6.4三角函数、解三角形及其综合问题讲义-2026届高三数学一轮复习

§6.4 三角函数、解三角形及其综合问题 目录 题型1：三角恒等变换与三角函数性质的综合问题 2 题型2： 三角函数图像、性质与三角恒等变换的综合问题 2 题型3： 解三角形与三角变换的综合问题 3 题型4：三角形面积与三角变换的综合问题 4 题型5：解三角形、平面向量与三角变换的综合问题 5 题型6：三角函数与解三角形的开放型综合问题 7 【强化训练】 8 题型1：三角恒等变换与三角函数性质的综合问题 方法提炼 先将化为的形式，再构造（其中为辅助角），利用研究三角函数的性质. 【例1.1.】 若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间． （2）若对任意的，方程（其中）始终有两个不同的根，． ①求实数的值； ②求的值． 【例1.3.】 已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围． 【例1.4.】 已知． （1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调递增区间； （2）若时，方程恰好有两个解，求实数的取值范围． 题型2： 三角函数图像、性质与三角恒等变换的综合问题 方法提炼 先由给定的图像特征求出函数表达式，再利用三角变换将函数式化为的形式，最后借助图像变换的方法得到新的函数并研究其性质. 【例2.1.】 已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间. 【例2.2.】 已知函数（）图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求的单调递增区间以及图象的对称中心坐标； (2)是否存在锐角，，使，同时成立？若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由． 【例2.3.】 已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为. (1)求的解析式与单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和. 题型3： 解三角形与三角变换的综合问题 方法提炼 首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正、余弦定理，求解所求问题. 【例3.1.】 在中，角所对的边分别为，若， (1)若为内的一点，且，求； (2)求角的最大值. 【例3.2.】 已知锐角三角形的内角的对边分别为，，，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【例3.3.】 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求A； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 题型4：三角形面积与三角变换的综合问题 方法提炼 (1) 求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，沟通角与边. (2) 已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角或利用已知角求出角的两边间的关系. (3) 已知与三角形面积有关的关系式解三角形，常选用关系式中的角作面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形. 【例4.1.】 如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 【例4.3.】 已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 【例4.4.】 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求c的值以及的面积； (2)若，求的值以及的取值范围． 【例4.5.】 已知函数. (1)求的最小值及相应的值； (2)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值. 题型5：解三角形、平面向量与三角变换的综合问题 方法提炼 首先利用向量知识建立三角函数关系式，然后利用和角、差角、倍角、半角公式解三角函数关系式，最后利用正、余弦定理求解问题. 【例5.1.】 已知，，. (1)求函数单调递增区间； (2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值. 【例5.2.】 在中，角的对边分别为.设向量，，记. (1)求函数的最大值； (2)若，求的面积. 【例5.3.】 已知分别为三个内角的对边，向量，. (1)求； (2)若.求的面积. 【例5.4.】 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，． (1)求A的大小； (2)若是等腰三角形，且，在AB边上有一点M，点N是的重心，，求． 【例5.5.】 如图，在中，． (1)求； (2)若点在边上，，求． 题型6：三角函数与解三角形的开放型综合问题 方法提炼 1. 利用正弦定理解三角形的类型：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断). 2. 利用余弦定理解三角形的类型：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边或三边的关系求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的. 【例6.1.】 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：设的内角，，的对边分别为，，，且，，______. (1)求； (2)求的周长. 注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分. 【例6.2.】 在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答． 在中，角，，边分别为，，，且________． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【例6.3.】 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线BD交AC于点． (1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求的大小． ①；②；③． (2)若，求的取值范围． 【强化训练】 1. 函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上的值域为 D．若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为 4. （多选）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，的最小值为1 D．若为锐角三角形，则的取值范围为 5. 已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则 . 6. 已知函数. （1）求函数在上的单调区间； （2）若，，求的值. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 8. 在中，、、分别为内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，，求面积的最大值． 9. 将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象. （1）求函数的解析式及单调递增区间； （2）在中，内角的对边分别为，若，，求的面积. 10. 已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为. （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围. 11. 已知向量 (1)求函数的单调递增区间和对称中心； (2)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §6.4 三角函数、解三角形及其综合问题 目录 题型1：三角恒等变换与三角函数性质的综合问题 2 题型2： 三角函数图像、性质与三角恒等变换的综合问题 4 题型3： 解三角形与三角变换的综合问题 8 题型4：三角形面积与三角变换的综合问题 12 题型5：解三角形、平面向量与三角变换的综合问题 17 题型6：三角函数与解三角形的开放型综合问题 23 【强化训练】 28 题型1：三角恒等变换与三角函数性质的综合问题 方法提炼 先将化为的形式，再构造（其中为辅助角），利用研究三角函数的性质. 【例1.1.】 若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，，所以， 因为区间上恰有唯一对称轴，故， 解得. 故选：D 【例1.2.】 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间． （2）若对任意的，方程（其中）始终有两个不同的根，． ①求实数的值； ②求的值． 【答案】（1）；（2）①，②或． 【详解】（1） ， 则的最小正周期为, 令，则， 因此函数的单调递减区间为，（）． （2）①当时，，则，得． ②根据三角函数图象的对称性，可得或， 解得或． 【例1.3.】 已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期，对称中心为 (2) 【详解】（1）      =      =      = = 所以，最小正周期， 由，得 所以，对称中心为． （2）因为，所以， 由正弦曲线可得． 【例1.4.】 已知． （1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调递增区间； （2）若时，方程恰好有两个解，求实数的取值范围． 【答案】（1），单调递增区间为：；（2）． 【详解】解：（1） ， 因为最小正周期， 又， 所以，即， 所以令，解得，， 所以的单调递增区间为：，，． （2）因为时，，，恰好有两个解，即恰好有两个解， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是． 题型2： 三角函数图像、性质与三角恒等变换的综合问题 方法提炼 先由给定的图像特征求出函数表达式，再利用三角变换将函数式化为的形式，最后借助图像变换的方法得到新的函数并研究其性质. 【例2.1.】 已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间. 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为， (2) 【详解】（1）， ， 所以函数的最小正周期为， 令，，得函数的对称轴方程为， （2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为， 所以， 令， 所以.又， 所以在上的单调递减区间为. 【例2.2.】 已知函数（）图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求的单调递增区间以及图象的对称中心坐标； (2)是否存在锐角，，使，同时成立？若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)递增区间为（）；对称中心的坐标为（） (2)存在；， 【详解】（1）解： ， 由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得． 所以， 由（），得（）， 所以的递增区间为（）， 由（），得（）； 所以图象的对称中心的坐标为（）． （2）解：存在． 因为，， 所以， 所以． 又，，所以， 即，即， 即，即， 所以，由为锐角，得，所以，，从而． 故存在，符合题意． 【例2.3.】 已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为. (1)求的解析式与单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和. 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为， 所以的最小正周期为，即可得， 又为奇函数，则， 又，所以，故. 令，得， 所以函数的递减区间为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 又，则或， 即或. 令，当时，， 画出的图象如图所示： 的两个根对应的点关于直线对称，即， 有， 在上有两个不同的根， 所以； 又的根为， 所以方程在内所有根的和为. 题型3： 解三角形与三角变换的综合问题 方法提炼 首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正、余弦定理，求解所求问题. 【例3.1.】 在中，角所对的边分别为，若， (1)若为内的一点，且，求； (2)求角的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）可化为， 在中，，得， 又，所以，因为，所以， 因为， 所以， 则； （2）化为边的关系， 又， 因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以. 【例3.2.】 已知锐角三角形的内角的对边分别为，，，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，即， 由于，则，即， 两边同乘以可得：， 则，且，解得. （2）由题意及正弦定理，得，， 则 ， 由（1）可知，且为锐角三角形， 则，解得， 则，所以， 故的取值范围是. 【例3.3.】 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求A； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又，即， ∴， 又∵， ∴. （2）由（1）知， ①当时，因为，所以，即，与△ABC为锐角三角形矛盾，所以不成立； ②当时，因为，所以， 所以． 由，得． 所以， 故． 因为，所以，， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 题型4：三角形面积与三角变换的综合问题 方法提炼 (1) 求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，沟通角与边. (2) 已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角或利用已知角求出角的两边间的关系. (3) 已知与三角形面积有关的关系式解三角形，常选用关系式中的角作面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形. 【例4.1.】 如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象向左平移最小个单位得到， 则， 又， 所以，即， 所以， 三角形的面积， 即， 又函数的周期为， 所以，联立， 解得：， 所以， 故选：A 【例4.2.】 已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）． 【详解】解：（1） ． 的最小正周期为：； 当时， 即当时，函数单调递减， 所以函数单调递减区间为：； （2）因为，所以 ，， ，． 设边上的高为，所以有， 由余弦定理可知：， ，， （当用仅当时，取等号），所以， 因此边上的高的最大值. 【例4.3.】 已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）∵， 由正弦定理可得：， 由余弦定理知：，， 可得， 则有，由，解得. （2） 中由余弦定理知，又在中有， ∴，化简得， ∵，∴. 又，由正弦定理得：，， ， 因在中，，，， 所以，当时，等号成立， ∴周长的取值范围是． 【例4.4.】 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求c的值以及的面积； (2)若，求的值以及的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：由，可得， 因为，所以，所以，可得， 由余弦定理得， 所以的面积． （2）解：因为，所以， 解得， 在中，由正弦定理得，则， 因为，故，所以， 即的取值范围为. 【例4.5.】 已知函数. (1)求的最小值及相应的值； (2)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1） ， 当时，， 此时，解得. （2）由（1）知时，. 又，当时，，∴. 又为等腰三角形，所以， 设，，则. 所以. 在中，由余弦定理得， . 由正弦定理得，所以. 又， 所以 ， 又，所以当时，的面积取得最大值为. 题型5：解三角形、平面向量与三角变换的综合问题 方法提炼 首先利用向量知识建立三角函数关系式，然后利用和角、差角、倍角、半角公式解三角函数关系式，最后利用正、余弦定理求解问题. 【例5.1.】 已知，，. (1)求函数单调递增区间； (2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）首先，根据题意，可得到： ， ， ， 令，， 得：， 即：， 所以的单调递增区间为，. （2）由 ，得， ，解得：，， 可得，由于，所以； 利用余弦定理可得，， ， 由不等式 ，得： ， ，当且仅当“”时取“=”， 所以. 的面积， 当 取最大值 3 时，面积最大，. 【例5.2.】 在中，角的对边分别为.设向量，，记. (1)求函数的最大值； (2)若，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 所以 又因为，所以， 所以， 所以. （2）法一：由（1）知若， 因为，所以， 因为， 所以，因为， 由正弦定理知， 所以，所以， 所以. 解法二：由（1）知. 因为，所以， 因为，所以， ， ， ， ，所以 又因为，所以或， 由正弦定理知， 所以， . 【例5.3.】 已知分别为三个内角的对边，向量，. (1)求； (2)若.求的面积. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. （2），所以， ， , 又,即, , 或（舍）, 故. 【例5.4.】 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，． (1)求A的大小； (2)若是等腰三角形，且，在AB边上有一点M，点N是的重心，，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由可得， 由正弦定理可得， 又因为， 所以可得， 且，则，可得，即， 又因为，所以； （2）取BC的中点D，连接AD，    由题意，，点N是的重心， 可知，，则， 由题意， 则， 在中，由正弦定理可得， 所以，即． 【例5.5.】 如图，在中，． (1)求； (2)若点在边上，，求． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由，得，则， 以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，由，得， 所以. （2）设，则，由（1）知， ，， 由，得，则， 于是，即， 令，则，即， 由，得，令函数， 求导得，， 则函数在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增，而， 因此，，即，所以. 题型6：三角函数与解三角形的开放型综合问题 方法提炼 1. 利用正弦定理解三角形的类型：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断). 2. 利用余弦定理解三角形的类型：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边或三边的关系求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的. 【例6.1.】 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：设的内角，，的对边分别为，，，且，，______. (1)求； (2)求的周长. 注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，， ， ， ， 则， 化简得. 在中，， . 又， . （2）由余弦定理，得，即. 若选①， ，即，且， ，， 此时的周长为. 若选②， ， ，即， 又， ， 此时的周长为． 【例6.2.】 在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答． 在中，角，，边分别为，，，且________． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）若选①： 由正弦定理得：， 即， 又因为，则， 所以，又，则， 所以，又，所以. 若选②： 由正弦定理得：，化简得：， 又由余弦定理得：， 因为，所以. 若选③： 因为， 即， 则， 又由正弦定理得：， 又，，所以， 即， 又因为，则， 所以，又，则， 所以，所以. （2）由正弦定理得：， 则，， 所以， 又， 所以， 则， ∵为锐角三角形， ∴，即，解得：， ∴，则， ∴, 故的取值范围是. 【例6.3.】 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线BD交AC于点． (1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求的大小． ①；②；③． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)三个条件任选其一都有；(2) 【详解】（1）选①， 因为，所以． 由正弦定理得． 即， 故 ， 因为，，所以， 所以，所以． 选②， 由及正弦定理，得 ， 即， ， 所以． 因为，所以， 所以，即． 又，所以，所以． 选③， 由及正弦定理，得 ， 即． 因为，所以，所以． 又，所以． （2）因为BD平分，所以， 在中，，即， 在中，，即， 因为，所以， 所以，所以，故． 因为，，， 所以， 又， 所以． 又，所以， 所以， 所以，， 即的取值范围为． 【强化训练】 1. 函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的部分图象知，等边底边上的高为，所以边长， 所以的最小正周期为，所以， 所以，由，得， 又，所以， 由，得， 所以， 所以 故选：. 2. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对进行化简： 令，即，则． 根据正弦函数的性质，所以或，解得或． 因为且， 当时，，； 当时，，． 如图函数和大致图像， 由于函数在区间上有且仅有个零点，则需满足，解不等式组得到可得． 所以实数的取值范围是． 故选：D． 3. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上的值域为 D．若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为 【答案】BCD 【详解】因为 ， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，因为，故的图象关于点对称，B对； 对于C选项，当时，，则， 所以，， 故在区间上的值域为，C对； 对于D选项，若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称， 即函数为偶函数， 故，解得， 因为，故当时，取最小值，D对. 故选：BCD. 4. （多选）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，的最小值为1 D．若为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于中，由正弦定理得， 由，得，即， 由，则，故，所以或， 即或（舍去），即，A正确； 对于B，若，结合和正弦定理知， 又，所以可得，B正确； 对于，在锐角中，，即. 故，C错误； 对于，在锐角中，由， ， 令，则， 易知函数单调递增，所以可得，D正确； 故选：ABD. 5. 已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则 . 【答案】 【详解】因为. 又函数最小正周期为，且，所以. 所以. 当时，，所以. 做函数，的草图如下： 函数图象关于直线对称. 设，则，.， 所以， ， 解得或（舍去）. 所以. 故答案为： 6. 已知函数. （1）求函数在上的单调区间； （2）若，，求的值. 【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）. 【详解】（1）由题意得 ， 因为，所以， 令，解得； 令，解得， 令，得. 所以函数在上的单调递增区间为，， 单调递减区间为. （2）由（1）知. 因为，所以， 又因为，所以， 所以. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 8. 在中，、、分别为内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由及正弦定理得， 化简可得，即， 由余弦定理可得，因为，故. （2）因为，则，即， 所以， 即， 所以，当且仅当时， 即当，时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 9. 将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象. （1）求函数的解析式及单调递增区间； （2）在中，内角的对边分别为，若，，求的面积. 【答案】（1），单调递增区间为：；（2）或. 【详解】（1）， 图象向右平移个单位长度得到的图象， 横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)得到图象， 所以， 令，解得， 所以的单调递增区间为： （2）由（1）知，， 因为，所以 又因为，所以， 当时，， 此时由余弦定理可知，，解得， 所以， 当时，， 此时由勾股定理可得，， 所以. 10. 已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为. （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象， 则， ，， 当，即时，最大值，所以，； （2）， ，则，所以，，所以，， ， 是锐角三角形，由，解得， 所以，，，则. 11. 已知向量 (1)求函数的单调递增区间和对称中心； (2)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为；(2) 【详解】（1）， 令，则， 故函数的单调递增区间为， 令，则，对称中心为． （2），则， 又，则，故，即． ， 在锐角中，，则， 令，则. 所以的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$