江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高一下学期期中复习数学试题

海安高级中学高一数学期中复习试卷 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】利用复数的除法运算求得复数z的值，进而得到复数所对应的点的坐标，从而得到所在象限. 【详解】因为，所以， 即z在复平面内所对应的点为，在第二象限． 故选:B． 【点睛】本题考查复数的除法运算和由复数判定对应点的象限，属基础题. 2．设向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的坐标运算法则，进行计算，即可得到答案. 【详解】由向量，，则. 故选：A. 3．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析式，再令可求出对称中心的横坐标，从而可求得答案. 【详解】将函数的图象向左平移后得到函数. 令，则， 所以所得图象的对称中心为， 当时，一个对称中心为. 故选：D 4．已知向量不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D．1或2 【答案】C 【分析】利用平面向量共线基本定理列等式，利用不共线向量相等列方程组求解. 【详解】若向量与共线， 则存在实数，使得， 又因为向量，不共线，所以，解得或. 故选：C. 5．如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，则（    ）    A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】首先得到平面图形，再根据斜二测画法规则求出线段长度. 【详解】依题意由直观图可得如下平面图形，因为， 所以，， 所以.    故选：C 6．设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理证明的内角都为锐角即可. 【详解】设， 因为， 所以， 因此 从而， 即的三个内角都为锐角，因此是锐角三角形， 故选：. 7．释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016年、释迦塔被吉尼斯世界纪录认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点，并垂直竖立一高度为的标杆，从点处测得木塔顶端的仰角为60°，再沿方向前进到达点，并垂直竖立一高度为的标杆，再沿方向前进到达点处，此时恰好发现点，在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离，则小张用此法测得的释迦塔的高度约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点,过点作于点,交于点,利用特殊角的三角函数值以及三角形相似即可得到答案. 【详解】如图,过点作于点,过点作于点,交于点, 则四边形, ,都是矩形,所以, 所以. 在Rt中,, 所以, 由已知得,所以, 即,解得. 故选：B. 8．对于集合和常数，定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则T=（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据新定义计算，结合两角和与差的余弦公式展开化简可得． 【详解】由题意 ． 故选：A． 二、多选题本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 的最小值为2 D． 【答案】BD 【分析】设，对A根据复数的乘法运算即可判断，对B根据共轭复数的概念和复数的加减即可判断；对C根据复数表示的几何意义即可判断；对D，根据复数的除法运算和复数模的计算即可判断. 【详解】设， 对A，，， 当至少一个为0时，，当均不等于0，，故A错误； 对B，，则， 而，故，故B正确； 对C，若，即，即， 即，则在复平面上表示的是以为圆心，半径的圆， 的几何意义表示为点到点的距离，显然， 则点在圆外，则圆心到定点的距离， 则点与圆上点距离的最小值为，故C错误； 对D，，， ， 而，故，故D正确； 故选：BD. 10．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） 图1                         图2 A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABD 【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设 ，可得，由，结合题中条件可判断A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D. 【详解】如图，作 ,分别以为x,y轴建立平面直角坐标系， 则 , 设 ，则, 由可得 ，且 ， 若，则， 解得 ，（负值舍去），故，A正确； 若，则，，故B正确； ， 由于，故，故，故C错误； 由于， 故 ，而， 故，故D正确， 故选：ABD 11．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（    ） A．周长为 B．三个内角A，C，B满足关系 C．外接圆半径为 D．中线CD的长为 【答案】ABD 【解析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用判断ABCD的结论，从而得解． 【详解】现有△ABC满足sinA：sinB：sinc＝2：3：， 所以a：b：c＝2：3：， 设a＝2t，b＝3t，ct，t＞0， 利用余弦定理cosC， 由于C∈（0，π）， 所以C． 所以A+B，故A+B＝2C，所以△ABC三个内角A，C，B成等差数列，故B正确； 利用S△ABC， 所以absinC•2t•3t•，解得t＝1． 所以：a＝2，b＝3，c， 所以△ABC的周长为5，故A正确； 利用正弦定理 2R，△ABC外接圆半径R为，故C错误； 如图所示： 利用正弦定理，解得sinA，所以cosA， 利用余弦定理：CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cosA＝92×3， 解得CD，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力． 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，角的对边分别为．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】在中，，设，，，，再由二倍角公式可得及余弦定理求出，从而可求解. 【详解】由题意知，在中，，设，，，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为：. 13．已知方程，的两根为，，，，则 . 【答案】 【分析】根据方程，的两根为，，得到，由两角和的正切公式得到，再确定的范围求解. 【详解】因为方程，的两根为，， 所以， 则， 因为， 所以， 所以， ，， ， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14．设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据向量垂直列方程求得，进而可得空1答案；利用平方的方法，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】空1：因为，所以，即，得； 空2：由题知，又， 所以当时，取得最小值，最小值为12， 当时，取得最大值，最大值为28， 故的取值范围为． 故答案为：；. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】(1)或3： (2)1或 (3) 【分析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. 【详解】（1）若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. （2）若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. （3）因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 16．已知函数， (1)求最小正周期； (2)求的对称中心； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，将化成，即可求出最小正周期； （2）写出，令即可求解出对称中心； （3）将等价转化为，进而转化为，求出的最大值和最小值后解不等式组即可. 【详解】（1）, 所以最小正周期为. （2） 令，解得：， 故的对称中心为. （3）若在上恒成立， 即在上恒成立， 故， 因为，， 则，所以， 故，解得：. 故实数的取值范围为. 17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)判断的形状； (2)设，且D是边的中点，求当最大时的面积. 【答案】(1)等腰三角形 (2). 【分析】（1）利用倍角公式化简后可得，故可得即三角形为等腰三角形； （2）根据余弦定理和基本不等式可得当最大时为正三角形，故可求此时三角形面积. 【详解】（1）由二倍角公式得， ∴，整理得， 即. ∵，∴，即，即为等腰三角形. （2）由（1）及题设，有， ∴ ， 而为三角形内角，∴，当且仅当时，等号成立. 即的最大值为，此时由，而，故， 故，可得为直角三角形且， 又由（1）可得为正三角形，∴的面积. 18．有一个半径为，圆心角的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形. 方案1：如图1，裁剪出的矩形的顶点在线段上，点在弧上，点D在线段OM上； 方案2：如图2，裁剪出的矩形的顶点分别在线段上，顶点在弧上，并且满足，其中点为弧的中点. (1)按照方案1裁剪，设，用表示矩形的面积，并求出其最大面积； (2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形. 【答案】(1)，最大值为； (2)，方案1 【分析】（1）由图1得到，进而得到，得到矩形的面积,再利用三角函数的性质求解； （2）由图2设 得到，，得到矩形的面积为：，再利用三角函数性质求解. 【详解】（1）解：由图1知：， 则， 所以矩形的面积为：， ， ， ， ， ， 当，即，矩形面积取得最大值为； （2）由图2知：设 ，则， ， 所以矩形的面积为：， ， ， ， ，， 当，即，矩形面积取得最大值为； 因为， 所以方案1可以裁剪出面积最大的矩形； 19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．    (1)在－仿射坐标系中，若，求； (2)如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由坐标系新定义和向量的数量积以及模长的计算求解即可； （2）由坐标系新定义和中点坐标公式以及向量的数量积求出，再由余弦定理和正弦定理边化角以及降幂公式，辅助角公式化简可得. 【详解】（1）由题意知，，， ，， ，．    （2）设，且，， ， 为的中点，， 为中点，同理得， ， ，， ， 中，，， 代入上式得， 中，由正弦定理得， 设，则，，， ， 其中且，，， 当时，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海安高级中学高一数学期中复习试卷 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D．1或2 5．如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，则（    ）    A． B．2 C． D．5 6．设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016年、释迦塔被吉尼斯世界纪录认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点，并垂直竖立一高度为的标杆，从点处测得木塔顶端的仰角为60°，再沿方向前进到达点，并垂直竖立一高度为的标杆，再沿方向前进到达点处，此时恰好发现点，在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离，则小张用此法测得的释迦塔的高度约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 8．对于集合和常数，定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则T=（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 的最小值为2 D． 10．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） 图1                         图2 A．若，则 B．若，则 C． D． 11．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（    ） A．周长为 B．三个内角A，C，B满足关系 C．外接圆半径为 D．中线CD的长为 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，角的对边分别为．若，则的值为 ． 14．设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ． 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 16．已知函数， (1)求最小正周期； (2)求的对称中心； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)判断的形状； (2)设，且D是边的中点，求当最大时的面积. 18．有一个半径为，圆心角的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形. 方案1：如图1，裁剪出的矩形的顶点在线段上，点在弧上，点D在线段OM上； 方案2：如图2，裁剪出的矩形的顶点分别在线段上，顶点在弧上，并且满足，其中点为弧的中点. (1)按照方案1裁剪，设，用表示矩形的面积，并求出其最大面积； (2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形. 19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．    (1)在－仿射坐标系中，若，求； (2)如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$