函数的奇偶性】 总览 题型梳理 一．奇函数偶函数的判断（共7小题） 二．奇函数偶函数的性质（共12小题） 三．奇偶函数图象的对称性（共10小题） 四．奇偶性与单调性的综合（共9小题） 五．抽象函数的奇偶性（共8小题） 【知识点清单】 1．函数的奇偶性 【知识点的认识】 ①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 2．奇函数偶函数的判断 【知识点的认识】 奇函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 偶函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 3．奇函数偶函数的性质 【知识点的认识】 ①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 4．奇偶函数图象的对称性 【知识点的认识】 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值． 解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数， 那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 【命题方向】 本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意． 5．奇偶性与单调性的综合 【知识点的认识】 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 6．抽象函数的奇偶性 【知识点的认识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一． 【解题方法点拨】 ①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx； ②可通过赋特殊值法使问题得以解决 例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0 令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0 令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0 ③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性； 【命题方向】 抽象函数及其应用． 抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视． 7．抽象函数的周期性 【知识点的认识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一． 【解题方法点拨】 ①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx； ②可通过赋特殊值法使问题得以解决 例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0 令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0 令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0 ③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性； 【命题方向】 抽象函数及其应用． 抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．奇函数偶函数的判断（共7小题） 1．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（　　） A．f（x）＝x+cosx B．f（x）＝sinx﹣xcosx C． D．f（x）＝sinx+x3 【考点】奇函数偶函数的判断．版权所有 【分析】先由图形的对称性和函数奇偶性排除选项AC；由函数奇偶性和导数工具研究两函数单调性情况即可求解． 【解答】解：对于AC，由图可知该图形为中心对称图形， 对于函数f（x）＝x+cosx为非奇非偶函数，函数为偶函数，故可排除A，C； 对于BD，两函数定义域均为R关于原点对称， 且f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣（﹣x）cos（﹣x）＝﹣sinx+xcosx＝﹣f（x），f（﹣x）＝sin（﹣x）+（﹣x）3＝﹣sinx﹣x3＝﹣f（x）， 故两函数均为奇函数，研究其（0，+∞）上性质， 对于B，f′（x）＝cosx﹣（cosx﹣xsinx）＝xsinx，在（0，π）上f′（x）＞0，在（π，2π）上f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，π）上单调递增，（π，2π）上单调递减，符合； 对于D，f′（x）＝cosx+3x2，在上f′（x）＞0，在上， 故f（x）在（0，+∞）单调递增，所以f（x）在R上单调递增，不符合． 故选：B． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于中档题． 2．下列函数是奇函数的是（　　） A．f（x）＝lnx B．f（x）＝﹣x2 C．f（x）＝3x D． 【考点】奇函数偶函数的判断．版权所有 【分析】根据奇函数的定义直接判断． 【解答】解：f（x）＝lnx的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，A选项错误； f（x）＝﹣x2的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝f（x）， 即函数f（x）＝﹣x2为偶函数，B选项错误； f（x）＝3x的定义域为R，且f（﹣x）＝3﹣x≠﹣3x＝﹣f（x）， 即函数f（x）＝3x为非奇非偶函数，C选项错误； ，0定义域为（﹣1，1），且， 即函数为奇函数，D选项正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，属于中档题． 3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（　　） A．f（x﹣1）+1 B．f（x+1）+1 C．f（x﹣1）﹣1 D．f（x+1）﹣1 【考点】奇函数偶函数的判断．版权所有 【分析】根据奇函数的定义即可得出判断． 【解答】解：函数， 对于A，， 设g（x）＝x， 则，所以g（x）为奇函数，故A符合题意； 对于B，，x≠﹣2， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题． 4．已知函数f（x）＝aex﹣e﹣x（a为常数），则（　　） A．∀a∈R，f（x）为奇函数 B．∃a∈R，f（x）为偶函数 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，f（x）为减函数 【考点】奇函数偶函数的判断．版权所有 【分析】由已知结合函数的奇偶性及单调性的定义及性质，导数与单调性关系及指数函数性质检验各选项即可判断． 【解答】解：当a＝2时，f（x）＝2ex﹣e﹣x显然不是奇函数，A错误； 当a＝﹣1时，f（x）＝﹣ex﹣e﹣x为偶函数，B正确； 当a＝﹣1时，f（x）＝﹣ex﹣e﹣x，f（0）＝﹣2，f（1）＝﹣e，显然f（0）＞f（1），C错误； 若f（x）为减函数，则存在a∈R，使得f′（x）＝aex+e﹣x≤0恒成立， 不论a为正还是负，当x→+∞和x→﹣∞时，总存在f′（x）＞0的情况， 即不存在a，使得a≤﹣e﹣2x恒成立，D错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题． 5．下列函数中是偶函数的是（　　） A．f（x）＝x3﹣3x2 B．f（x）＝|2x﹣1| C．f（x）＝xtanx D． 【考点】奇函数偶函数的判断．版权所有 【分析】先求出定义域，再利用偶函数的定义对四个选项一一判断，得到结论． 【解答】解：A选项，f（x）＝x3﹣3x2的定义域为R，f（﹣x）＝﹣x3﹣3x2≠f（x）， 故f（x）不是偶函数，A错误； B选项，f（x）定义域为R，f（﹣1），f（1）＝1，故f（﹣1）≠f（1）， 所以f（x）不是偶函数，B错误； C选项，f（x）＝xtanx的定义域为，关于原点对称， f（﹣x）＝﹣xtan（﹣x）＝xtanx＝f（x），故f（x）为偶函数，C正确； D选项，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x+1＝﹣（x﹣1）＝﹣f（x）， 当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣x﹣1＝﹣（x+1）＝﹣f（x）， 故f（x）为奇函数，D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了基本初等函数奇偶性的判断，属于中档题． 6．已知函数f（x）＝e2x+e﹣2x﹣2，则（　　） A．f（x+1）为奇函数 B．为偶函数 C．f（x﹣1）为奇函数 D．为偶函数 【考点】奇函数偶函数的判断．版权所有 【分析】利用f（0+1）≠0判断A；利用f（0﹣1）≠0判断C；利用判断B；利用来判断D选项． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（x）＝e2x+e﹣2x﹣2，x∈R，则f（0+1）＝f（1）＝e+e﹣4≠0，即故A错误； 对于B，，，则，故B错误； 对于C，函数f（x）＝e2x+e﹣2x﹣2，对于f（x﹣1），有f（0﹣1）＝f（﹣1）＝e﹣2+1≠0，故C错误； 对于D，，，则，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题． （多选）7．已知函数，则（　　） A．当a＝1时，函数f（x）为奇函数 B．当a＝1时，函数f（x）为偶函数 C．当a＝2时，函数f（x）的值域为（﹣∞，0） D．当a＝2时，函数g（x）＝2f（x）的图象关于点成中心对称 【考点】奇函数偶函数的判断；复合函数的单调性．版权所有 【分析】先根据偶函数定义计算判断A，B，应用基本不等式计算结合对数函数单调性计算判断C，根据对称性定义计算判断D． 【解答】解：函数， 当a＝1时，，函数f（x）定义域R关于原点对称， 所以，即函数f（x）为偶函数，A选项错误，B选项正确； 当a＝2时，， 因为，所以f（x）∈（﹣∞，0），所以C选项正确； 因为，所以， 因此函数g（x）的图象关于点成中心对称，D选项正确． 故选：BCD． 【点评】本题主要考查函数性质的综合应用，属于中档题． 二．奇函数偶函数的性质（共12小题） 8．设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】根据函数的奇偶性与周期性，化归转化，即可求解． 【解答】解：根据题意可得f（）＝f（）＝f（2）＝f（）＝5﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性，属基础题． 9．若函数f（x）＝ln|ex﹣1|+mx为偶函数，则实数m＝（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【考点】奇函数偶函数的性质；抽象函数的奇偶性．版权所有 【分析】根据偶函数的定义，可得f（﹣1）＝f（1），求得，进而检验即可． 【解答】解：由函数f（x）＝ln|ex﹣1|+mx为偶函数， 可得f（﹣1）＝f（1）， 即ln|e﹣1﹣1|﹣m＝ln|e﹣1|+m， 解之得， ， 故为偶函数，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题． 10．已知是奇函数，则a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【考点】奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】由奇函数性质可得f（﹣1）＝﹣f（1），列方程求a，再检验所得结果即可． 【解答】解：由2x+1﹣2≠0，可得x≠0， 因为是奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）， 所以，解得a＝﹣1． 当a＝﹣1时，， 函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称， ，所以此时f（x）是奇函数． 故选：D． 【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题． 11．函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+2x+1，则f（﹣8）＝（　　） A．20 B．21 C．﹣20 D．﹣21 【考点】奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】由函数的奇偶性知f（﹣8）＝﹣f（8），令x＝8代入相应解析式即可求得f（8），取其相反数即可． 【解答】解：因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+2x+1， 所以f（8）＝log28+2×8+1＝20， 所以f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣20． 故选：C． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题． 12．函数在[﹣2025，2025]上的最大值和最小值之和为（　　） A．2 B．4 C．8 D．4050 【考点】奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】由题意得f（x）+f（﹣x）＝8即可得解． 【解答】解：令g（x）， 因为，所以g（x）在关于原点对称的区间[﹣2025，2025]上恒有意义， 且 ＝lg1＝0， 所以g（x）在[﹣2025，2025]上的图象关于原点对称， 故g（x）在[﹣2025，2025]上的最大值和最小值之和为0， 所以函数在[﹣2025，2025]上的最大值和最小值之和为8． 故选：C． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于中档题． 13．已知f（x）为R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，，则（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【考点】奇函数偶函数的性质；函数的值．版权所有 【分析】根据，简单计算即可． 【解答】解：根据题意，f（x）为R上的奇函数，则有， 又当x∈（0，+∞）时，，则， 所以f（）＝﹣f（）＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 14．已知函数f（x）＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a是偶函数，则实数a＝（　　） A．e B．1 C．2 D．4 【考点】奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】直接由偶函数得到f（﹣x）＝f（x），化简求解即可． 【解答】解：因为f（x）＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）恒成立， 所以ln（ae﹣2x+2）+x﹣a＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a， ln（ae2x+2）﹣ln（ae﹣2x+2）＝2x， ，， ae2x+2＝e2x（ae﹣2x+2），ae2x+2＝a+2e2x， （a﹣2）e2x＝a﹣2，所以a＝2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题． 15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（2x﹣1）＝x，若f（m）＝﹣2，则f（m+4）＝（　　） A．2 B．log23 C．1 D．﹣1 【考点】奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】根据给定条件，求出当x≥0时的解析式，再求出m及目标值． 【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（2x﹣1）＝x， 令t＝2x﹣1≥0，则x＝log2（t+1），f（t）＝log2（t+1）≥0， 由函数f（x）是R上的奇函数，f（m）＝﹣2， 得f（﹣m）＝2，m＜0，则f（﹣m）＝log2（﹣m+1）＝2，解得m＝﹣3， 所以f（m+4）＝f（1）＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题． 16．若是奇函数，则（　　） A．，b＝﹣ln2 B．，b＝ln2 C．a＝﹣2，b＝0 D．a＝0，b＝0 【考点】奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】利用奇函数的定义域区间对称性求参数a，再由f（0）＝0求参数b，进而验证即可得． 【解答】解：若a＝0，则f（x）的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合题意， 若奇函数f（x）有意义，则x≠1且，所以x≠1且． 因为奇函数的定义域关于原点对称，由，解得a， 由f（0），所以b＝ln2． 所以f（x）＝ln||+ln2，经验证满足题设． 故选：B． 【点评】本题主要考查了奇函数定义及性质的应用，属于基础题． 17．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x），已知f（2x+1）和g（x+2）都是偶函数，且g（2）＝1，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2025 D．﹣2025 【考点】奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可求解． 【解答】解：已知f（2x+1）是偶函数，则f（﹣2x+1）＝f（2x+1），即f（x）关于x＝1对称， 求导得g（x）＝f′（x）关于点（1，0）对称，即g（1+x）＝﹣g（1﹣x）， 又g（x+2）是偶函数，故g（x）关于x＝2对称，即g（2+x）＝g（2﹣x）， 推导周期：由g（2+x）＝﹣g（﹣x）和g（2+x）＝g（2﹣x），得g（2﹣t）＝﹣g（t）， 令t→t+2，则g（t+4）＝g（t），周期T＝4， 计算一个周期内的和：已知g（2）＝1，由g（2）＝﹣g（0）得g（0）＝﹣1， 由g（x）关于（1，0）对称，g（1）＝0， 再由g（3）＝﹣g（1）＝0，故g（0）+g（1）+g（2）+g（3）＝﹣1+0+1+0＝0， 共2026项，2026＝4×506+2，剩余两项为g（0）和g（1）， 因此，1． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的周期性和奇偶性，属于中档题． 18．已知函数是奇函数，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【考点】奇函数偶函数的性质；抽象函数的奇偶性．版权所有 【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解． 【解答】解：函数的定义域为（﹣1，1）， 因为f（x）是奇函数， 所以恒成立， 所以a＝﹣a，即a＝0． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题． 19．已知函数f（x）＝（a•2x+2﹣x）sinx是奇函数，则a＝ 　1　 ． 【考点】奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】根据奇偶函数的性质可得函数h（x）＝a•2x+2﹣x是偶函数，再根据偶函数的定义求解即可． 【解答】解：因为f（x）＝（a•2x+2﹣x）sinx，且y＝sinx是奇函数， 所以函数h（x）＝a•2x+2﹣x是偶函数， 则h（﹣x）＝a•2﹣x+2x＝h（x）＝a•2x+2﹣x，对任意x都成立， 所以a＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题． 三．奇偶函数图象的对称性（共10小题） 20．若曲线关于点（1，﹣2）中心对称，则a＝（　　） A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4 【考点】奇偶函数图象的对称性．版权所有 【分析】根据函数的定义域为实数，对称中心在函数上得出． 【解答】解：因为函数f（x）的定义域为R，且f（x）关于点（1，﹣2）中心对称， 所以f（1）2，解得a＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的对称性应用问题，是基础题． 21．已知f（x）是定义在R上的奇函数，则以下函数中图象关于x＝1对称的是（　　） A．y＝（x﹣1）f（x﹣1） B．y＝（x+1）f（x+1） C．y＝xf（x）+1 D．y＝xf（x）﹣1 【考点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数的奇偶性．版权所有 【分析】根据函数的奇偶性与对称性的定义和性质，判断即可． 【解答】解：对于A，设g（x）＝（x﹣1）f（x﹣1），则g（2﹣x）＝（2﹣x﹣1）f（2﹣x﹣1）＝（1﹣x）f（1﹣x） ＝（1﹣x）f[﹣（x﹣1）]＝（x﹣1）f（x﹣1）＝g（x），所以g（x）的图象关于x＝1对称，选项A正确； 对于B，设h（x）＝（x+1）f（x+1），则h（2﹣x）＝（2﹣x+1）f（2﹣x+1）＝（3﹣x）f（3﹣x） ＝（3﹣x）f[﹣（x﹣3）]＝（x﹣3）f（x﹣3）≠h（x），所以h（x）的图象不关于x＝1对称，选项B错误； 对于C，设m（x）＝xf（x）+1，则m（2﹣x）＝（2﹣x）f（2﹣x）+1＝（2﹣x）f[﹣（x﹣2）]+1＝（x﹣2）f（x﹣2）+1≠m（x）， 所以m（x）的图象不关于x＝1对称，选项C错误； 对于D，设n（x）＝xf（x）﹣1，则n（2﹣x）＝（2﹣x）f（2﹣x）﹣1＝（2﹣x）f[﹣（x﹣2）]﹣1＝（x﹣2）f（x﹣2）﹣1≠n（x）， 所以n（x）的图象不关于x＝1对称，选项D错误． 故选：A． 【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性与对称性判断问题，是中档题． 22．已知函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣b）的图象关于点（0，y0）对称，则（　　） A．a+2b＝0 B．2a+b＝0 C． D． 【考点】奇偶函数图象的对称性．版权所有 【分析】由f（x）的图象关于点（0，y0）对称，所以f（x）+f（﹣x）＝2y0，令x＝0得，两式结合使等式恒成立得到2a+b＝0． 【解答】解：因为函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣b）的图象关于点（0，y0）对称， 所以f（x）+f（﹣x）＝2y0①， 令x＝0，可得f（0）+f（0）＝2y0，所以， 由①可得（x﹣a）2（x﹣b）+（﹣x﹣a）2（﹣x﹣b）＝﹣2a2b， 化简得﹣（4a+2b）x2＝0，要使得该等式恒成立，则2a+b＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的性质应用，考查计算能力，属于中档题． 23．已知函数的图象关于原点对称，则a＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】奇偶函数图象的对称性．版权所有 【分析】由奇函数的定义，转化为f（﹣x）+f（x）＝0恒成立问题求解即可． 【解答】解：因为f（x）＝（a）x2的定义域为R，且f（x）是奇函数， 所以f（﹣x）+f（x）＝0对任意x均成立， 即（a）（﹣x）2+（a）x2＝0对任意x都成立， 所以（a）+（a）＝0， 即2a2，解得a＝1． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的奇偶性应用问题，是基础题． 24．已知函数f（x）为R上的奇函数，若函数y＝g（x+2）与y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称，则g（4）＝（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【考点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数的奇偶性．版权所有 【分析】由已知结合函数的对称性及奇函数的性质进行转化即可求解． 【解答】解：已知函数f（x）是R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0． 函数y＝g（x+2）与y＝f（x）的图像关于点（1，0）对称， 根据对称的定义，对于f（x）上的任意一点（x，y），对应的g（x+2）上的点为（2﹣x，﹣y）， 因此，当x′＝2﹣x时，有g（x′+2）＝﹣y⇒g（4﹣x）＝﹣f（x）， 令t＝4﹣x，则x＝4﹣t，代入得g（t）＝﹣f（4﹣t）＝g（x）＝﹣f（4﹣x）， 代入x＝4，得g（4）＝﹣f（4﹣4）＝﹣f（0）＝0， 因此g（4）＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数求值中的应用，属于中档题． 25．若函数的图象关于（2，2）对称，且a≠1，则实数a＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．5 【考点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数的奇偶性．版权所有 【分析】根据f（x）的图象关于（2，2）对称，取特殊值f（1）+f（3）＝4，构造关于a的方程求解． 【解答】解：因为函数的图象关于（2，2）对称， 所以定义域关于x＝2对称， 则0的解为x＜﹣1或x＞﹣a， 所以2，解得a＝﹣5，经检验a＝﹣5符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查函数的对称性及应用，属于中档题． 26．已知函数，定义域为R的函数g（x）满足g（﹣x）+g（x）＝6，若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象有四个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则（　　） A．0 B．4 C．8 D．12 【考点】奇偶函数图象的对称性．版权所有 【分析】先判断函数f（x）与g（x）的图象都关于（0，3）对称，然后结合对称性即可求解． 【解答】解：因为3， 显然y为奇函数，图象关于原点对称， 故f（x）的图象关于（0，3）对称， 因为g（x）+g（﹣x）＝6，则g（x）的图象也关于（0，3）对称， 则f（x）与g（x）的交点也关于（0，3）对称， 若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象有四个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）， 则x1+x2+x3+x4+（y1+y2+y3+y4）＝0+6+6＝12． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数对称性的应用，属于基础题． 27．已知函数f（x）定义域为R，且满足f（x）＝6﹣f（﹣x），，若f（x）的图象与g（x）的图象的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（　　） A．0 B．m C．2m D．3m 【考点】奇偶函数图象的对称性．版权所有 【分析】判断f（x）与g（x）图象的对称性，从而求得． 【解答】解：因为f（x）＝6﹣f（﹣x），f（﹣x）＝6﹣f（x）， 所以f（x）的图象关于点（0，3）对称， 令h（x）， 因为 所以h（x）是奇函数， 所以g（x）＝h（x）+3的图象关于点（0，3）对称， 所以f（x），g（x）的图象的交点关于（0，3）对称， 所以． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及对称性的应用，属于中档题． 28．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝2，若函数与f（x）的图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则y1+y2+…+ym＝（　　） A． B．m C．2m D．4m 【考点】奇偶函数图象的对称性．版权所有 【分析】根据函数对称性可解． 【解答】解：由f（x）+f（4﹣x）＝2可知f（x）的图象关于点（2，1）对称， 由函数，g（4﹣x）， 所以g（x）+g（4﹣x）2， 故g（x）的图象关于点（2，1）对称，因此f（x）与g（x）图象交点也关于点（2，1）对称， 设交点（x1，y1）与（xm，ym）关于点（2，1）对称， 则有y1+ym＝2，由此可得y1+y2+...． 故选：B． 【点评】本题考查函数对称性相关知识，属于中档题． 29．已知函数f（x）＝ln（ex+1）+kx（k∈R）是偶函数，则（　　） A．f（log0.20.3）＞f（log20.3）＞f（k） B．f（k）＞f（log20.3）＞f（log0.20.3） C．f（log20.3）＞f（log0.20.3）＞f（k） D．f（log0.20.3）＞f（k）＞f（log20.3） 【考点】奇偶函数图象的对称性；奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】由函数为偶函数，可得，从而，根据其单调性比较大小． 【解答】解：因为f（x）＝ln（ex+1）+kx（k∈R）是偶函数， 所以f（﹣x）＝ln（e﹣x+1）﹣kx＝ln（ex+1）+kx＝f（x）， 整理，得2kx＝ln（）﹣ln（ex+1）＝﹣x， 所以， 即， 令，则t∈（1，+∞），由对勾函数的单调性可知，在（1，+∞）上单调递增， 于是在（1，+∞）上单调递增，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增． 且． ， ， 因此f（log20.3）＞f（log0.20.3）＞f（k）． 故选：C． 【点评】本题考查奇偶函数的对称性及复合函数单调性的应用，属于中档题． 四．奇偶性与单调性的综合（共9小题） 30．已知函数f（x）＝sin（2x﹣2）﹣e1﹣x+ex﹣1+2，（x∈R）．若f（2a2）+f（1﹣a）＜4，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】奇偶性与单调性的综合．版权所有 【分析】先通过对变量替换，即令t＝x﹣1，将原函数变为f（x）＝g（t）+2，通过求导判断g（t）的单调性，利用其严格递增性将原不等式转化为2a2﹣1＜a，最终求解一元二次不等式． 【解答】解：f（x）＝sin（2x﹣2）﹣e1﹣x+ex﹣1+2， 令t＝x﹣1，则原函数可改写为与y＝sin（2t）+（et﹣e﹣t）+2， 令g（t）＝sin（2t）+（et﹣e﹣t）， 则g（﹣t）＝sin（﹣2t）﹣（et﹣e﹣t）＝﹣g（t），故g（t）是奇函数， 所以g′（t）＝2cos（2t）+et+e﹣t，又et+e﹣t≥2，当且仅当t＝0时取等号，且2cos（2t）≥﹣2， 所以g′（t）＞0， 因此g（t）在R上严格递增， 原不等式f（2a2）+f（1﹣a）＜4转化为[g（2a2﹣1）+2]+[g（﹣a）+2]＜4，即g（2a2﹣1）＜﹣g（﹣a）， 因为g（t）为奇函数，即g（﹣a）＝﹣g（a），所以g（2a2﹣1）＜g（a）， 故2a2﹣1＜a，所以2a2﹣a﹣1＜0，得． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 31．若函数，则关于a的不等式f（a2+a）+f（a﹣a2﹣1）＞0的解集是（　　） A． B． C． D． 【考点】奇偶性与单调性的综合．版权所有 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性；再根据函数的性质将不等式转化为关于a的二次不等式，求解即可． 【解答】解：由，解得﹣1＜x＜1， 又因为， 所以f（x）是奇函数． 又因为， 函数y＝ln（1﹣x），y＝﹣ln（1+x），y＝﹣sinx在（﹣1，1）上均为减函数， 所以f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数． 则不等式f（a2+a）+f（a﹣a2﹣1）＞0可化为f（a2+a）＞﹣f（a﹣a2﹣1）， 即f（a2+a）＞f（a2﹣a+1）， 所以﹣1＜a2+a＜a2﹣a+1＜1，解得． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题． 32．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），且f（x）在[﹣2，2]上单调递增．设，，c＝f（﹣13），则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【考点】奇偶性与单调性的综合．版权所有 【分析】由已知先求出函数的周期，然后结合周期性，对称性及函数的单调性可比较a，b，c的大小． 【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（4﹣x）， 所以f（4+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以f（8+x）＝f（x），即函数的周期为8， 因为f（x）在[﹣2，2]上单调递增，且f（x）的图象关于x＝2对称， ，f（），c＝f（﹣13）＝f（﹣5）＝f（3）＝f（1）， 又f（）＜f（1）＜f（）， 所以b＜c＜a． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性及对称性，周期性在函数值大小比较中的应用，属于中档题． 33．已知函数，则f（2x）+f（x﹣3）＞0的解集是（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣3） D．（﹣3，+∞） 【考点】奇偶性与单调性的综合．版权所有 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可． 【解答】解：当x＞0时，f（x）＝1﹣ex，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣（﹣x）﹣1＝ex﹣1＝﹣f（x）； 当x＜0时，f（x）＝e﹣x﹣1，﹣x＞0，f（﹣x）＝1﹣e﹣x＝﹣f（x）； 且当x＝0时，f（x）＝0， 故f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立， 所以f（x）为奇函数， 易知f（x）为R上的递减函数， 则f（2x）+f（x﹣3）＞0可转化为f（2x）＞﹣f（x﹣3）＝f（3﹣x）， 所以2x＜3﹣x，解得x＜1， 所以原不等式的解集为（﹣∞，1）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 34．函数f（x）的定义域为R，对任意的x∈[1，+∞），t∈（0，+∞），都有f（x+t）＜f（x）成立，且函数f（x+1）为偶函数，则（　　） A．f（﹣2）＜f（﹣1）＜f（2） B．f（﹣2）＜f（2）＜f（﹣1） C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣2） D．f（﹣1）＜f（2）＜f（﹣2） 【考点】奇偶性与单调性的综合；抽象函数的奇偶性．版权所有 【分析】由函数的对称性和减函数的性质即可判断． 【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，函数图象关于y轴对称， 所以函数f（x）图象关于直线x＝1对称， 对任意的x∈[1，+∞），t∈（0，+∞），都有f（x+t）＜f（x）成立， 所以，故f（x）在[1，+∞）上单调递减， 所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，故f（﹣2）＜f（﹣1）＜f（0）＝f（2）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数的单调性及对称性的应用，属于基础题． 35．已知函数f（x）＝3x3﹣2x+ex﹣e﹣x+1，若f（2a﹣3）+f（a2）≤2，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣3，1] B．[﹣1，3] C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） 【考点】奇偶性与单调性的综合．版权所有 【分析】把原函数构造成奇函数部分与常数项，即g（x）＝f（x）﹣1，其中g（x）＝3x3﹣2x+ex﹣e﹣x为奇函数，求导证明g（x）在R上单调递增．利用奇函数性质将不等式转化成g（2a﹣3）+g（a2）≤0，再利用函数单调性转化为代数不等式2a﹣3≤﹣a2，从而求解． 【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣1＝3x3﹣2x+ex﹣e﹣x，则g（x）为奇函数． g′（x）＝9x2﹣2+ex+e﹣x，根据均值不等式ex+e﹣x≥2，且9x2﹣2≥﹣2，故g′（x）≥0，当且仅当x＝0时，g′（0）＝0， 故g（x）在R上单调递增． 不等式f（2a﹣3）+f（a2）≤2可化为g（2a﹣3）+g（a2）+2≤2⇒g（2a﹣3）+g（a2）≤0， 根据奇函数性质g（﹣x）＝﹣g（x），g（2a﹣3）≤﹣g（a2）＝g（﹣a2） 因为g（x）单调递增，所以2a﹣3≤﹣a2，即a2+2a﹣3≤0 解不等式得：a∈[﹣3，1] 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 36．若定义在R上的奇函数f（x），对∀x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2有，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（　　） A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣1，0]∪[1，3] C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣3，﹣1]∪[0，1] 【考点】奇偶性与单调性的综合．版权所有 【分析】利用函数f（x）的奇偶性和在（﹣∞，0）上的单调性，判断函数f（x）在R上的单调性，从而得到函数f（x）的正负，分x＞0、x＝0、x＜0三种情况讨论，得到使得xf（x﹣1）≥0成立的x的取值范围． 【解答】解：因为对∀x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2有，f（2）＝0， 所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减， 根据奇函数的对称性可知，f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝﹣f（2）＝0， 当x＞0时，要使得xf（x﹣1）≥0，则要求f（x﹣1）≥0，所以0≤x﹣1≤2，解得1≤x≤3； 当x＝0时，xf（x﹣1）＝0符合； 当x＜0时，要使得xf（x﹣1）≥0，则要求f（x﹣1）≤0，所以﹣2≤x﹣1≤0，解得﹣1≤x＜0； 综上，x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]， 故选：B． 【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 37．已知函数（e是自然对数的底数），若f（x﹣6）+f（x2）＞4，则实数x的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣3，2） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） 【考点】奇偶性与单调性的综合．版权所有 【分析】根据奇偶性定义判断函数f（x）﹣2的奇偶性，再由对数函数、复合函数的单调性判断函数f（x）﹣2的单调性，最后应用奇函数、单调性解不等式即可． 【解答】解：，定义域为R， 所以，故f（x）﹣2在R上为奇函数， 又在（0，+∞）上单调递减，且在R上连续， 根据奇函数的对称性可知，f（x）﹣2在R上单调递减， 由f（x2）﹣2＞﹣[f（x﹣6）﹣2]＝f（6﹣x）﹣2，可得x2＜6﹣x， 解得﹣3＜x＜2， 所以不等式解集为（﹣3，2）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 38．函数，若f（1﹣a）＜f（a），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】奇偶性与单调性的综合．版权所有 【分析】先求出﹣2＜x＜0时的函数解析式，然后判断函数的单调性，结合函数单调性即可求解不等式． 【解答】解：因为， 当﹣2＜x＜0时，0＜﹣x＜2，f（﹣x）＝2﹣log2（x+2）， 所以2﹣f（﹣x）＝log2（x+2）， 所以f（x）， 当0≤x＜2时，f（x）＝2﹣log2（2﹣x）单调递增，f（0）＝1， 当﹣2＜x＜0时，f（x）＝log2（x+2），且f（x）在x＝0处连续， 故f（x）在（﹣2，2）上单调递增， 若f（1﹣a）＜f（a），则﹣2＜1﹣a＜a＜2， 解得． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于中档题． 五．抽象函数的奇偶性（共8小题） 39．已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，f（x+1）为奇函数，f（2x﹣1）为偶函数，则（　　） A．f（﹣3）＝0 B．f（0）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0 【考点】抽象函数的奇偶性．版权所有 【分析】由f（x+1）为奇函数，可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），f（1）＝0，由f（2x﹣1）为偶函数，可得f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），利用赋值法求得f（﹣3）＝0，即可判断A； 设f（0）＝m，利用赋值法逐一判断BCD． 【解答】解：因为f（x+1）为奇函数， 所以f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）， 所以函数的图象关于（1，0）中心对称，且f（1）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x+2）， 又因为f（2x﹣1）为偶函数， 所以f（﹣2x﹣1）＝f（2x﹣1）， 即f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1）， 所以函数的图象关于x＝﹣1对称，且f（﹣x）＝f（x﹣2）， 所以﹣f（x+2）＝f（x﹣2）， 即﹣f（x+4）＝f（x），f（x+4）＝﹣f（x）， 所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x）， 函数y＝f（x）为周期函数，8为最小正周期， 在f（﹣x）＝f（x﹣2）中， 令x＝﹣1，则有f（1）＝f（﹣3）＝0，故A正确； 设f（0）＝m， 在f（﹣x）＝﹣f（x+2）中， 令x＝0， 则f（0）＝﹣f（2）＝m， 所以f（2）＝﹣m， 在f（﹣x）＝f（x﹣2）中， 令x＝0， 则f（0）＝f（﹣2）＝m， 若m≠0，函数仍可满足所有条件， 所以f（0）＝0不一定成立，故B错误； 由B可知f（2）＝﹣m， 当m≠0，函数仍可满足所有条件， 即f（2）＝0不一定成立，故C错误； 在f（﹣x）＝﹣f（x+2）中， 令x＝2， 则有f（4）＝﹣f（﹣2）＝﹣m， 由前面分析可知f（4）＝0不一定成立，故D错误． 故选：A． 【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，考查了利用赋值法求抽象函数的值，属于中档题． 40．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x﹣1），且f（x﹣1）是奇函数，则下列结论错误的是（　　） A．f（﹣1）＝0 B．f（0）＝f（2） C．f（﹣4）＝f（4） D．f（11）＝﹣1 【考点】抽象函数的奇偶性．版权所有 【分析】根据已知条件，结合函数奇偶性特点，得到函数关系式，通过代入特殊值逐个选项判断即可求解． 【解答】解：因为f（x+3）＝﹣f（x﹣1）， 即f（x+4）＝﹣f（x）， 所以f（x+8）＝﹣f（x＝4）＝f（x）， 由此可知f（x）为周期为8的周期函数， 又因为f（x﹣1）是奇函数， 所以f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1）， 因为f（x+3）＝﹣f（x﹣1）， 所以f（x+3）＝f（﹣x﹣1）； 对于A，根据f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1）， 令x＝0， 得f（﹣1）＝﹣f（﹣1），解得f（﹣1）＝0，故A正确； 对于B，根据f（x+3）＝f（﹣x﹣1）， 令x＝﹣1， 得f（0）＝f（2），B正确； 对于C，根据f（x+8）＝f（x）， 令x＝﹣4， 得f（﹣4）＝f（4），C正确； 对于D，根据f（x+8）＝f（x），得f（11）＝f（3）， 又根据f（x+3）＝f（﹣x﹣1）， 将x＝0代入， 得f（3）＝f（﹣1）， 由A可知f（﹣1）＝0， 所以f（3）＝0， 所以f（11）＝f（3）＝f（﹣1）＝0，所以D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，属于中档题． 41．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，且f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（0）＝1，则（　　） A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1 【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．版权所有 【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得f（0），f（1），f（2），f（3），结合函数的周期性，即可求得答案． 【解答】解：因为f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（0）＝1， 所以f（y）+f（﹣y）＝2f（y），所以f（﹣y）＝f（y）， 所以f（x）为偶函数； 又f（x+1）为奇函数， 所以f（﹣x+1）+f（x+1）＝0，且f（1）＝0， 又f（2）＝﹣f（0）＝﹣1； 因为f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）， 所以f（x+2）＝﹣f（﹣x），又f（﹣x）＝f（x）， 所以f（x+2）＝﹣f（x）， 所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期为4， 所以f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝0， 所以f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝1+0﹣1+0＝0， 所以． 故选：B． 【点评】本题考查抽象函数的综合应用，属中档题． 42．已知函数f（x）的定义域为R，函数y＝f（x+3）+2是奇函数，则（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10 【考点】抽象函数的奇偶性．版权所有 【分析】根据函数图象变换以及奇函数性质，可得函数y＝f（x）的图象关于（3，﹣2）中心对称，得到f（x）+f（6﹣x）＝﹣4，进而求得f（1）+f（5），f（2）+f（4），f（3）即可得答案． 【解答】解：因为y＝f（x+3）+2是奇函数， 所以f（﹣x+3）+2+f（x+3）+2＝0， 所以f（﹣x+3）+f（x+3）＝﹣4， 所以y＝f（x）的图象关于（3，﹣2）中心对称， 所以f（x）+f（6﹣x）＝﹣4， 因此f（1）+f（5）＝﹣4，f（2）+f（4）＝﹣4，f（3）＝﹣2， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查抽象函数的性质，属中档题． 43．定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x+2）为奇函数，已知当0≤x≤1时，f（x）＝ex﹣1，则下列结论错误的是（　　） A．f（x+4）＝f（x） B．f（x）在区间[9，11]上单调递减 C． D． 【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．版权所有 【分析】由题意有f（2﹣x）+f（2+x）＝0，又f（1+x）＝f（1﹣x），即可推出f（x+4）＝f（x），进而判断A，作出f（x）在[0，4]的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D． 【解答】解：因为f（x+2）为奇函数， 所以f（﹣x+2）+f（x+2）＝0， 又f（1+x）＝f（1﹣x），所以f（﹣x+2）＝f（x）， 所以f（x+2）+f（x）＝0，所以f（x+4）+f（x+2）＝0， 所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以A选项正确； 因为f（1+x）＝f（1﹣x），f（2﹣x）+f（2+x）＝0 所以f（x）关于x＝1对称，且关于（2，0）对称， 当0≤x≤1时，f（x）＝ex﹣1，作出函数f（x）的图像： 由图可知f（x）在（1，3）单调递减，f（x）的周期为4， 可得f（x）＝f（x﹣2×4）＝f（x﹣8）， 所以当9≤x≤11，1≤x﹣8≤3，即f（x）在[9，11]的图像与[1，3]的图像一致， 所以f（x）在[9，11]单调递减，所以B选项正确； 由，又，f（x）在（1，3）单调递减， 所以，所以C选项错误； 因为f（1）＝e﹣1，f（2）＝0，f（3）＝f（1+2）＝﹣f（2﹣1）＝﹣f（1）＝1﹣e，f（4）＝f（0）＝e0﹣1＝0， 所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0， 所以，所以D选项正确， 故选：C． 【点评】本题考查抽象函数的综合应用，属中档题． 44．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2x+1）为奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2对称，则（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．版权所有 【分析】根据题意易得f（﹣2x+1）+f（2x+1）＝0，f（2﹣x）＝f（2+x），f（1）＝0，从而可得f（x）的周期为4，进而利用周期性，即可求解． 【解答】解：因为定义在R上的函数f（x）满足f（2x+1）为奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2对称， 所以f（﹣2x+1）+f（2x+1）＝0，f（2﹣x）＝f（2+x），f（1）＝0， 所以f（﹣x）+f（x+2）＝0，f（﹣x）＝f（x+4）， 所以f（x+4）+f（x+2）＝0，所以f（x+2）+f（x）＝0， 所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4， 又f（1）＝0，f（2）＝﹣f（0）＝﹣f（4），所以f（2）+f（4）＝0，f（3）＝f（1）＝0， 所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0， 又2025＝506×4+1， 所以506×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝506×0+0＝0． 故选：B． 【点评】本题考查抽象函数的求值问题，抽象函数的性质的综合应用，属中档题． 45．设f（x），g（x）是定义在R上的函数，则下列说法正确的是（　　） A．若f（f（x））为偶函数，则f（x）为偶函数 B．若f（f（x））为奇函数，则f（x）为奇函数 C．若f（x）为单调函数且f（g（x））为周期函数，则g（x）为周期函数 D．若f（g（x））为单调函数且g（x）为单调函数，则f（x）为单调函数 【考点】抽象函数的奇偶性；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合．版权所有 【分析】根据题意，据此反例可得A、B、D错误，结合函数单调性和周期性的定义分析C，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，举出反例， 当x≠±1时，f（f（x））＝f（|x|）＝|x|，且f（f（﹣1））＝f（1）＝0，f（f（1））＝f（0）＝0，所以 f（f（x））是偶函数，但f（x）不是偶函数；A错误． 对于B， 当 x∉{1，2}时，f（f（x））＝f（x）＝x，且f（f（1））＝f（2）＝1，f（f（2））＝f（1）＝2， 所以f（f（x））恒等于x，单调递增且奇函数，但f（x）不是单调函数也不是奇函数．B错误， 对于C，若f（x）为单调函数且f（g（x））为周期函数， 必存在非零常数T，满足g（x+T）＝g（x），C正确； 对于D，若g（x）的值域不是R，则无法判断该值域以外的部分f（x）是否单调， 例如g（x）＝ex，f（x）＝|x|，D错误． 故选：C． 【点评】本题考查函数奇偶性和周期性的综合应用，涉及函数单调性，属于基础题． 46．已知函数f（x）的定义域是R，是偶函数，f（x）+f（6﹣x）＝0，当时，f（x）＝4x﹣2x2，则f（2024）＝（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2 D．2 【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性；函数的值．版权所有 【分析】根据是偶函数，可得，即可得到f（﹣x）＝f（x+3），结合f（x）+f（6﹣x）＝0可得函数f（x）为周期为6的函数，进而求解即可． 【解答】解：因为是偶函数，所以f（x）＝f（x）， 所以f（﹣x）＝f（x+3）， 又f（x）+f（6﹣x）＝0，所以f（﹣x）+f（x+6）＝0， 所以f（x+3）+f（x+6）＝0，所以f（x）+f（x+3）＝0， 所以f（x+6）＝f（x）， 所以f（x）的周期为6， 所以f（2024）＝f（6×337+2）＝f（2）＝f（1）＝4×1﹣2×12＝2． 故选：D． 【点评】本题考查抽象函数的性质，属中档题． 课后针对训练 一、单选题 1．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的偶函数，且，若，则（   ） A．0 B．2 C．8 D．10 6．函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数 三、填空题 9．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 10．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意，恒成立，则实数t的取值范围为 ． 11．已知是定义在上的函数，，且函数为奇函数，为偶函数，则 ． 12．已知且，若函数为偶函数，则 ． 13．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 14．研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； （15）的图象关于直线 对称； （16）的图象关于点 对称． 四、解答题 15．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 16．已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 17．①若是偶函数，且是偶函数，则有何特性？ ②若是奇函数，且是奇函数，则有何特性？ ③若是偶函数，且是奇函数，则有何特性？ ④若是奇函数，且是偶函数，则有何特性？ 18．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B A B C A BCD 1．B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 2．D 【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论． 【详解】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是奇函数，符合题意． 故选：D． 3．B 【分析】根据，知函数周期，利用函数的周期性与对称性将，，转移到同一个单调区间，再利用函数的单调性比较函数值的大小． 【详解】因为定义在上的偶函数在上为增函数， 所以在上单调递减，又因为，，即函数周期， 所以，，又，所以， 故选：B． 4．A 【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可. 【详解】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 5．B 【分析】由得到的周期为4，再结合可得，，代入计算即可. 【详解】∵是偶函数，∴ 因为. 所以则. 令得，，即，∴ ，所以4为函数的一个周期. 所以 故选：B. 6．C 【分析】由题可得，设，可判断函数的单调性及奇偶性，再利用单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】， ， 又，且，则，， 设，则， 所以在单调递增， 又函数是定义域为的偶函数，所以也是上的偶函数， 又，所以，即， 则，解得. 故选：C. 7．A 【分析】根据，设函数，则在上递增，判断也是是定义在R上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则，即：，所以， 或，即：，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 8．BCD 【分析】由奇函数性质知，根据递推式并代入判断A；且，应用周期性求函数值判断B；根据及对称中心判断C；奇偶性定义判断D. 【详解】A：是定义在上的奇函数，所以， 又满足，令，所以，错； B：由，可知， 所以， 所以，对； C：因为，所以是图象的对称轴， 又为图象的一个对称中心，所以是图象的一个对称中心，对； D：因为，所以，即为偶函数，对. 故选：BCD 9． ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 10． 【分析】由题意可得在上单调递增，由已知可得，可得，进而可求得数t的取值范围. 【详解】因为当时，，所以在上单调递增， 又函数是定义在R上的奇函数，所以，所以， 所以，又在上单调递增，所以在上单调递增， 对任意，， 当时，，可得， 当，，则，所以， 当时，，所以， 则， 从而，，，得． 所以实数t的取值范围为. 故答案为：. 11． 【分析】由函数奇偶性及对称性可得，即周期为16，再根据周期性求值即可. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 令可得，即，又 因为为偶函数，所以，即， 所以，则， 即，所以函数的周期为16， 故，， 所以． 故答案为：. 12．2 【分析】由函数奇偶性的定义即可得出答案. 【详解】定义域为 因为为偶函数， 所以， 化简得， 因为，所以，得， 因为，所以 故答案为： 13． 【分析】由偶函数的对称性确定区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可得. 【详解】由偶函数的对称性，且在上是增函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，可得，则， 而，故. 故答案为： 14． 【分析】特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令，逐一验证即可求解； 严格推理的方法，利用对称性的定义验证，若，对称轴为，若，则对称中心为，逐一验证即可求解. 【详解】破招方法1：用特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令， （1）令，再令，则，所以图象的对称中心为． （2）若是奇函数，则，令，则，所以图象的对称中心为； （3）若是奇函数，则，令，则，所以，则图象的对称中心为； （4）若是偶函数，则，令，则，则图象的对称轴是； （5）若是偶函数，则，令，则，图象的对称轴是； （6）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （7）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （8）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （9）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （10）若是偶函数，则，令，则，则，则图象的对称轴是； （11）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （12）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； 破招方法2：用严格推理的方法， （13）若的图象关于点对称，令，所以， 即， 所以的图象关于点中心对称； （14）若的图象关于直线对称，则，则，即，则图象的对称轴是； （15），则，则，则的图象关于直线对称； （16），则，则，则的图象关于点对称 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，. 15．(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 17．①的周期是；②的周期是；③的周期是；④的周期是． 【分析】对于①，利用偶函数的性质，可得，可得结论；对于②，利用奇函数的性质，可得，可得结论；对于③，利用奇偶函数的性质，可得，可得结论；对于④，利用奇偶函数的性质，可得，可得结论. 【详解】对于①，若是偶函数，则，所以， 又是偶函数，所以，所以， 所以，所以，所以是周期为6的周期函数； 对于②，若是奇函数，则，所以， 且是奇函数，所以，所以， 所以，所以，所以是周期为6的周期函数； 对于③，若是偶函数，则，所以， 又是奇函数，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以是周期为12的周期函数； 对于④，若是奇函数，则，所以， 又是偶函数，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以是周期为12的周期函数. 18．(1)； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】本题是函数性质的综合应用题，（1）已知函数奇偶性求参数的值；（2）是利用定义证明函数的单调性；（3）是利用函数单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，进一步求解参数的取值范围. 【详解】解：（1）因为的定义域为，且是奇函数, 所以，解得， 此时， 则，满足题意， 所以． （2）由（1）可得，函数在上单调递减，证明如下： 在上任取且， 则， 因为且，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减． （3）因为， 所以， 由（2）可知函数在上单调递减，所以， 即在上恒成立， 则，或 所以或，即． 所以实数的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$