2.5可化为一元一次方程的分式方程（第1课时分式方程及其解法）（教学课件）数学新教材湘教版八年级上册

湘教版2024·八年级上册 2.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 分式方程及其解法 第2章 分 式 学 习 目 标 1 2 3 了解分式方程的概念. （重点） 掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 理解分式方程验根的原因，掌握验根的方法. （难点） 新知探究 动脑筋 为了更好地践行"绿水青山就是金山银山"的理念，某村计划组织村民在荒坡上种9600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务，设原计划每天种x棵树，试用含x的等式表示问题中的等量关系 每天种树的棵数=原计划的棵树 原计划的天数实际天数=4 原计划的天数: . 实际天数: . 思考：与一元一次方程比较，这个方程有什么特点？ 分母中含有未知数 新知探究 总结归纳 分式方程的概念: 分母中含未知数的方程叫作分式方程. 判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数) 新知探究 思 考 如何求解分式方程？ 解: 方程两边同乘最简公分母 x 96007200=4x 解得 x=600 检验：把x=600代入原分式方程，得左边= 右边=4，左边=右边，因此x=600是原方程的解. 数学有一个重要思想-----转化思想。 分式方程 整式方程 转化 转化 把分式方程中分母中的未知数化去。 去分母 方程两边同乘最简公分母 典例分析 例1 解方程： 最简公分母x(x-2) 解： 方程两边同乘x(x-2)，得 = 解得： 检验：把=-3带入原方程，得左边= =右边，因此=-3是原方程的解. 去分母 检 验 解整式方程 典例分析 例2 解方程： 解：两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)， 得 x+2=4. 解得 x=2. 检验：把x=2代入原方程，得左边＝ = ,不存在这种数. 去分母 解一元一次方程 因此，x=2不是原分式方程的根，从而原分式方程无解． 验根 写分式方程的解 最简公分母（x+2）(x-2) 新知探究 议一议 为什么将求出的未知数的值代入最简公分母，若其值为0，就可判断它不是分式方程的解呢？ 最简公分母=0 该未知数的值使分式方程至少一个分母为零 原分式方程无意义 该未知数的值不是分式方程的解 分式方程无解 思考：这个未知数的值是哪个方程的解呢？ 该未知数的值是分式方程的增根。 该未知数的值是去分母后的一元一次方程的解。 典例分析 例3 解方程： 解得 x= 检验：把x= 代入最简公分母 3x-， 因此x= 是原方程的解. 解: 原方程变形为： x- 2=5（3x-2）， 两边同时乘以最简公分母 3x-2，得 最简公分母3x-2 去分母 解一元一次方程 验根 写分式方程的解 整理分式方程 不要漏乘 新知探究 总结归纳 解分式方程的思路: 解分式方程的一般步骤: 分式方程 整式方程 去分母 最关键的是去分母 “去分母” 即方程两边同乘最简公分母. 分 式 方 程 一 元 一 次 方 程 x=c x=c 是否使 最简公 分母的 值为0 两边都乘以最简公分母 解方程 检验 否 原方程 的解 是 增根 “一化、二解、三检验、四写解” 新知应用 基础巩固题 不含等号 1.下列关于x的式子：① ；② ； ；④ ；⑤ .其中是分式方 程的有_______________ 分母不含未知数 ②⑤ 判断一个方程是否为分式方程，是取决于分母中是否含有未知数. 新知应用 基础巩固题 2.分式方程 的解是( ) . D A. B. C. D. 3.解分式方程 =8 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A. 2(x-8)+5x=16(x-7) B. 2(x-8)+5x=8 C. 2(x-8)-5x=16(x-7) D. 2(x-8)-5x=8 A 勿漏乘整式项！ 因式分解，注意符号 新知应用 基础巩固题 4.下列解分式方程是否有误，若有误，请指出。 解：方程两边同乘2（x+1），得 2（x+1）x3＝6x． 第①步 解得x＝ 第②步 检验：当x＝ 时，有2（x+1）≠ 0 第③步 ∴原方程的解为x＝ 第④步 分子是多项式，去分母后要加括号 新知应用 基础巩固题 4.下列解分式方程是否有误，若有误，请指出。 解：方程两边同乘（x﹣3），得 2﹣x+3＝2 第①步 解得x＝3 第②步 ∴原方程的解为x＝3 第③步 漏乘 没有检验 新知应用 基础巩固题 5. 解下列方程： 解: 方程两边同乘最简公分母2x（x-3） 5（x-3）-2x=0 解得 x=5 检验：把x=5代入2x（x-3）， 因此x=5是原方程的解. 解得 x= 检验：把x= 代入最简公分母 2x-1， 因此x= 是原方程的解. 解: 原方程变形为： x+2=3（2x-1）， 两边同时乘以最简公分母 2x-1，得 新知应用 基础巩固题 解得 x=1 检验：把x= 1 代入最简公分母 x-1， 因此x=1不是原方程的解，原分式方程无解. 解: 原方程变形为： 1-x=x-1， 两边同时乘以最简公分母 x-1，得 解得 x= 检验：把x= 代入 x(x+1)(x-1)， 因此x= 是原方程的解. 解: 原方程变形为： 3(x+1)=x， 两边同时乘以最简公分母 x(x+1)(x-1)，得 新知应用 基础巩固题 6. 解下列方程： 解: (1)方程两边同乘（x+2）(x-2) 2（x+2）-4=0 解得 x=0 检验：把x=0代入(x+2)(x-2)， 因此x=0是原方程的解. (2)方程两边同乘最简公分母3(x-1) 2x-1-2×3=1 解得 x=4 检验：把x=4代入3(x-1)， 因此x=4是原方程的解. 新知应用 能力提升题 (2)无解. 7.当a为何值时，关于x的方程＝的解为零？ 解:把x＝0代入原方程得－＝， 解这个方程，得a＝. 所以当a＝时，原方程的解为零. 新知应用 能力提升题 8.若关于x的分式方程 有增根 ， 求m的值． 解：方程两边同乘(x+2)(x-2)，得 2(x+2)+mx＝3(x-2) 整理得 (m-1)x＝-10 ∵方程有增根，即增根为x=2或x=-2 ∴①当x=2时，有2(m-1)=-10 得m=6 ②当x=-2时，有-2(m-1)=-10 得m=-4 ∴m的值为6或-4. 解决增根问题，必须弄清楚两个问题： （1）什么叫增根？ （2）增根是哪个方程的解？ 新知应用 能力提升题 9.若关于x的分式方程 无解，求m 的值． 解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②原方程的解使最简公分母为0，则x＝2或x＝－2， 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10， 解得m＝6， ∴m的值是1，－4或6. 两种情况： 一是所化成的整式方程无解；二是解得整式方程的解使最简公分母为0 新知应用 能力提升题 总 结 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的． 1.分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数， 2.分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 课堂小结 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分不要漏乘． 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,要添括号．(因分数线有括号的作用） (3)不要忘记检验 感谢聆听! $$