精品解析：云南省部分高中2026届高三上学期开学考试数学试卷

2026届高三上学期开学考数学试卷 考试时间：120分钟， 满分150分 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可选出答案. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由复数的几何意义，即可得到结果. 【详解】因为，可知复数在复平面内对应的点为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 3. 等差数列的前项和为，，，则的公差为（） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项化简，再联立方程求解首项和公差. 【详解】为等差数列， ， ， 设的首项为，公差为，则， 解得， 故选：A 4. 已知向量的夹角为，，，则（ ） A. B. 21 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】 故选：C 5. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可求得点的横坐标. 【详解】设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得. 故选：C. 6. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化 【详解】因为，解得， 所以 . 故选：C 8. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时，方程的解的个数为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及，分析可得的图象关于原点对称且关于直线对称，由时的函数解析式即可画出函数在的图象，将方程的解的个数，转化为求函数与函数的交点问题，数形结合可得答案． 【详解】解：根据题意，为奇函数，则的图象关于原点对称，又由，则的图象关于直线对称，因为当时，，故可画函数在的图象如下， 所求方程在的解的个数， 等价于函数与函数的交点个数， 由图可知函数与函数在上有个交点， 故方程在上有个解， 故选： 【点睛】本题考查函数的奇偶性与对称性，函数方程思想，数形结合思想，属于中档题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则事件相互独立 B. 已知随机变量，则 C. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 D. 已知随机变量，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据对立事件的概率公式求出，由结合事件相互独立的定义即可判断；对于B，根据二项分布的方差公式求解即可；对于C，根据百分位数的定义，求值判断即可；对于D，根据正态分布的对称性求解即可判断. 【详解】对于A，，则，所以事件相互独立，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，将数据按从小到大排序为：.共有8个数据，所以第75百分位数为第6，7个数据的平均数，为，故C错误； 对于D，随机变量，且，则，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数为奇函数 B. 当时，函数在上单调递增 C. 当时，函数有2个不同的零点 D. 若函数在(0，2)上单调递减，则 【答案】BC 【解析】 【分析】代入的值，根据函数的奇偶性判断即可；对于，求出函数的导数，解不等式求出函数的单调区间判断即可，对于，代入的值，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极值，判断函数的零点即可，对于，根据函数的单调区间判断的范围即可． 【详解】解：， 对于时，，显然不是奇函数，故错误， 对于时，令，解得：或， 故时，函数在上单调递增，正确， 对于时，，， 令，解得：或，令，解得：， 故在递增，在递减，在递增， ，， 时，， 故时有1个零点，是1个零点，则有2个不同的零点，正确； 对于， 结合题意，，，则，解得：，故错误； 故选：． 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、零点问题，考查导数的应用，属于中档题． 11. 已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为4 C. 的最大值为3 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆方程求出离心率可判断A；由基本不等式可判断B；由向量数量积的坐标运算可判断C；当点为短轴的端点时，取得最大值，求出可判断D. 【详解】由椭圆方程得，，，因此，， 选项A中，，，故，A错误； 选项B中，，当且仅当时取等号，B正确； 选项C中，令，则，故C正确； 选项D中，当点为短轴的端点时，取得最大值，此时， 则，，的最大值为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 13. 已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 ____________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据圆的半径最小时圆的面积最小，然后考察圆的半径即可. 【详解】由，得， 易知当，圆的半径最小，即圆的面积最小. 故答案为：0 14. 秦量是秦代为统一全国量制而由官府颁发的标准量器，秦量多为铜质和陶质，铜量有方升和椭量，陶量则多为圆桶形（即圆台形状，如图所示）．某地出土秦诏文陶量1件，高为10厘米，上部外径（即上底面外部直径）为24厘米，下部外径（即下底面外部直径）为16厘米，则此陶量的外接球的表面积为________平方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出轴截面图形，再根据球心构造几何图形，列式求解. 【详解】如图，画出圆台的轴截面， ，，， 由题意可知，球心在上，设，， 所以，解得：，， 所以外接球的表面积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，. （1）求函数单调递增区间； （2）在中，，，的对边分别为，，，角满足，，，求的值. 【答案】（1）和；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将函数化为，再利用正弦函数的单调区间整体代入即可求解. （2）根据题意求出，再利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 详解】（1）， 由得，， 又，取得函数单调递增区间为：和. （2）由得，∴， 由余弦定理得得 ，∴， 从而. 【点睛】本题考查了两角和的正弦公式、辅助角公式、正弦函数的性质、余弦定理、三角形的面积公式，属于基础题. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，E为中点，作交于点F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面垂直； （2）把二面角计算问题转化为法向量夹角问题. 【小问1详解】 证明：依题意得，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ， 因为点为中点，所以， 所以，，又， 而， 所以. 由已知，且，在平面内, 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知为平面的一个法向量， 又，, 设平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角. ，所以，所以 取，则 . 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. （1）求双曲线的标准方程； （2）若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、通径公式以及双曲线中、、的关系列出方程组，求解出、的值，进而得到双曲线的标准方程. （2）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到和，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解出的值，从而得到直线方程. 【小问1详解】 由题意可得 解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率不为0，则设直线. 联立整理得， 则， . 因为的面积为， 所以，即， 整理得，即，即， 解得，所以， 故直线的方程为或 18. 某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. （1）求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望； （2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）3次或4次 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）根据二项分布的知识求得闯关成功的次数的分布列，由此求得正确答案. 【小问1详解】 由题知：可取0，1，2，3，则: ，， ，， 故分布列为： 0 1 2 3 则的期望为：. 【小问2详解】 方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则. 故 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则 故 ∴假设当时，对应概率取值最大，则 解得，而 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 19. 已知函数． （1）时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明不等式恒成立． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解； （2）求出导函数后对的值进行分情况讨论即可求； （3）用切线不等式可证得结果. 【小问1详解】 时，，依题意切点坐标为， ，所以函数在处的切线的斜率为， 故函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 时，，单调递增， 时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 要证恒成立，即证恒成立， 令，，由（2）可知， 在上单调递增，在上单调递减， 所以恒成立， 即有时恒成立，当且仅当时取“=”号， 亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号. 所以一方面，当且仅当，即时取“=”号， 另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号， 所以恒成立，原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三上学期开学考数学试卷 考试时间：120分钟， 满分150分 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 等差数列前项和为，，，则的公差为（） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 4. 已知向量的夹角为，，，则（ ） A. B. 21 C. 3 D. 9 5. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上奇函数满足，且当时，，则当时，方程的解的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则事件相互独立 B. 已知随机变量，则 C. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 D. 已知随机变量，若，则 10. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. 当时，函数为奇函数 B. 当时，函数在上单调递增 C. 当时，函数有2个不同的零点 D. 若函数在(0，2)上单调递减，则 11. 已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为4 C. 的最大值为3 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为_________． 13. 已知方程表示圆中，当圆面积最小时，此时 ____________. 14. 秦量是秦代为统一全国量制而由官府颁发的标准量器，秦量多为铜质和陶质，铜量有方升和椭量，陶量则多为圆桶形（即圆台形状，如图所示）．某地出土秦诏文陶量1件，高为10厘米，上部外径（即上底面外部直径）为24厘米，下部外径（即下底面外部直径）为16厘米，则此陶量的外接球的表面积为________平方厘米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，. （1）求函数单调递增区间； （2）在中，，，的对边分别为，，，角满足，，，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，E为中点，作交于点F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. （1）求双曲线的标准方程； （2）若的面积为，求直线的方程. 18. 某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. （1）求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望； （2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 19 已知函数． （1）时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $