第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第1节 任意角的三角函数定义、诱导公式、基本关系 讲义-2026-2027学年度高三数学总复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数与解三角形、平面向量核心模块，系统梳理任意角三角函数定义、诱导公式、基本关系及扇形弧长面积公式等高考高频考点，按“概念辨析—公式应用—综合解题”逻辑层次构建知识网络，通过考点梳理、方法指导（如等分象限法、整体代换技巧）、真题训练（含2022年全国甲卷等典型题）等环节，帮助学生突破难点。 讲义采用“典例引领—分层练习”创新模式，如通过“扇形周长与面积关系”典例培养数学思维，设置基础巩固与高考真题衔接的针对练习提升数学语言表达能力，确保学生在有限时间内掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有效支撑。

第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第1节 任意角的三角函数定义、诱导公式、基本关系 一、象限角与轴线角 等分象限法：由所在象限，判断所在象限（或范围），可先将每一个象限平分等份，从轴正方向开始按逆时钟方向依次在每一区域内标上数字（每个区域标完为止），把各象限等分，从轴正方向上方起，按逆时针依次将各区域标，则所在象限对应的标号位置即所在象限（为第几象限，就看数字几，从而得到所在象限及范围），所在象限内的数字为所在象限． 【典例1】（1）已知是锐角，那么是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 （2）设分别是第一、二、三、四象限角，判断是哪个象限的角． 【解析】方法1：（1）选C．因为是锐角，所以，所以，满足小于的正角，其中D选项不包括，故错误． （2）当是第一象限角时，，则，当，是第一象限角，当，是第三象限角， 当是第二象限角时，，则， ，当，是第一象限角，当，，是第三象限角． 当是第三象限角时，，则，，当，是第二象限角，当，是第四象限角． 当是第四象限角时，,则，当，是第四象限角，当，是第二象限角． 综上，当是第一、二象限角，是第一或第三象限角；当是第三、四象限角，是第二或第四象限角． 方法2（等分象限法）： （1）因为是第一象限角，所以看第一象限内的数字，， 所以可能在第一、二象限内，还有第一、二象限之间的部分代表 的终边可能在轴的非负半轴． （2）当是第一象限角时，所以看数字，所在区域即为 终边位置，所以可能在第一、三象限内．其它情况同理可得． 【针对练习1】设是第二象限角，判断是哪个象限的角． 【解析】由是第二象限角，得，所以，，当时，为第一象限角；当时，为第二象限角；当时，为第四象限角．所以是一、二或四象限的角． 二、扇形的弧长与面积公式 设扇形半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【典例2】已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设扇形的半径为R，弧长为l，有，解得或故扇形的圆心角，或，即扇形的圆心角的弧度为或． 【针对练习2-1】已知扇形的圆心角为，． （1）求扇形的弧长；（2）求图中阴影部分的面积． 【解析】（1）如图，作于，则． 因为扇形的圆心角为，所以，则， 故扇形的弧长． （2）由（1）可得，扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为，的面积为，故图中阴影部分的面积为． 【针对练习2-2】（2022年全国高考甲卷，理）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当，时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是的中点，所以，又，所以，，三点共线，即，又，所以，则，故，所以． 【针对练习2-3】已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. （1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解析】（1）由题意得解得(舍去)，故扇形圆心角为． （2）由已知得，所以，所以当时，取得最大值25，此时，． 【针对练习2-4】已知某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以该扇形的弧长为，设圆锥的底面半径为，则，解得：，因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为，该圆锥的体积为．故选C． 【针对练习2-5】折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，与的延长线交于圆心，设圆心角 ，扇形半径，则解得．故选A． 三、三角函数的定义 1．设点为终边上任意一点（原点除外）， ，则的正弦， 的余弦， 的正切． 2．三角函数值的符号法则 ：上正，下负 ：左负，右正 ：一、三为正，二、四为负 或记为：第一象限全正，第二象限正，第三象限正，第四象限正． 3．诱导公式 （1），，； （2），，； （3），，； （4），，； （5），，； （6），； （7），； （8），； （7），． 4．的整体代换技巧 ①一次齐次分式: ②二次齐次分式: ③二次多项式，如，需将多项式化成分式，即 ． 5．角的拼凑与换元法 ①拼凑角：同号相减，如；异号相加，如． ②换元法：设已知条件中的整体角为，将所求角化为关于的表达式求解． 【例3】已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ 　） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为角的终边经过点，由三角函数的定义，可得，所以．故选B． 【针对练习3-1】若为第四象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为第四象限角，得，所以，，此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以．故选B． 【针对练习3-2】在平面直角坐标系中，角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称且，所以，所以 ，．故选D． 【针对练习3-3】若，且，则角是（ 　） A．第二象限角 B．第三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 【答案】D 【解析】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角，所以为第三象限角，即， ，为第二或第四象限角．故选D． 【针对练习3-4】已知点在第二象限，则为（ 　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为点在第二象限，所以，，即为第三象限角．故选C． 【针对练习3-5】已知，，则（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即 ，所以．因为，所以，所以．因为，所以．故选B． 【针对练习3-6】我国古代数学著作《勾股圆设方图》中的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为，且大正方形与小正方形面积之比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直角三角形较短的直角边长为，则较长的直角边长为，小正方形的边长为，大正方形的边长为，大正方形与小正方形面积之比为，所以，，则，因为，则，又因为，由①②③可得．故选C． 【针对练习3-7】已知与是方程的两根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与是方程的两个根，，两边平方得：，，得．即． 故选D． 【针对练习3-8】（1）已知， ； （2）已知，则 ． 【解析】（1）． （2）， ． 【针对练习3-9】已知， 求下列各式的值： （1）求的值；（2）求的值． 【解析】（1）． （2）． 【针对练习3-10】若，则的值为 ． 【解析】由，得，所以 ． 【针对练习3-11】若直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】直线的斜率为，所以，即，且倾斜角为锐角，又因为，所以，即，所以．故选D． 【针对练习3-11】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得或又，则，所以所以．故选D． 【针对练习3-12】已知，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为，两边平方，得，即，所以，故B错误． 由上得，因为，所以，，，又，所以．结合，解得，，故A错误． 因为，所以，故C正确， ，故D错误．故选C． 【针对练习3-13】已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ，，从而 ，，得，，则且，，与联立得因此．故选B． 【针对练习3-14】（2021新高考1卷）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得 ． 故选C． 【针对练习3-15】已知是三角形的一个内角，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，两边平方得，即，可得，因为是三角形的一个内角，且，所以，，所以，得，又，，联立得，，故，从而有 ．故选B． 【针对练习3-16】已知，，求的值． 【解析】方法1：由，得，所以，又，所以，所以 ． 方法2：由，得，两边同时平方，得 ，即．因为，所以，所以，故原式． 【针对练习3-17】已知，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则，得 ，所以，则，即 ．故选C． 【典例4】（1）已知，则的值为 ． （2）已知，则 ． 【解析】（1）方法1：． 方法2：令，则，，所以 ． （2）方法1：因为，所以 ． 方法2：令，则，且，从而 ． 【针对练习4-1】已知，则 ． 【解析】方法1：因为，所以，得， 则，因为，， 所以． 方法2：令，则，且，从而 ． 【针对练习4-2】已知，则 ． 【解析】方法1：因为，所以 ． 方法2：令，则，且，从而 ． 【针对练习4-3】已知，则 ． 【解析】令，则，，从而 ． 【针对练习4-4】已知，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由已知，又，则，即，所以，则，所以，即，又，所以．故选D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第1节 任意角的三角函数定义、诱导公式、基本关系 一、象限角与轴线角 等分象限法：由所在象限，判断所在象限（或范围），可先将每一个象限平分等份，从轴正方向开始按逆时钟方向依次在每一区域内标上数字（每个区域标完为止），把各象限等分，从轴正方向上方起，按逆时针依次将各区域标，则所在象限对应的标号位置即所在象限（为第几象限，就看数字几，从而得到所在象限及范围），所在象限内的数字为所在象限． 【典例1】（1）已知是锐角，那么是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 （2）设分别是第一、二、三、四象限角，判断是哪个象限的角． 【针对练习1】设是第二象限角，判断是哪个象限的角． 二、扇形的弧长与面积公式 设扇形半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【典例2】已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度为（ ） A． B． C．或 D．或 【针对练习2-1】已知扇形的圆心角为，． （1）求扇形的弧长；（2）求图中阴影部分的面积． 【针对练习2-2】（2022年全国高考甲卷，理）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当，时，（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-3】已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. （1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【针对练习2-4】已知某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【针对练习2-5】折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 三、三角函数的定义 1．设点为终边上任意一点（原点除外）， ，则的正弦， 的余弦， 的正切． 2．三角函数值的符号法则 ：上正，下负 ：左负，右正 ：一、三为正，二、四为负 或记为：第一象限全正，第二象限正，第三象限正，第四象限正． 3．诱导公式 （1），，； （2），，； （3），，； （4），，； （5），，； （6），； （7），； （8），； （7），． 4．的整体代换技巧 ①一次齐次分式: ②二次齐次分式: ③二次多项式，如，需将多项式化成分式，即 ． 5．角的拼凑与换元法 ①拼凑角：同号相减，如；异号相加，如． ②换元法：设已知条件中的整体角为，将所求角化为关于的表达式求解． 【例3】已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ 　） A．4 B． C．2 D． 【针对练习3-1】若为第四象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-2】在平面直角坐标系中，角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-3】若，且，则角是（ 　） A．第二象限角 B．第三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 【针对练习3-4】已知点在第二象限，则为（ 　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【针对练习3-5】已知，，则（ 　） A． B． C． D． 【针对练习3-6】我国古代数学著作《勾股圆设方图》中的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为，且大正方形与小正方形面积之比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-7】已知与是方程的两根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-8】（1）已知， ； （2）已知，则 ． 【针对练习3-9】已知， 求下列各式的值： （1）求的值；（2）求的值． 【针对练习3-10】若，则的值为 ． 【针对练习3-11】若直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-11】若，，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-12】已知，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-13】已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-14】（2021新高考1卷）若，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习3-15】已知是三角形的一个内角，满足，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习3-16】已知，，求的值． 【针对练习3-17】已知，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（1）已知，则的值为 ． （2）已知，则 ． 【针对练习4-1】已知，则 ． 【针对练习4-2】已知，则 ． 【针对练习4-3】已知，则 ． 【针对练习4-4】已知，满足，则（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $