第5章 高考解答题专项突破(2) 三角函数与解三角形的综合问题-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 高考解答题专项究破（二） 三角函数与解三角形的综合问题 [考情分析]以三角形、三角函数为载体，以三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理 为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角函数的综合问趣是高考的热点趣型，主要考查内 容有正、余弦定理、三角形面积的计算、三角恒等变换和三角函数的性质.解题时要充分利 用三角函数的图象与性质，交替使用正弦定理、余弦定理，利用数形结合、函数与方程思想 等进行求解 考点● 三角函数图象与性质的综合 例1(2025江苏南通高三摸拟)若函数=cos(or+p)avs4 alcol(@>0,lp<x2图象的 两相邻对称轴的距离为x2,且favs41 al col(0π6)=一I2. (1)求)的解析式： (2)将x)的图象向右平移5π12个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原米的2倍 (纵坐标不变)得到函数y=gx)的图象.当x∈(0，π)时，求解不等式g2x)≤gaws4 alcol( +π4) 解：(1)因为x)图象的两相邻对称轴的距离为x2,所以T=,即2a=元， 因为0>0，所以0=2， 所以fx)=cos(2x十p), 因为faws4 al col(/π6)=-l2, 所以cosl1avs4 alcol0fa3)+o=-12, 因为π2，所以一π6π3+0<5π6， 所以π3十0=2π3，即0=π3， 所以fr)=coslavs-4 alcol(2x+yfa3 (2)因为x)=coslalvs-4 al col2x十a3)的图象向右平移5πI2个单位长度得到y=cos aws4 allcol(2x-fa2)=sin2x的图象， 再将y=si2x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sir的图象， 所以gw)=sinr, 所以所求不等式为sin2x≤sin alvs4 alicol十ffx4), 令t=x+x4,则t∈avs4 alcol(f(5r4),不等式化为sin2bcrc)as4 alcol(t--fπ4) ≤sint, 所以-cos2t≤sint,所以2sin2t-sint-1≤0， 所以-12≤sint≤1， 结合函数y=sinl在alvs4 alcol(0fx5π4)上的图象，得π4<t≤7π6， 所以不等式g(2x)≤gaws4 alico.1c十z4的解集为xlb1 lenaws.4 alcol(0<≤11π12》 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 方法总结)· 解决三角函数图象与性质综合问题的方法 利用图象讨论三角函数的性质，应先把函数化成y=Asin(ax十o)(o>0)或y=Acos(ax十p) (w>O)的形式，然后通过换元法令t=or十o,转化为研究y=Asit或y=Acost的性质， 变式训练 1.己知函数x)=2 sin wxcos0+2sing-4sin2ax2sino(w>0,lol水r),其图象的一 条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4， ，从下面两个条件中任选一个补充在空 白横线上， ①函数fx的图象向左平移x6个单位长度后得到的图象关于y轴对称且0)<0： ②函数fv图象的一条对称轴为直线x=一π3，且favs4alco1fπ61). (1)求函数x)的解析式： (2)若x∈f3π4)，函数x)=x)一a存在两个不同零点，x2,求：十x2的值. 解：(1)x)=2 sin wxcos中+2sin中-2(1-cosx)sin中=2sin(ar+o), 又函数)的最小正周期为T=4Xπ4=元， 所以o=2xT=2, 若选条件①：将函数)的图象向左平移π6个单位长度得到的图象关于y轴对称， 所得函数为y=2sin2 blereyalvs4 alcolx+y红6》+o=2 sinlalvs4alco1(2x+yπ3)+pj, 由函数y=2 sin alvs-4 alcol(2x+fx3)十o)的图象关于y轴对称， 可得π3十p=π2十kr(k∈Z), 解得0=π6十kn(k∈Z), 因为l0<r,所以0的可能取值为一5π6，π6， 若o=-5π6，则fx)=2 sinlavs.4alco1(2-f5π6j), o)=2 sinlalvs4-1 alcol(-5π6)=一1，符合题意： 若o=x6,则fx)=2 sinlavs4laco1(2x+a6),f0)=2sinx6=1,不符合题意. 所以fx)=2 sin alvs-4 alcol(2x-yf5x6). 若选条件②：因为函数fx图象的一条对称轴为直线x=一π3，所以2X1aws4 alcol(一fr3切 +0=x2+kI(k∈Z), 解得0=7x6十kr(k∈Z), 因为lp水r,所以的可能取值为一5π6，π6， 若o=-5x6,则x)=2 sinavs.4 alco1(2x-5π6)， 则favs4 alcol(yfz6)=2 sinlaivs4 alcol(-π2》=-21)，符合题意； 若o=x6,则fx)=2 sin aws4 alcol(2x十fπ6)， 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 则favs4 alcol(ff6j)=2sinx2=2>1),不符合题意. 所以f)=2 sinalvs4 alcol(2x一5π6) (2)令t=2x一5π6∈f(π2r3),此时函数h:)=)一a存在两个不同零点x1,2等价于直线y =a与函数y=2sint,t∈f(r2π3)的图象有两个不同交点. 当1=π2时，函数取到最大值， 所以1十6=r,即21一5π6十+22-5x6=n, 所以方十2=4π3 考点已三角函数与解三角形的综合 例2(2025山东名校联盟高三模拟)已知函数)=2sin2aws4 alcol(+4)-3cos2x (1)求x)在0，fπ2》上的单调递增区间： (2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若favs4 alcol(fCr12)=1-3,c =2,求△ABC面积的最大值. (1fx)=2sin2laws4lallcol(x+4))-3cos2x=1-coslawvs4lalcol(2x+f(2))-3cos2x=1 ++sin2x-3cos2x=1++2\as4alcol(sin2xcos\f(r 3) =1+2 sinalvs4 al col2x-yπ3)， 由-元2+2kr≤2x-3≤x2十2kr,k∈Z, 得-π12+k万≤x≤5π12+kπ，k∈Z, 又x∈0，a2),所以x)在0，π2)上的单调递增区间为0,5π12. (2)fals4lallcol(f(C 12)=1-3, 得1+2sin2×4b1c0 rc3)=1-3, 所以sinalvs4 alcol(C-π2)=-3)2，所以cosC=3)2, 因为0<C<π，所以C=π6， 又c=2,在△4BC中，由余弦定理，得c2=4=a2+b2-2 abcosC≥2ab-3ab, 所以ab≤42-3)=42+3)，当且仅当a=b=6+2时取等号， 所以S△4Bc=12 absinC-≤12×4×(2+3)×12=2+3 所以△4BC面积的最大值为2+3 (名师点拨)： 解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两个方面：()利用三角恒等变换化简三角函 数式进行解三角形：（②）解三角形与三角函数图象和性质的综合应用。 变式训练 2.设函数x)=2sin(ax十o)(aw>0,0<中<r),该函数图象上相邻两个最高点间的 距离为4π，且)为偶函数. 3 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (I)求o和的值： (2)己知角A,B,C为△ABC的三个内角，若(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,求[(4)]P+[f (C)P的取值范围 解：(I)因为x)=2sin(ox十p)的图象上相邻两个最高点间的距离为4r, 所以2πQ=4元，解得ω=12， 所以fx=2 sinalvs4 al col(f(12x十p, 又因为)为偶函数，所以中=kn十π2，k∈Z 又因为0<0<r,所以0=π2 (2)因为(2sinM-sinC)cosB=sinBcosC, 所以2sin4cosB-sinCeosB=sinBcosC, 所以2sin4cosB=sin(B+C), 又因为A十B十C=π，且0<A<T, 所以sin(B+C=sin4≠0，所以cosB=l2, 因为0<B<π，所以B=元3， 则A+C=2π3，即C=23-A, 由(1)知，函数x)=2cos12x, [AA)]2+[f(C)]2=2c0s2124+2cos212C=cos4+cosC+2=cos4+coslalys4lallcol(f(2z3)- A)+2=cos4-12cos4+3)2sin4+2=3)2sin4+12cos4+2=sinlaws4lallcol(4+6))+2, 因为042π3，所以π64十π6<5π6， 所以sinlalvs-4 alcol(A+ffπ6∈laws4 alcol(yf12,l),则sinavs.4 alcol(A+fπ6)+2∈1 alvs4alcol(f52),3), 即[4)]2+C]P的取值范围为avs4 alcol(f52),3) 考点 三角函数与平面向量的综合 例3(2025山东日照实验中学高三模拟)已知向量a=lavs4 afco1(2 sinble0rc12),b= as4 alcol(2 cos blc(rc)(avs4acol(ax+fal2),-2,函数fx)=ab,其中aw>0 (I)若)≤fx)≤f2)恒成立，：1一mm=12,求函数)图象的对称中心： (2)若2<o4,将函数x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数gx)的图象，x=π3是g (c)的一个零点，若函数gx)在m,n(m,n∈R且mm)上恰好有8个零点，求n一m的取值范 围： (3)已知函数h(x)=acoslaws4 al col(2x一x6)一2a(a<0),在第(2)问条件下，若对任意∈0， π4)，存在x2∈0，π4)，使得x)=g)成立，求实数a的取值范围. 解：(1)因为f)=ab=4 sinaivs4 alcol(or+fπl2 coslalvs4 alcol(ax+πl2)+1=2sin aws4allcol(2ox+6))+1, 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 由f)≤x)≤2)恒成立，：一lmm=12,可知函数x)的最小正周期T满足T2=12, 所以T=1,由2x20=1,得0=元. 所以jfx)=2 sin alvs-4 alcol(2ar+yπ6)+1 由2rx+π6=kT,k∈Z,得x=k2-112,k∈Z, 所以函数x)图象的对称中心为avs4 alcol0fk112),1,k∈Z (2)g(x)=2sin20\bilcl(rc 6)+1=2sin2ox+(1-20)6))+1. 由gaws4alco1(Wπ3)=0，得sinf2ot(1-2o)元6=-12， 即sinawsa4 alcol(f(oπr6)=-12, 所以om3十π6=2kπ+7π6，k∈Z或ax3+x6=2kr-π6，k∈Z, 所以w=6k十3，k∈Z或o=6k-1,k∈Z, 又2<w4, 所以m=3 所以gx)=2 sinlalvs4 alcol(m-f5π6)+1. 函数gx)的草图如图所示. A 由函数gx)在[m,n](m,n∈R且m9m上恰好有8个零点， 得10r9≤n-m<14x9, 即n一m的取值范围为f(10x14r9) (3)问题转化为当x∈0，π4)时，函数hx)的值域是gx)的值域的子集， 对函数h(e),因为x∈0，x4, 所以2x一π6∈-fπr3), 所以coslalvs.4alco1(2x-π6)∈12,1， 又a<0,所以h9∈-a,-3a2) 对函数g),因为x∈0,4， 所以x一5π6∈-f5π2r3), 所以sin alvs4 alcol6c-ff5π6)∈[-l,1], 所以g)∈[-1,3]. 由-a,-f3a2jc[-1,3],<0,得-a≥-1,3a2a<0, 解得-2≤a<0, 即实数a的取值范围是[一2,0). ·（名师点拨)： 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 当题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，首先运用向量数量积的定义，向量共 线、向量垂直等得到三角函数的关系式，然后利用三角函数的图象、性质解决问题 变式3已知向量a=6,3对n(元十沙，b=(csx,一smN,函数=ab-32 (I)求x)的最小正周期及x)图象的对称轴方程： (2)先将)的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位长 度得到函数gx)的图象，若函数y=g)一m在区间f(π5π6内有两个零点，求m的取值范围。 解：(1)因为fx)=ab-3)2=sinccosx-+3sin2x-3)2=12sin2-3)2cos2xr=sinlalvs4 alco1(2x- fx3),故x)的最小正周期为T=2π2=π 由2x-π3=kr+π2，k∈Z,得x=kr2+5π12，k∈Z, 所以)的最小正周期为r,对称轴方程为x=π2十5π12，k∈Z (2)由(1)，知fx)=sin alvs4 alico1(2x-fr3) 由题意，得gx)=sinr 函数y=gx)一m在区间f(x5r6内有两个零点， 转化为函数y=sinx,x∈f(π5r6的图象与直线y=m有两个交点. 由图象可得，m的取值范围为12,1)， 考点四 解三角形与平面向量的综合 例4(2025湖北荆州高三联考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab =3)3sinC++cosC. (1)求角B: (2)若D是△4BC中边AC上的一点，且满足BA一)→)BA→)=BD→)→)BC→)，9a+4c=25 ,求BD的最大值 解：(1)因为ab=3)3sinC+cosC,即a=3)3 bsinC+bcosC, 由正弦定理，得sm4=3)3 sinBsinC-+sinBcosC, sin4=sin(B++C)=sinBcosC+cosBsinC, sinBcosC++cosBsinC=3)3sinBsinC++sinBcosC, 可得cosBsinC=3)3 sinBsinC, 且C∈(0，π)，则s1nC≠0，可得tanB=3, 6 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 又因为0<B<r,所以B=3 (2)B4→)→)oBA→)=BD→）→)oBC), 即BA→)→)oBA→)→)=BD→)一→)oBC→)→)， 可得cOs∠ABD=cOS∠CBD, 即∠ABD=∠CBD, 可知BD平分∠ABC, 则∠ABD=∠CBD=π6 因为S△ABC=S△4BD十S△BCD, 即12ac×3)2=12 BDXcx12+12BD×a×12, 整理可得3BD=1a+1c, 又因为9a+4c=25, 则3BD=1259a十 4c)\alvs4al\col(f(11c)=125alvs4al\col(13+f(4c9ac)125 avs4 alcol(13+2rf(4c9ac))=1, 当且仅当4ca=9ac,即a=53,c=52时取等号， 可得BD≤3， 所以BD的最大值为3 ·(名师点拨) 解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量运算化简已知条件，将其转化为三 角函数的问题解决 变式圳陈 4.(2025四川成都高三调研)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b, c,且m=(2b+c,a),n=(cos4,cosC,m⊥n (1)求角A的大小： (2)D是线段BC上的点，且AD=BD=2,CD=3,求△4BD的面积. 解：(1)因为m=(2b+c,a),n=(cos4,cosC),m⊥n, 所以mn=(2b+ccos4+acosC=0, 由正弦定理可得2 sinBcos4+(sin4cosC+cos4sinC)=0, 2sinBcos4+sin(A++C)=0, 又A十C=r-B, 所以2 sinBcos4+sinB=0, 又B∈(0，r),则sinB>0,所以cos4=-12, 又A∈(0，r),所以A=2π3 (2)设B=9,因为A=2π3，则C=n-2π3-0=元3-0， 7 亨学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为AD=BD=2,所以∠BAD=∠B=0,∠ADC=28,∠DAC=2x3-0, 在△ACD中，由正弦定理可知ADsinC=CDsin.∠DAC, 即2rc3)-0)=3rc3)-8), 3alvs4allcol(f(r(312)sine=2\aWs4alcol(f(r(312)sine, 化简可得5sin0=3cos0,即tan0=3)5, sin2 0 =2sindcosesin20+cos20=2tandtan20+1=3)14, 所以SAABD=12AD-BDsin(r-20=12 AD-BDsin20=12×22×3)14=3)7. 课时作业 基础题（占比60o中档题（占比30% 拔高题（占比106） 题号 1 2 3 6 难度 ★ ★ ★ 半 ￥ ★★ ★★ ★★★ 三角函 三角函 三角函 解三角 解三角 解三角 三角函 解三角 数图象 数与平 数与解 形与平 形与平 形与平 数与解 形与平 考向 与性质 面向量 三角形 面向量 面向量 面向量 三角形 面向量 的综合 的综合 的综合 的综合 的综合 的综合 的综合 的综合 三角恒 三角函 等变 数的周 换：余弦 期性、单 定理：同 正弦定 求三角 调性、值 求三角 角三角 三角恒 理：两角 两角和 函数的 求三角 域：同角 函数的 函数的 等变 和的正 与差的 解析 函数的 三角函 单调区 基本关 换：诱导 弦公 余弦公 式、单调 单调区 数的基 间，与三 系式：诱 公式；正 式：辅助 式：正 考点 区间、最 间：三角 本关系 角函数 导公 弦定 角公 余弦定 值：三角 恒等变 式：三角 有关的 式：三角 理；三角 式：诱导 理；三角 函数的 换：余弦 恒等变 方程有 函数的 函数的 公式：三 形的面 图象变 定理 换：余弦 解问题 最值、图 范围 角函数 积公式 换 定理；三 象变 的最值 角形的 换：三角 面积公 形的面 式 积公式 关联点 平面向 数量积 数量积 数量积 基本不 共线向 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 量的坐 的坐标 的坐标 的坐标 等式 量的坐 标运算 运算 运算 运算 标表示 1.(2024江西南昌模拟)如图为函数x)=Asin(cx+)aws4 alcol(A>0,o>0,lp<fa2),x∈ )的部分图象 (①)求函数x)的解析式和单调递增区间； (2)若将fx)的图象向右平移x12个单位长度，然后再将横坐标缩短为原来的12得到g(x)的图 象，求函数gx)在区间一\f元元12)上的最大值和最小值 解：(1)由图象知，A=2,T4=π3-π12=π4，T=Ⅱ， 又0>0，则0=2元元=2， 则fx)=2sin(2x+p),将1aws4 alcol(fπI2),2代入得， 2sin alvs4 alcol(f(x6)+o)=2, 得π6十0=2kn+π2，k∈Z, 解得0=2kr十π3，k∈Z, 因为1π2，所以0=π3， 所以fx)=2 sinlalvs-4 al col2+frπ3》 令-元2+2k元≤2x十x3≤π2十2kI,k∈Z. 得-5πl2十kI≤x≤π12+kπ，k∈Z, 所以函数x)的单调递增区间为一f(5元π12)十kπ(k∈Z) (②)将fx)=2 sin avs4 alcol2x+yfπ3)的图象向右平移πl2个单位长度，得favs4 alcol- frl2)=2sin2b1c0rclr3)=2 sinlalvs.4 al col2x+x6)的图象， 然后再将横坐标缩短为原来的12，得gr)=2 sinlalvs4 alcol(4红+fπ6)的图象. 因为x∈-fπr12),则4+x6∈一f5πr2), 所以-1≤sinalvs4 alicol(4r+fix6)≤1 故当4x十π6=一x2,即x=一π6时，g)取得最小值，为一2： 当4x十π6=π2，即x=π12时，g)取得最大值，为2. 2.(2025山东德州二中高三第二次学情检测)已知向量a=(cosx,一1)，b=(3six,1),函数 fx)=(a+b)a-12 9 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (I)求函数x)的单调递减区间； (2)若fx)=m在as4 al col(0,fx2)内恰有一个解，求m的取值范围. 解：(1)易知fx)=(a+b)a-12=a2+ab-12=cos2x+1+3 cosxsinx-1-12 =3)2sin2x+12cos2x=sinlavs4allcol(2xx6)), 由元2+2kr≤2x十元6≤3π2+2kT,k∈Z, 解得π6十k元≤x≤2x3十kr,k∈Z 所以函数x)的单调递减区间是f(2π3)十kr,k∈Z (2)由fx)=m可得sinlalvs4 alcol(2+yra6j)=m, 当x∈las4 alcol0,r2时，2x+π6∈aws4 alcol0fπ7r6),fx)=m在lavs4 alcol(0,1 fπ2》内恰有一个解，可以转化为直线y=m与y=f9的图象在aws4 alcol(0,r2》上有一 个交点，作出y=fx)在lavs4 alcol0,fπ2)上的图象，如图， =fx】 2 由数形结合可知，m的取值范围为avs4 alcol(-\f112)U{1}. 3.已知函数x)=2cos2x+3sin2x (1)求函数x)的单调递增区间； (2)在△4BC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且C)=3,c=1,ab=23,求△4BC 的周长。 解：(1)依题意，fx)=2cos2x+3sin2x=1+cos2x十3sin2x=2 sinalvs4-alicol(2x+/π6)+1， 由-元2十2kI≤2x十π6≤π2+2kπ，k∈Z, 得-π3十kr≤x≤π6十kn,k∈Z, 所以函数x)的单调递增区间是一f(πr6十kn(化∈Z) (2)由(1)知，C=2 sinlalvs4 alcol(2C+ra6j)+1=3, 即sinlalvs4 alcol2C+x6)=1,而C∈(0，r) 则2C+π6∈avs4 alcol(0fπl3r6, 于是2C十π6=π2，解得C=π6， 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC, 得1=(a十b)2-(2+3)ab=(a+b)2-23×(2+3), 解得a+b=2+3,则a十b十c=3+3, 所以△4BC的周长为3+3， 4.已知向量m=avs4 alcol(cosf:2),一1)，n=avs4 alco10r(3x2),函数x)=mn+1 10